章节安排
1.1 状态空间分析法 1.2 由系统框图导出状态空间描述 1.3 由系统机理导出状态空间描述 1.4 由输入输出描述导出状态空间描述及其几种标准型式
1.5 离散时间线性系统的状态空间描述
1.6 线性定常系统的特征结构 1.7 由状态空间描述求传递函数
1.8 状态矢量的线性变换
1.9 组合系统的状态空间描述
（1-11）
（1-12）
Note:
高阶微分方程通过选择适当的变量可转换为一阶 微分方程组

一阶微分方程组的个数等于变量的个数，即等于
高阶微分方程的阶数

变量的选择不是唯一的，选择的变量不同，得到 的方程组也不同
二、状态变量和状态矢量
1. 状态：系统的运动状态
2. 状态变量：完全表征系统运动状态的且个数最少 的一组变量
B(t), C(t),D(t) 的样式与A相同
（4）对于非线性系统，状态空间描述为
1 f1 ( x1 , x2 , xn ;u1, u2 ,ur ; t ) x x 2 f1 ( x1 , x2 , xn ;u1, u2 ,ur ; t ) n f1 ( x1 , x2 , xn ;u1, u2 ,ur ; t ) x y1 g1 ( x1 , x2 , xn ;u1, u2 ,ur ; t ) y g ( x , x , x ;u , u ,u ; t ) 2 1 1 2 n 1 2 r ym g1 ( x1 , x2 , xn ;u1, u2 ,ur ; t )
U ( s)
b
Y ( s)


1/ s
1/ s
u
b
x1


a1
x1 x 2

x2 y
a1 a2
a2
x1 a1 x1 a2 x2 bu x2 x1 y x2
举例：已知系统的结构图如下，求状态空间表达式。
U ( s)

k1 T1 s 1 k2 T2 s 1 k3 T3 s
b11 b12 b b 21 22 B bn1 bn 2 b1 p b2 p bnp
y1 c11x1 c12 x2 c1n xn d11u1 d1 pu p y2 c21x1 c22 x2 c2n xn d21u1 d2 pu p yq cq1x1 cq2 x2 cqn xn dq1u1 dqpu p
y Cx Du
……….
c11 c 21 C cq1
c12 c22 cq 2
c1n c2 n cqn
d11 d 21 D d q1
d12 d 22 dq2
（1-13）
（1）对于SISO线性定常系统，状态空间描述的一般形式为
1 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1u x 2 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2u x n 1 an 11 x1 an 12 x2 an 1n xn bn 1u x n an1 x1 an 2 x2 ann xn bnu x
n an1x1 an2 x2 ann xn bn1u1 bnpu p x
Ax Bu x
a11 a A 21 an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
在选取状态变量时，一般遵循把系统储能元件的输出、 系统的输出及其各阶导数为状态变量的选取原则。
1.3由系统微分方程求出状态空间表达式
在学习古典控制理论中，一个系统的运动情况可由一个高阶微分 方程式来描述。在这种形式中，将所有的内部变量消去，只是保留 输入输出变量，这种描述称为外部描述。
若对已知的外部描述重新选择状态变量，建立相应的状态空间表 达式，则称为实现问题。 所求得的状态空间表达式既保持了原微分方程的输入输出的关系， 又将系统的内部关系揭示出来。当然，由于状态变量的选择不同， 状态空间表达式并不是唯一的，一般会有无穷多个内部结构能够得 到相同的输入输出关系。

同一个系统状态变量的选取不是唯一的 状态变量应该是相互独立的，且个数应等于微分方程 的阶数，即等于系统中独立的储能元件的个数 状态变量在初始时刻的值就是系统的初始状态，即系 统的n个独立初始条件。


3. 状态矢量：如果n个状态变量 x1 t , x2 t , xn t 用矢量的形式表示为：
（1.8）
由系统的高阶微分方程式或传递函数建立系统的状态空 间表达式，就是由方程的系数来构造A、B、C和D四个矩阵。 分别讨论以下两种情况下，建立状态空间表达式。 • 系统输入量不含导数项 • 系统输入量含有导数项的
d1 p d2 p d qp
（3）对于线性时变系统，状态空间描述为
A(t ) x B(t )u x y C (t ) x D(t )u
a11 (t ) a12 (t ) a1n (t ) a (t ) a (t ) a (t ) 22 2n A(t ) 21 an1 (t ) an 2 (t ) ann (t )
2. 状态空间描述：也称状态空间表达式或动态方程， 用状态变量构成输入、输出与状态之间的关系方程 组。在现代控制理论中，用系统的状态方程和输出 方程来描述系统的动态行为，状态方程和输出方程 合起来称为系统的状态空间表达。
状态 方程
f x, u x y g x, u
输出 方程
Y (s) b U (s) s a
Y (s) b/s U (s) 1 a / s
U ( s)
b
1/ s
Y ( s)

u
b


y
a
a
系统框图
系统结构图
x ax bu yx
2. 二阶系统
Y (s) b 2 U ( s ) s a1 s a2
Y (s) b / s2 U ( s) 1 a1 / s a2 / s 2
现代控制理论基础
雷金莉 宝鸡文理学院 电子电气工程系 2014.9
第一章 线性系统的状态空间描述
教学要求
1.
正确理解线性系统的数学描述，状 态空间的基本概念。 熟练掌握状态空间的表达式，线性 变换.
2.
重点内容

状态空间表达式的建立，线性变换的基 本性质，传递函数矩阵的定义。

要求熟练掌握通过传递函数、微分方程 和结构图建立电路、机电系统的状态空 间表达式，并画出状态变量图，以及可 控、可观、对角和约当标准型。
R 1 1 x1 x2 u （1-7） L CL L
（1-8）
2 x1 x
R L x 1
1 1 CL x L u 0 0
（1-10）
1 1 y (t ) c (t ) x2 0 x C C y Cx Du
x1 t x t xt 2 xn t
则x(t)称为状态矢量。
三、状态空间和状态空间描述
1. 状态空间：以状态变量 x1 , x2 ,, xn 为坐标轴构 成的n维空间
在某一时刻的状态矢量在状态空间中就是一个点。随着 时间的推移，状态矢量在状态空间中描绘出一条轨迹，称 为状态轨迹。
f ( x , u, t ) x y g ( x , u, t )
四、状态结构图
在状态空间分析中，常用状态结构图来反映 系统各状态变量之间的信息传递关系。
状态结构图绘制方法： 积分器的数目等于状态变量数 将他们画在适当的位置，每个积分器的输出为 相应的状态变量 根据所给的状态方程和输出方程。画出相应的 加法器和放大器 最后用箭头将这些元件连接起来。
Ax bx x
（1-14）
y c11 x1 c12 x2 du y cx du
（16）
（1-15）
其中：
x1 x x 2 xn
状态矢量
a11 a A 21 an1
a12 a22 an 2
（1-3）
dc(t ) d 2c(t ) u(t ) RC LC c(t ) dt dt
（1-5）
（2）用现代法分析： 设变量 x1 (t ) i(t )
1 Rx1 Lx 1 x2 u C
（1-6）
x2 (t ) idt
x x1 x2
（1-9）
1 x
a1n a2 n ann
b1 b b 2 bn
输入或控制矩阵
系统矩阵
c c1 c2 cn
输出矩阵
（2）对于MIMO系统，状态空间描述为
………
1 a11 x1 a12 x2 a1n xn b11u1 b1 pu p x 2 a21 x1 a22 x2 a2n xn b21u1 b2 pu p x
常见的控制系统，可分为电气、机械、机电、液压等系 统，根据相应的物理规律，当系统的具体物理机构已知、各 参数已知，根据各种基本定律，如基尔霍夫定律、牛顿定律、 能量守恒定律等，可直接建立系统的状态方程。当指定了系 统的输出时，也不难写出系统的输出方程。步骤如下：
（1）根据系统的机理建立相应的微分方程。 （2）选择有关的物理量作为状态变量。 （3）导出状态空间表达式。