系数 c i 为待定系数，其中i1,2,..n. ，采用留数定理计算：
当 i q 1 ,q 2 ,. n 时 ..c i , s l ， i iG m ( s )s (i)
当 j 1 ,2 ,.q 时 ..,C 1 ， j ( 1 q )s L 1 (i j 1 1 m )d d ! jj 1 1 s W ( s ) ( s 1 ) q
第二节 线性定常系统状态空 间表达式的建立
D
X(t)
u(t)
B
X ∫
C
Y(t)
A
系统的状态变量个数，仅等于系统包含的独立储能元件的个数， 因此，一个n 阶系统仅有n 个状态变量可以选择。
获得状态空间表达式有三个途径： ①根据物理化学机理用解析的方法进行建立；
② 根据传递函数或高阶微分方程演化求得； ③ 由传递函数的实极点建立；
y ( n ) a n 1 y ( n 1 ) . .a 1 y . a 0 y b 0 u
系统的传递函数为： 形式1：
W (s)snan 1sn 1b 0a 1sa0
若已知y (0 )y ,(0 ),y( .n 1 .)(.0 )及t＞0时的输入,则系统的行为就可 唯一被确定。因此可选取x1=y,x2=y(1)…xn=y(n-1)作为状态变量, 则微分方程可表示为
0
xn
0 0
1 1
q1 q2 0
x1 0
x2
0
xq x q 1
1
1
u
0 xq2 1
n x n 1
对角线阵
x1
y [ c 1q
c 1 ( q 1 ) c 12
c 11
c q1
c
n
]
x
2
将式(4)和式(6)代入原始微分方程式中，根据左右等式
中u及其各阶导数的系数相等的原则可得到：0,1,,n
xn1 an1xn L a1x2 a0x1 0
n bn
nn12
bn1 an1n bn2 an1n1
an2n
L
0 b0 an11 an22 L a1n1 a0n
为便于记忆， 将上式写成：
(7)
④由系统方框图，根据各环节之间的连接建立。
一 、按系统的物理机理建立状态空间表达式
1 步骤： (1)确定系统的状态变量、输入变量、输出变量; (2)根据变量应遵循的物理、化学定理,列出描述系统动态特性或
运动规律的微分方程; (3)消去中间变量,得出状态变量的导数与各状态变量、输入变
量的关系及输出变量与各状态变量、输入变量的关系; (4)将方程整理成状态方程、输出方程的表准形式。
2 说明： ①上述是对结构和参数均已知的系统建立状态空间表达式的方法。
②系统的状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适 合于用计算机来计算。
③状态变量的选择不是唯一的。
按系统的物理机理建立状态空间
R
+
表达式的例子 1、R-L-C电网络系统
u(t) i(t)
输入
_
L +
+ uc(t) _
y
输出
n
n 1
1
0
按能控规范型的状态和输出方程：
按能观测规范型： 状态方程和输出方程如下：
三. 约当标准型(根据传递函数实数
极点建立状态空间描述)
不失一般性，讨论
W(s)
(s
bnsn bn1sn1 b1s b0
1)q (s k1)(s k2) (s
n
)
此系统：
(s
经典控制理论中，线性离散系统的动力学方程是用标 量差分方程或脉冲传递函数来描述的，这里先从单输入-单 输出系统入手研究。SISO线性定常离散系统差分方程的一 般形式为：
y k n a n 1 y k n 1 L a 1 y k 1 a 0 y k
(1)
b n u k n b n 1 u k n 1 L b 1 u k 1 b 0 u k
形式2：
若按下式选取如下状态变量x1=y/b0,x2=y(1)/b0…xn=y(n-1)/b0, 则 微分方程可表示为
2 微分方程中包含输入函数导数项
y ( n ) a n 1 y ( n 1 ) . a 1 . y a 0 . y b m u ( m ) b m 1 u ( m 1 ) . b 1 . u ( 1 ) b . 0 u
对式(1)进行z 变换，整理为
G W(zz)uyzzbznnznabnn1z1znn11LLab1z1zab00
(2)
bnznna1znn1z1n1LL1za1z0a0 bnN Dzz
Y(s)bmsmbm1sm 1...b1sb0 U(s) snan1sn1...a1sa0
注意：
方程中存在输入信号的导数项，有可能…导致系统在状态空间 中的运动出现无穷大的跳变，方程解的存在性和唯一性被破坏。 因此，X的选择要使状态方程的右边不出现u 的导数项。通常将 输入的导数项并入所选的状态变量中，把状态变量取为输出y 和输入u 的各阶导数的适当组合。
2.）求 0,1,2,...n ,
思路:由式(1)可以看出，将y表示成u的各阶导数和x的形式， 并代入原始微分方程式中 ，根据u及其各阶导数的系 数相等的原则求解：
由式(1)(2)可以得到下式：
yx1 nu
& yy& &xx& &12nnu& 1u&x2nu& & n1xu3nnu&2un1u&nu& &
（1）对于互异极点部分：
令
1 X i(s ) siU (s ) (i q 1 ,q 2 , ,n ) (2 )
拉氏反变换可得：
x i i x i u ( i q 1 , q 2 , , n )( 3 )
（2）对于重极点部分：
令 X j(s ) (s 1 1 )q j 1 U (s ) (j 1 ,2 ,.q ) .., (4 )
(4)
L
y(n1)
xn
u(n1)
n
u(n2) n1
L
2u&1u
增加一个中间变量：x n 1
令 x n 1x & n0 u (5 )
由式(5)和式(4)可求得：
y (n ) x nn u (n )n 1 u (n 1 ) 2 u 1 u
(6)
x n 1 n u (n )n 1 u (n 1 ) 2 u 1 u 0 u
式中 k 表示 k T 时刻，T 为采样周期；y k 为 k T 时刻的输出量， u k 为时刻 k T 的输入量；a i , b i 是与系统特性有关的常系数。
z
初始条件为零时，离散函数的变换关系为:
z y k y z ,z y k i z i y z
x 1 x2 x 2 x3 ...
x n1 xn x n a0x1a1x2 ...an2xn1an1xn b0u
y=x1
化为向量矩阵形式：
状态方程为:
x&1 0 1
0 x1 0
x&2
M
M 0
O
x2 Mu
1 M 0
x&n a0 a1 L an1xn b0
输出方程为: y10L 0x
系数矩阵和输出矩阵具有上述形式为可观测规范Ⅱ型
（2）能观测规范型 1.）选择状态变量
x1 y nu
x x
2 3
x&1 x&2
n 1u n2u
(1 )
L
x n x&n 1 1 u
式中系数 0,1,,n
是待定系数.
x&1 x 2 n 1u
整理(1)式得:
x&2
x3
n2u
L
(2)
x&n 1 x n 1u
（1）能控规范型
引入中间变量z，以u作为输入、z作为输出的不含输入导数项 的微分方程，即
U(s)
1
z(s)
snan1sn1...a1sa0
Y(s)
n 1 sn 1n 2sn 2 ...1 s0
zyn n an1 z1znn1 1 LLa 1z& 1z& a00zzu
(1-17)
定义如下一组状态变量
x 1 z， x 2 z & ， L ， x 0 zn 1
(1-18)
可得状态方程：
x&1 x 2 x&2 x 3
M
x&n a 0 z a 1 z& L
a n1 z n1
u
a 0 x 1 a 1 x 2 L a n 1 x n u
输出方程为 y 0 x 1 1 x 2 L n 1 x n bnu
bnu
xn
约当标准型状态结构图
x1q
∫
x1q
…
x12 ∫ x12
+
+
x11
+
∫
x11
c11
-λ1
-λ1
-λ1
u(t)
xq1 ∫ xq+1
+
cq+1
c12 c1q
y(t)
-λq+1
xn
∫
xn
+
cn
-λn
[例]已知系统的G(s)=1/(s3+6s2+11s+6),试求状态式。 解:
G (s) 1/ 2 1 1/ 2 s1 s 2 s3
x1 1 0 0 x 1 1
x2
0
2
0
x
2
1
u
x3 0 0 3 x 3 1 u