大一高数基础练习题 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-《高等数学》（理工类）1.设()y f x =的定义域为(0,1]，()1ln x x ϕ=-，则复合函数[()]y f x ϕ=的定义域为________；0ln 1,[1,)x x e ≤<∈2.已知0x +→时，arctan3x 与cos axx是等价无穷小，则a =______；0arctan 33lim1,3x x a ax a→===；3．函数6cos 2sin π+=x x y ，则=y d ________；21(2cos 2sin 2)x x dx x-；4．函数x xe y -=的拐点为____________；(2)0,2x y e x x -''=-==，2(2,2)e -5．设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=2,2,sin )(ππx x a x x x f ，当a =____时，)(x f 在2π=x 处连续；12π-；6. 设()y y x =是由方程20y e xy +-=所确定的隐函数，则y '=__；y ye x-+ 7．函数xx ex f --=111)(的跳跃间断点是______；(1)0,(1)1,f f -+==1x =；8．定积分11sin )x dx -⎰＝________；022π=⎰9．已知点空间三个点,)2,1,2(),1,2,2(,)1,1,1(B A M 则AMB = _______；3π；10．已知(2,3,1)(1,2,3)a b ==，则a b ⨯＝_________。

(751)-，， 二、计算题（每小题6分，共42 分）1．求极限220ln(1)1lim 2sin 2x x arc x →+=。

2．求极限3sin 0sin lim xt x e dtx x →-⎰=32sin 03sin lim61cos xx xe x →=-3．设2sin ,x y e x =⋅求.dydx。

2(2sin cos )xdy e x x x dx=+4、设ln arctan x y t⎧⎪=⎨=⎪⎩ 求dy dx 以及22d y dx 。

解 21ln(1)2x t =+，221111dy t t dx t t+==+，22231d y t dx t +=-5．计算不定积分⎰dx xx )ln(ln 。

解 ln(ln )ln x d x ⎰1ln ln(ln )x x dx x=-⎰ln (ln(ln )1)x x C =-+6、计算不定积分213cos dx x +⎰22sec 3sec 1x dx x =+⎰213tan 4d x x =+⎰2xC + 7．计算定积分dx x x 22)4(1--⎰121(1)(4)(1)(4)x x dx x x dx =-----⎰⎰三、证明题（每小题8分，共16 分） 1、设)(x f 在区间[0,3]上连续，在区间(0,3)内可导，且(0)(1)(2)3f f f ++=，(3)1f =，试证必存在(0,3)ξ∈使()0f ξ'=。

证明 因为()f x 在]3,0[上连续，所以)(x f 在]2,0[上连续，且在]2,0[上有最大值M 和最小值m 。

于是 ,)0(M f m ≤≤,)1(M f m ≤≤,)2(M f m ≤≤所以 ,3)2()1()0(M f f f m ≤++≤由介值定理知至少存在]2,0[∈c ，使1)(=c f 。

因为1)3()(==f c f ，且)(x f 在]3,[c 上连续，在)3,(c 内可导，由罗尔定理存在(,3)(0,3)c ξ∈⊂，使 ()0f ξ'= 。

2、证明不等式：当0x >时，1ln(x x + 。

证明()1ln(f x x x =++，()ln(0,0f x x x '=>>，()(0)0f x f >=，则当0x >时，1ln(x x +>四、应用题（第1小题10分，第2小题12分）1．要建造一个体积为350m V =的圆柱形封闭．．的容器，问怎样选择它的底半径和高，使所用的材料最省？解 设圆柱体的半径为r ，高250h rπ=，表面积为S ,21002S r r π=+， 210040S r rπ'=-=，r =，h =2．求曲线a xy =)0(>a ，直线a x =，a x 2=及x 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周所得到的旋转体体积。

解 2222a y aV a dx a ππ==⎰《高等数学》（理工）一、 选择题（每空 3 分，共 15 分）1、下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是（ ）；D ；A 、21()x x --→+∞；B 、sin (0)xx x→ C、2)x →∞； D 、2(0)1x x x →+。

2、设函数22()12ax x f x x ⎧≥=⎨<⎩在2x =处连续,则a =（ ）；A ；A 、41； B 、0； C 、21； D 、1、3、设()f x 在[,]a b 上可导，且()0.f x '>若0()()xx f t dt Φ=⎰，则下列说法正确的是（ ）；C ；A 、()x Φ在[,]a b 上单调减少；B 、()x Φ在[,]a b 上单调增加；C 、()x Φ在[,]a b 上为凹函数；D 、()x Φ在[,]a b 上为凸函数。

4、下列不定积分计算正确的是（ ）；D ；A 、c x dx x +=⎰32；B 、c x dx x+=⎰112； C 、c x dx x +=⎰cos sin ； D 、c x dx x +=⎰sin cos 。

5、设)(x f 在],[b a 上连续，则下列论断不正确的是（ ）。

A ；A 、()baf x dx ⎰是()f x 的一个原函数；. B 、()xaf t dt ⎰在(,)a b 内是()f x 的一个原函数.；C 、()bx f t dt ⎰在(,)a b 内是()f x -的一个原函数； D 、()f x 在(,)a b 上可积。

二、填空题（每空 3 分，共 15 分）6、若lim ()2,x f x →∞=则()x f x →∞=；20x =；7、曲线12+=x y 在点)2,3(的切线方程为：____ ____；22y x -=-； 8、曲线sin y x =在(0,2)π内的拐点为 ；(,)e π； 9、当p 满足条件__________时,反常积分 1pdxx +∞⎰收敛； 1p >； 10、微分方程43()()21y y y x '''++-=的阶数是_________.2；三、计算题（共 45 分）11、求下列函数极限(每题6分，共12分)：(1) 016x →=(2) 2203200sin sin 1limlim 33x x x t dtx x x →→==⎰12、求下列函数导数（每题6分，共12分）：(1) 设函数5ln 11tan +++=x xe y x ,求y ' ；解 tan 221(1sec )(1)x y e x x x '=+-+ (2)设函数()x f y = 由方程 054ln 2=-+-x y y x 所确定，求)1,5(y '；解45y y '+-， 将5,1x y ==代入得 (5,1)35y '=13、求下列函数积分（每题7分，共21分）：(1) dx C =+(2) 22111111ln ln (ln )22e e e ex xdx xdx x xxdx ==-⎰⎰⎰2211()22e e -=-21(1)4e =+ (3)⎰-++-1152)cos 1(dx x x xx 022π==⎰四、证明题(每小题 8分，共 16 分）14、证明：设arctan ln(1)01xx x x +≥≥+证明 设()(1)(1ln )arctan 0f x x x x x =++-≥，21()(1ln )101f x x x =++->+则()(0)0f x f ≥=，arctan ln(1)01x x x x+≥≥+15、设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且(1)0f =，求证在(0,1)内至少存在一点,ξ使得3()()0f f ξξξ'+=成立.证明 设3()()F x x f x =在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且(0)(1)0F F ==，y 由罗尔中值定理得 23()3()()0F f f ξξξξξ'=+=，即有 3()()0f f ξξξ'+= 五、应用题（共9分）16、求曲线2y x =与过该曲线上的点(4,2)的切线及y 轴所围成的图形的面积.S解 21yy '=， (4,2)14y '=，切线方程 12(4)4y x -=-，114y x =+ 高等数学（上）一、单项选择题（本题共20分，每小题2分） 1、函数1ln(2)y x x=+的定义域为（ ）；D ； A 、0x ≠且2x ≠-； B 、B 、0x >； C 、2x >-； D 、2x >-且0x ≠。

2、=∞→xx x 1sinlim （ ）；C ； A 、∞； B 、不存在； C 、1； D 、0。

3、按给定的x 的变化趋势，下列函数为无穷小量的是（ ）；A ；A 、142+-x x x (+∞→x ) ； B 、111-⎪⎭⎫⎝⎛+xx (∞→x )； C 、x --21 (0→x ) ； D 、xxsin (0→x )； 4、设()⎩⎨⎧≥+<=0,0,x x a x e x f x 要使()x f 在0=x 处连续，则=a （ ）；B ；A 、2；B 、1；C 、0 ；D 、-15、设函数()f x 在(,)a b 内恒有()0,()0f x f x '''><，则曲线()y f x =在(,)a b 内（ ）A ；A 、单调上升，向上凸； B 、单调下降，向上凸；C 、单调上升，向上凹；D 、单调下降，向上凹。

6、设()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----，则方程()0f x '=在实数范围内根的个数是（ ）；B ；A 、4 ；B 、3 ；C 、2 ；D 、1 。

7、设21,0(),0x x x f x e x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，则31(2)f x dx -=⎰（ ）；B ；2245,2(2),2x x x x f x e x -⎧-+<⎪-=⎨≥⎪⎩A 、13e -；B 、13e + ；C 、13； D 、2e 。