1.2 命题与量词、基本逻辑联结词一、选择题1．下列命题中的假命题是( )． A ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0 B ．∃x 0∈R ，tan x 0＝1 C ．∀x ∈R ，x 3＞0D ．∀x ∈R,2x ＞0解析 对于A ，当x 0＝1时，lg x 0＝0正确；对于B ，当x 0＝π4时，tan x 0＝1，正确；对于C ，当x ＜0时，x 3＜0错误；对于D ，∀x ∈R,2x ＞0，正确． 答案 C2. 已知命题p ：函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －log 13x 在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，13内存在零点，命题q ：存在负数x 使得⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >⎝ ⎛⎭⎪⎫13x .给出下列四个命题：①p 或q ；②p 且q ；③p 的否定；④q 的否定．其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析 命题p 为假命题，命题q 也为假命题．利用真值表判断． 答案 B3．命题“∀x ＞0，x 2＋x ＞0”的否定是( )． A ．∃x 0＞0，x 20＋x 0＞0 B ．∃x 0＞0，x 20＋x 0≤0 C ．∀x ＞0，x 2＋x ≤0D ．∀x ≤0，x 2＋x ＞0解析 根据全称命题的否定是特称命题，可知该命题的否定是：∃x 0＞0，x 20＋x 0≤0. 答案 B4．已知p ：|x －a |＜4；q ：(x －2)(3－x )＞0，若非p 是非q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为( )． A ．a ＜－1或a ＞6 B ．a ≤－1或a ≥6 C ．－1≤a ≤6D ．－1＜a ＜6解析 解不等式可得p ：－4＋a ＜x ＜4＋a ，q ：2＜x ＜3，因此非p ：x ≤－4＋a 或x ≥4＋a ，非q ：x ≤2或x ≥3，于是由非p 是非q 的充分不必要条件，可知2≥－4＋a 且4＋a ≥3，解得－1≤a ≤6. 答案 C5．若函数f (x )＝－x e x ，则下列命题正确的是( )A ．∀a ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1e ，∃x ∈R ，f (x )>aB ．∀a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞，∃x ∈R ，f (x )>aC ．∀x ∈R ，∃a ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1e ，f (x )>a D ．∀x ∈R ，∃a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞，f (x )>a解析 f ′(x )＝－e x(x ＋1)，由于函数f (x )在(－∞，－1)上递增，在(－1，＋∞)上递减，故f (x )max ＝f (－1)＝1e ，故∀a ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1e ，∃x ∈R ，f (x )>a .答案 A6．若函数f (x )＝x 2＋ax(a ∈R )，则下列结论正确的是( )． A ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数 B ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数 C ．∃a ∈R ，f (x )是偶函数 D ．∃a ∈R ，f (x )是奇函数解析 对于A 只有在a ≤0时f (x )在(0，＋∞)上是增函数，否则不成立；对于B ，如果a ≤0就不成立；对于D 若a ＝0，则f (x )为偶函数了，因此只有C 是正确的，即对于a ＝0时有f (x )＝x 2是一个偶函数，因此存在这样的a ，使f (x )是偶函数． 答案 C7．已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋2≤0.q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )． A ．[1，＋∞) B ．(－∞，－1] C ．(－∞，－2]D ．[－1,1]解析 (直接法)∵p ∨q 为假命题，∴p 和q 都是假命题．由p ：∃x 0∈R ，mx 20＋2≤0为假，得∀x ∈R ，mx 2＋2＞0，∴m ≥0.①由q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1＞0为假，得∃x 0∈R ，x 20－2mx 0＋1≤0，∴Δ＝(－2m )2－4≥0⇒m 2≥1⇒m ≤－1或m ≥1.② 由①和②得m ≥1. 答案 A【点评】 本题采用直接法，就是通过题设条件解出所求的结果，多数选择题和填空题都要用该方法，是解题中最常用的一种方法. 二、填空题8．若命题“∃x 0∈R,2x 20－3ax 0＋9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析 因为“∃x 0∈R,2x 20－3ax 0＋9＜0”为假命题，则“∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a 2－4×2×9≤0，故－22≤a ≤2 2. 答案 －22≤a ≤2 29．已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：13－x＞1，若非q 且p 为真，则x 的取值范围是________．解析 因为非q 且p 为真，即q 假p 真，而q 为真命题时，x －2x －3＜0，即2＜x ＜3，所以q 假时有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2＋2x －3＞0，解得x ＞1或x ＜－3， 由⎩⎨⎧x ＞1或x ＜－3，x ≥3或x ≤2，得x ≥3或1＜x ≤2或x ＜－3，所以x 的取值范围是x ≥3或1＜x ≤2或x ＜－3. 故填(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)． 答案 (－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞) 10．已知命题p ：f (x )＝1－2mx在区间(0，＋∞)上是减函数；命题q ：不等式(x－1)2>m 的解集为R .若命题“p ∨q ”为真，命题“p ∧q ”为假，则实数m 的取值范围是________．解析 由f (x )＝1－2m x 在区间(0，＋∞)上是减函数，得1－2m >0，即m <12，由不等式(x －1)2>m 的解集为R ，得m <0.要保证命题“p ∨q ”为真，命题“p ∧q ”为假，则需要两个命题中只有一个正确，而另一个不正确，故0≤m <12.答案 0≤m <12 8．令p (x )：ax 2＋2x ＋a ＞0，若对∀x ∈R ，p (x )是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析 ∵对∀x ∈R ，p (x )是真命题． ∴对∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋a ＞0恒成立，当a ＝0时，不等式为2x ＞0不恒成立， 当a ≠0时，若不等式恒成立， 则⎩⎨⎧a ＞0，Δ＝4－4a 2＜0，∴a ＞1.答案 a ＞111. 已知定义在R 上的函数f(x),写出命题”若对任意实数x 都有f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数”的否定: . 解析 所给命题是全称命题,其否定为存在性命题.答案 若存在实数0x ,使得00()()f x f x -≠,则f(x)不是偶函数12．已知命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a ＞0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析 由“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a ＞0”的否定为假命题，可知命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a ＞0”必为真命题，即不等式x 2－5x ＋152a ＞0对任意实数x 恒成立． 设f (x )＝x 2－5x ＋152a ，则其图象恒在x 轴的上方． 故Δ＝25－4×152a ＜0，解得a ＞56，即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞三、解答题13．已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0，若“p 且q ”为真命题，求实数a 的取值范围． 解析 由“p 且q ”为真命题，则p ，q 都是真命题．p ：x 2≥a 在[1,2]上恒成立，只需a ≤(x 2)min ＝1， 所以命题p ：a ≤1；q ：设f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，存在x 0∈R 使f (x 0)＝0， 只需Δ＝4a 2－4(2－a )≥0， 即a 2＋a －2≥0⇒a ≥1或a ≤－2， 所以命题q ：a ≥1或a ≤－2.由⎩⎨⎧a ≤1，a ≥1或a ≤－2得a ＝1或a ≤－2∴实数a 的取值范围是a ＝1或a ≤－2. 14．写出下列命题的否定，并判断真假． (1)q ：∀x ∈R ，x 不是5x －12＝0的根； (2)r ：有些质数是奇数； (3)s ：∃x 0∈R ，|x 0|＞0.解析 (1)非q ：∃x 0∈R ，x 0是5x －12＝0的根，真命题． (2)非r ：每一个质数都不是奇数，假命题． (3)非s ：∀x ∈R ，|x |≤0，假命题．15．设命题p ：函数f (x )＝x 3－ax －1在区间[－1,1]上单调递减；命题q ：函数y ＝ln(x 2＋ax ＋1)的值域是R .如果命题p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求a 的取值范围．解析 p 为真命题⇔f ′(x )＝3x 2－a ≤0在[－1,1]上恒成立⇔a ≥3x 2在[－1,1]上恒成立⇔a ≥3.q 为真命题⇔Δ＝a 2－4≥0恒成立⇔a ≤－2或a ≥2. 由题意p 和q 有且只有一个是真命题． p 真q 假⇔⎩⎨⎧a ≥3，－2<a <2⇔a ∈∅；p 假q 真⇔⎩⎨⎧a <3，a ≤－2或a ≥2⇔a ≤－2或2≤a <3.综上所述：a ∈(－∞，－2]∪[2,3)．16.已知m ∈R ,命题p:对任意[08]x ∈,,不等式log 13(1)x +≥23m m -恒成立;命题q:对任意x ∈R ,不等式|1+sin2x-cos2x|2m ≤|cos ()4x π-|恒成立.(1)若p 为真命题,求m 的取值范围;(2)若p 且q 为假,p 或q 为真,求m 的取值范围.解析 (1)令f(x)=log 13(x+1),则f(x)在(1)-,+∞上为减函数.因为[08]x ∈,,所以当x=8时min ()(8)2f x f ,==-.不等式log 132(1)3x m m +≥-恒成立,等价于223m m -≥-,解得12m ≤≤.(2)不等式|1+sin2x-cos2x|2m ≤|cos ()4x π-|,即|2sinx(sinx+cosx)|≤|sinx+cosx|,所以m ≥即命题q:m ≥若p 且q 为假,p 或q 为真,则p 与q 有且只有一个为真.若p 为真,q 为假,那么12m m ≤≤,⎧⎪⎨<⎪⎩则1m ≤<若p 为假,q 为真,那么12m m m <>,⎧⎪⎨≥⎪⎩或 则m>2.综上所述1m ,≤<m>2. 故m的取值范围是[1(2)⋃,+∞.。