人教版高中数学选修2-1《椭圆及其标准方程》教案
一、课型
新授课
二、教学内容
1、椭圆的定义；
2、椭圆的两类标准方程；
3、根据椭圆的定义及标准方程的知识解决一些简单的问题。

三、教学目标
1、知识与技能：理解并掌握椭圆的定义；明确焦点、焦距的概念；掌握椭圆标
准方程的两种形式及其推导过程；掌握a、b、c三个量的几何意义及它们之间的关系。

能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程；
2、过程与方法：通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力；
通过椭圆的标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力。

让学生感知数学知识与实际生活的普遍联系；
3、情感态度与价值观：通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学
习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识。

培养学生的探索能力和进取精神，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度。

通过椭圆的形成过程培养学生的数学美感，同时培养团队协作的能力。

四、教学重点、难点
重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程；
难点：椭圆标准方程的推导过程。

五、教学方法
教师引导为主、学生自主探究为辅。

六、教学媒体
幻灯片、黑板。

七、教学过程
（一）创设情境，导入新课
用多媒体演示神舟飞船绕地球旋转的模型，它运行的轨迹又是什么图形呢？可以看出，它的运行轨迹是椭圆。

此时老师指出：在实际生活中，椭圆随处可见，很多学科也涉及到椭圆的应用，所以学习椭圆的相关知识是十分必要的。

这就是我们这节课所要学习的内容——椭圆及其标准方程。

（二）问题探究
老师提问：我们从直观上认识了椭圆，那么椭圆它是如何形成的呢？椭圆满足什么样的条件呢？它的定义又是如何？
1、椭圆的形成
下面请各小组拿出老师之前让大家准备的工具：一段固定长的细绳、两颗钉子、一块长3分米，宽3分米的硬纸板。

然后将钉子系在细绳的两头，将钉子固定在图板上，使得两个钉子之间的距离小于细绳的长度（请同学们考虑一下，为什么两顶子之间的距离要小于细绳的长度？），我们用笔尖将细绳拉紧，让笔尖在图板上慢慢移动，请同学们观察笔尖运动的轨迹是什么图形呢？
如果我们将两个钉子之间的距离变大，使得两个钉子之间的距离恰好等于细绳的长度，同样用笔尖将细绳拉紧，让笔尖在图板上慢慢移动。

我们发现笔尖只能在两个钉子之间来回运动，这时笔尖运动的轨迹是两个钉子之间的线段。

将两个钉子之间的距离再增大，此时就可以发现，细绳的长度比两个钉子之间的距离小，笔尖没有轨迹。

再用课件给学生进行演示：
通过演示可以发现，绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键。

请同学们根据作图的过程和老师刚才的演示，思考：在作图过程中，有哪些物体的位置没变化？有哪些量没有变化？如何来归纳椭圆的定义呢？
2、椭圆的定义
平面内到两定点F
1、F
2
的距离之和等于常数(大于|F
1
F
2
|)的点的轨迹叫做
椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

通常常数
记作2a ，焦距记作2c ，则有2a ＞2c 。

注意：这里的常数必须大于|F 1F 2|。

如果常数=|F 1F 2|，则是线段F 1F 2；若常数＜|F 1F 2|，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，必须得加上限制条件：“此常数大于|F 1F 2|”。

3、椭圆标准方程的推导
首先复习求曲线方程的一般步骤：①建系设点；②寻找动点满足的几何条件；③把几何条件坐标化；④化简得方程。

（1）建系设点：设椭圆的焦距为2c （c ＞0），M 与F 1、F 2的距离之和为2a ，以两定点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，M(x ，y)为椭圆上任意一点，则有F 1（-c ，0），F 2（c ，0）。

（2）动点M 满足的几何条件：
由椭圆的定义不难得出动点M 满足的条件为：
a MF MF 221=+
(3）动点M 满足的代数方程：
∵221)(y c x MF ++=
∴a y c x y c x 2)()(2222=+-+++ （4）化简方程：
（a 2-c 2）x 2+a 2y 2=a 2(a 2-c 2)
由椭圆的定义可知，2a>2c,即a>c,所以a 2-c 2>0。

令a 2-c 2=b 2,其中b>0,代入上式，得b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2,
两边同除以a 2
b 2
,得122
22=+b
y a x （a>b>0）,此即为椭圆的标准方程。

它所表示的椭圆的焦点在x 轴上，焦点是)0,()0,(21c F c F -，中心在坐标原点的椭圆方程。

其中222b c a +=。

如果使点F 1、F 2在y 轴上，点F 1、F 2的坐标分别为F 1（0，-c ）、F 2 (0,c)，a 、
b 的意义同上，那么所得方程变为122
22=+b
x a y （a>b>0）
4、标准方程的观察、对比
当焦点落在x 轴上时，焦点坐标为F 1(-c,0),F 2(c,0)； 当焦点落在y 轴上时，焦点坐标为F 1(0,-c),F 2(0,c)。

请同学们思考：焦点的位置和方程之间有什么关系呢？ 那下面这个方程它的焦点位置又该如何来判断呢？
①当m>n 时，焦点在x 轴上，此时m=a 2，n=b 2； ②当m<n 时，焦点在y 轴上，此时m=b 2，n=a 2。

判断椭圆焦点位置的方法：观察含x 的项和含y 的项，哪个项的分母较大，焦点就在相应的那个轴上 。

（三）例题讲解
例1、（1）已知椭圆的焦点坐标是F 1（－4，0）,F 2（4，0），椭圆上任一点P 到F 1、F 2的距离之和为 10，求椭圆的标准方程；
（2）两个焦点的坐标分别是（0，-2）、（0,2），并且椭圆经过点（-3/2,5/2），求椭圆的标准方程。

解：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为12222=+b
y a x （a>b>0）
∵2a=10,2c=8，
∴a=5,c=4. ∴b 2=a 2-c 2=52-42=9.
所以所求椭圆的标准方程为
19252
2=+y x .
（2）因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为122
22=+b
x a y （a>b>0）
由椭圆的定义知，
2222)22
5
()23()225()23(2-+-+++-=a
12
2=+n
y m x ()
n m n m ≠>>且，00
102
11023+=
102= ∴a=10 又c=2
∴b 2=a 2-c 2=10-4=6
所以所求椭圆的标准方程为16
102
2=+x y 例2、已知B,C 是两定点，6=BC ，三角形ABC 的周长为16，求顶点A 的轨迹方程。

分析：由△ABC 的周长等于16，6=BC 可知，点A 到B 、C 两点的距离的和是常数，即10616=-=+AC AB ,因此，点A 的轨迹是以B,C 为焦点的椭圆，据此可建立如下的草图（图8-1）
解：如图8-1，建立坐标系，使x 轴经过点B 、C,
原点O 与BC 的中点重合。

由已知16=++BC AC AB ,6=BC , 有10=+AC AB ，即点A 的轨迹是椭圆，且
2c=6,2a=16-6=10, ∴c=3,a=5,b 2=a 2-c 2=52-32=16. 图8-1 但当点A 在直线BC 上，即y=0时，A 、B 、C 三点不能构成三角形，所
以点A 的轨迹方程是
)0(1162522≠=+y y x
注意：求出曲线的方程后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如果有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件。

（四）巩固练习
1、平面内两定点的距离是8，一动点M 到这两定点的距离之和是10，建立适当的坐标系，写出动点M 的轨迹方程。

2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）a=4，b=1，焦点在x 轴上；
（2）a 2=16，c 2=15，焦点在y 轴上； （3）a+b=10,c=52。

（五）课时小结
本节课学习了椭圆的定义及椭圆的标准方程，在实际解题过程中应注意： （1）一个重要关系式：a 2=b 2+c 2 且a>b>0；
（2）椭圆的焦点位置由含x ，y 的分式的分母大小来确定； （3）当2a=2c 时，轨迹为线段，当2a<2c 时，轨迹不存在。

（六）课后作业
教材P106—107，习题8.1:3、4、5、6
思考题：若
116242
2=++-k
y k x 表示椭圆，则k 的取值范围是？ 八、板书设计
九、教学反思。