1．已知向量：112[5,1,3,2,4],34[3,7,17,2,8],T Tααα=--=-- 求1223αα+ 解:∵ 21{[3,7,17,2,8][15,3,9,6,12]}4T T α=-----1[12,4,8,8,4][3,1,2,2,1]4T T=-----=-∴ 1223[10,2,6,4,8][9,3,6,6,3][19,1,0,10,11]TTTαα+=-+-=2.设 12[2,5,1,3],[10,1,5,10],T Tαα==3123[4,1,1,1],3()2()5()0Tααααααα=--++-+=并且求 α解:∵ 1236325αααα=+-[6,15,3,9][20,2,10,20][20,5,5,5][6,12,18,24],T T TT=+--=∴ [1,2,3,4].Tα=3.判断下列命题是否正确，为什么？ (1)如果当 120m k k k ====L 时， 11220m m k k k ααα+++=L 成立， 则向量组12,,m αααK 线性相关解：不正确.如：[][]121,2,3,4T Tαα==，虽然 12000,αα+=但12,αα线性无关。

(2) 如果存在m 个不全为零的数12,,,,m k k k L 使11220,m m k k k ααα+++≠L 则向量组12,,,m αααL 线性无关。

解： 不正确. 如[][]11121,2,2,4,1,2,TTk αα====存在k 使 121220,,.αααα+≠但显然线性相关(3) 如果向量组12,,,m αααL 线性无关,则其中任何一个向量都不能由其余向量线性表出. 解： 正确。

（反证）如果组中有一个向量可由其余向量线性表示，则向量组 12,,,m αααL 线性相关，与题没矛盾。

(4) 如果向量组123,,ααα线性相关，则3α一定可由12,αα线性表示。

解：不正确。

例如：[][][]1230,0,0,0,1,0,0,0,1,TTTααα===向量组123,,ααα线性相关，但3α不能由12,αα线性表示。

(5) 如果向量β可由向量123,,ααα线性表示，即： 112233,k k k βααα=++则表示系数123,,k k k 不全为零。

解：不正确。

例如：[][][]120,0,0,1,0,0,0,1,0,TTTβαα===[]31230,0,1,000Tαβααα==++，表示系数全为0。

(6) 若向量12,αα线性相关，12,ββ线性无关，则1212,,,ααββ线性相关.解：正确。

因12,αα线性相关，即存在不全为零的数12,,k k 使11221122120,000k k k ααααββ+=+++=从而k .因12,,0,0k k 不全为零，所以1212,,,ααββ线性相关。

4.判断向量β能否由向量组1234,,,αααα线性表示，若能，写出它的一种表示方式。

(1) [][][]121,1,2,2,1,1,0,0,2,2,0,0,TTTβαα===[]30,0,1,1Tα=，[]40,0,1,1Tα=-- 解：显然 131342βααααα=+=+-(2)[][][]121,2,5,1,1,1,1,2,3,T T T βαα=-==[]32,1,1T α=-，[]40,0,0.Tα= 解： 设112233,βχαχαχα=++得到方程组123223323212535x x x x x x x x x ++=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩对方程组的增广矩阵作初等行变换，得到：2112313211211121105412120133013321315021400510r r r r A r r r r ⎡⎤⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥=------⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦u u u u u r u u u u u u u r231323510541006501330103300120012r r r r r -⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦u u u u u u u r u u r故 1236,3,2,x x x =-==12346320.βαααα∴=-+++ (3)[][][]121,2,3,4,1,1,2,2,1,0,0,0,T T Tβαα===[][]341,2,2,2,2,0,0,0.TTαα=----=解: 设11223344βχαχαχαχα=+++，对该方程组的增广矩阵作初等 行变换得到：123242111210112110202102022202030020122020400200r r A r r r r --⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦u u u u u u u r 4301121102020020100001r r B -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦u u u u u u r因阶梯形矩阵B 所对应的方程组中存在矛盾方程，故方程组无解。

1234,,,.βαααα∴不能由线性表示(4) [][][]125,2,2,0,1,1,2,3,1,2,3,1,TTTβαα=--==- [][]341,1,1,2,1,4,5,11.TTαα=--=-解： 设11223344βχαχαχαχα=+++ ，对该方程组的增广矩阵作初等变换得到：11115100011214201002231520010331211000011A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=→----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦123412341,2,3,1,23x x x x βαααα∴====-=++-5. 证明： 如果n 维单位坐标向量组12,,,n εεεL 可由n 维向量组12,,,n αααL 线性表示，则向量组12,,,n αααL 线性相关。

证：1212,,,,,,n n αααεεεQ L L 向量组也可由线性表示,∴向量组12,,,n αααL 与向量组12,,,n εεεL 等价，所以向量组12,,,n αααL 的秩为n ，所以线性无关。

6. 若向量组123,,ααα线性无关，证明：向量组112123,,αααααα+++ 也线性无关。

证： 设有常数 123,,,k k k 使112123123123123233123123233()()0()()0,,0,0,0,11101110,.001k k k k k k k k k k k k k k k αααααααααααα+++++=+++++=∴++=+==∆==≠∴Q Q 即线性无关，系数行列式上方程组只有零解1231121230,,,k k k αααααα===+++从而向量组线性无关.7. 判断下列向量组是否线性相关，若线性相关，试找出其中一个向量，使这个向量可由其余向量线性表示，并写出它的一种表示方式。

(1) [][]121,2,4,8,1,3,9,27,TTαα=-= [][]341,4,16,64,1,1,1,1.TTαα==--解：以1234,,,αααα为列向量作矩阵[]1234,,,,A αααα=作初等行变换得到：21123132414211111111056123411450145034916138150020300782764172865000300r r r r A r r r r r r r r ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦u u u u u r u u u u u u u r 显然1234()4,,,,R A αααα=∴向量线性无关.(2)[][]122,1,0,3,1,3,2,4,T Tαα=-=-[][]343,0,2,1,2,2,4,6.TTαα=-=-解：令 []1234,,,,A αααα=对A 作初等行变换，得到：34124213213205320340342213021302130202243022430280283416013112013112r r r r A r r r r ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥++------⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦u u u u u u u r u u u u u u u r21310101010131302100113013112001100000000r r B r r ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+--⎢⎥⎢⎥→=+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦u u u u u u u u r故 R(A)=R(B)=3. 1234,,,αααα∴线性相关。

且由4123.αααα=++B可知， (3)[][][]1233,1,2,1,5,7,7,13,20.T T Tααα=-=-=-解： 令[]123,,,A ααα=解方程组AX=0，其中X=[]123,,Tχχχ,对系数矩阵A 作初等行变换得到：132121116322317016320123151315131513227200360121rr r A r r r r --⎡⎤⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-----⎢⎥⎢⎥⎢⎥+---⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⨯⎣⎦⎣⎦⎣⎦u u u u u u u r u u u u u u r21310125103000r r B r r -⎡⎤+⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦u u u u u u u r 由B 得同解方程组[]133233,1,3,2,1,2TX χχχχχ=-==-=取得12331230,32αααααα∴-++==-, 1234,,,αααα∴线性相关。

(4) [][][]1231,2,1,1,1,1,2,1,3,4,5,1.T T Tααα==-=解：令[]123,,,A ααα=对A 作初等行变换得到：213231424111311311322140120121250120002111022002r r r r A r r B r r r r ⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥+----⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦u u u u u u u r u u u u u u u r ∴R(A)=R(B)=3 , 123,,ααα∴线性无关。

8. 求下列向量组的秩，并求出一个极大无关组。

(1) [][][]1234,1,5,6,1,3,4,7,1,2,1,3,TTTααα=---=---=[]42,1,1,0Tα=-解： 令[]1234,,,,A αααα=对A 作初等行变换，得到：12324112673067302132113211321541167300000673067300000r r A B r r --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-------⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→=+-----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦u u u u u u u r ∴ R(A)=R(B)=2 , 向量组的秩为2, 12,αα是一个极大无关组。