《经济数学》线性代数学习辅导及典型例题解析
第1-2章行列式和矩阵
⒈了解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的运算。
矩阵的运算满足以下性质
⒉了解矩阵行列式的递归定义，掌握计算行列式（三、四阶）的方法；掌握方阵乘积行列式定理。
是同阶方阵，则有：
若是阶行列式，为常数，则有：
⒊了解零矩阵，单位矩阵，数量矩阵，对角矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，初等矩阵的定义及性质。
⒋理解可逆矩阵和逆矩阵的概念及性质，掌握矩阵可逆的充分必要条件。
若为阶方阵，则下列结论等价
可逆满秩存在阶方阵使得
⒌熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法，会用伴随矩阵法求逆矩阵，会解简单的矩阵方程。
用初等行变换法求逆矩阵：
用伴随矩阵法求逆矩阵：（其中是的伴随矩阵）
可逆矩阵具有以下性质：
⒍了解矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。
将矩阵用初等行变换化为阶梯形后，所含有的非零行的个数称为矩阵的秩。
典型例题解析
例1 设均为3阶矩阵，且，则。
解：答案：72
因为，且
所以
例2设为矩阵，为矩阵，则矩阵运算（）有意义。
解：答案：A
因为，所以A可进行。
关于B，因为矩阵的列数不等于矩阵的行数，所以错误。
关于C，因为矩阵与矩阵不是同形矩阵，所以错误。
关于D，因为矩阵与矩阵不是同形矩阵，所以错误。
例3 已知
求。
分析：利用矩阵相乘和矩阵相等求解。
解：因为
得。
例4 设矩阵
求。
解：方法一：伴随矩阵法
可逆。
且由
得伴随矩阵
则=
方法二：初等行变换法
注意：矩阵的逆矩阵是唯一的，若两种结果不相同，则必有一个结果是错误的或两个都是错误的。
例4 设矩阵
求的秩。
分析：利用矩阵初等行变换求矩阵的秩。
解：。
例5若 是 阶矩阵，且 ，试证
证明：
注意：在证明中用到了已知条件和转置行列式相等的结论。
第三章 线性方程组
一、本章主要容
主要概念：齐次线性方程组 非齐次线性方程组 方程组的矩阵表示 系数矩阵 增广矩阵 一般解 通解（全部解） 特解 基础解系 自由元（自由未知量）
n 维向量 线性组合（线性表出）线性相关 线性无关 极大线性无关组 向量组的秩 向量空间 向量空间的基和维数
主要性质：齐次线性方程组解的性质 非齐次线性方程组解的性质 主要定理：
线性方程组的理论
齐次线性方程组有非零解的充分必要条件 齐次线性方程组解的结构 非齐次线性方程组有解的充分必要条件 非齐次线性方程组解的结构
向量组线性相关性的有关定理（教材中第三章第三节）定理1、2、3及有关推论； 极大无关向量组的有关定理（教材中第三章第四节）定理1、2、3 主要方法：高斯消元法
齐次线性方程组解的情况判别 非齐次线性方程组解的情况判别 0=AX 基础解系的求法 )0(≠=B B AX 通解的求法
向量组线性相关（无关）的判别法 极大线性无关组的求法
二、本章重点：向量组相关性的概念及判别，线性方程组相容性定理，齐次线性方程组基础解系几通解的求法，非齐次线性方程组特解和全部解的求法。
三、典型例题解析
例1 向量组)2
1(,)110(,)111(321'='='=k ααα，若向量组线性相关则k =。
解：答案：2
因为由有关定理，向量组线性相关的充要条件是向量组的秩数小于向量组向量个数，所以 求向量组的秩，决定k 的取值，使其秩数小于3。
具体解法是
()⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=20011010
11101101011121110132
1
k k k ααα
当2=k 时，32)(321<=αααr ，故向量组线性相关。
例2 设向量组为 )1631(,)3211(,)4121(,)503
1(4321'--='='='=αααα
求它的一个极大无关组，并判断向量组的相关性。
分析： 解：
⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡--=000000006210111
162106210621011111345
6210312311
11)(43
21ααααΘ 21,αα∴是向量组的一个极大无关组，42)(4321<=ααααr ，此向量组线性相关。
例3 线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=--+=+--=--+λ
4321
43214321895443313x x x x x x x x x x x x 当λ为何值时方程组有解，有解时解的情况如何？
分析：因为增广矩阵的秩与λ的取值有关，所以选择λ的值，使)()(B A r A r M
= 解
⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=λλλ0000176401131117640176401131189514431311311)(B A M Θ0=∴λ当时，有42)()(<==B A r A r M ，方程组有解且有无穷多解。
例4 设线性方程组B AX =的增广矩阵经初等行变换后化为
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--→000001311021011)(B A M
求方程组的通解。
分析：将阶梯形矩阵继续化为行简化阶梯形矩阵，求出方程组的一般解，然后求特解，相应齐次方程组的基础解系，写出方程组的通解。
解： ⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000001311012101000001311021011)(B A M
得到方程组的一般解为
⎩⎨⎧-+=++=131
2432
431x x x x x x （其中43,x x 是自由元）
令043==x x ，得B AX =的一个特解)0011(0'-=X
再由相应齐次方程组的一般解
⎩⎨⎧+=+=432
4
3132x x x x x x （其中43,x x 是自由元）
令0,143==x x ，得0=AX 的一个解向量)0111(1'=X 令1,043==x x ，得0=AX 的另一个解向量)1032
(2'=X
{}21X X 是0=AX 的一个基础解系，于是方程组的通解为
=++=22110X k X k X X )0011('-+'+)0111(1k )1032(2'k
其中21,k k 为任意常数。