线性代数行列式经典例题例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式.解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =-，故01110212n n n D n n --=--1,1,,2i i r r i n n --=-=011111111n ----1,,1j n c c j n +=-=1211021(1)2(1)20001n n n n n n ------=----其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．方法2 01110212n n n D n n --=--11,2,,111111112i i r r i n n n +-=----=--12,,1001201231j c c j nn n n +=---=---=12(1)2(1)n n n ----例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明:的充要条件是a + b + c =0.证明: 考察范德蒙行列式:=行列式 即为y 2前的系数. 于是=所以 的充要条件是a + b + c = 0.例3计算D n =121100010nn n x x a a a xa----+解： 方法1 递推法 按第1列展开，有D n = x D 1-n +（－1）1+n a n 11111n x x x-----= x D 1-n + a n由于D 1= x + a 1，2211x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2D 2-n +a 1-n x + a n == x1-n D 1+ a 2x2-n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2倍， ，第n 列的x1-n 倍分别加到第1列上12c xc n D +=21121010010000n n n n x x x a xa aax a-----++213c x c +=32121231010*******10n n n n n n x xx a xa x a a a a xa--------+++==111x fx---n r =按展开1(1)n f+-1111n x xx----=111n n n n x a x a x a --++++方法3 利用性质，将行列式化为上三角行列式．D n21321111n n c c x c c xc c x-+++=11220000000n n nnn n nx x x a a a a a a k xx x---+++n =按c 展开x1-n k n = x1-n (1-n n xa + 21--n n x a + +x a 2+a 1+x) =111n n n n a a x a x x --++++方法4n r nD =按展开1(1)n na +-10001001x x---+21(1)n n a +--000010001x x--+ +212(1)n a --1000001x x--+21(1)()na x -+10000000x x x-=（－1）1+n （－1）1-n a n +（－1）2+n （－1）2-n a 1-n x+ +（－1）12-n （－1）a 2x 2-n +（－1）n 2( a 1+x) x 1-n = 111n n n n a a x a x x --++++例4． 计算n 阶行列式：11212212nn n n na b a a a a b a D a a a b ++=+ (120n b b b ≠)解 采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a ，可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素．12112122121000n n n n n na a a ab a a D a a b a a a a b +=++升阶213111n r r r r r r +---=121211001001n na a ab b b --- 1112,,1j j c c b j n -+=+=11121112100000000n na a a a ab b b b b +++=1121(1)nn na ab b b b b +++这个题的特殊情形是121212nn n n a x a a a a x a D a a a x++=+=11()nn i i xx a -=+∑可作为公式记下来．例5．计算n 阶“三对角”行列式Dn=001000101αβαβαβαβαβαβ+++＋解 方法1 递推法．D n1=按c 展开()αβ+D 1-n —(1)00001001n αβαβαβαβ-++1=按r 展开()αβ+D 1-n －αβD 2-n即有递推关系式 D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n (n ≥3) 故 1n n D D α--＝12()n n D D βα---递推得到 1n n D D α--＝12()n n D D βα---＝223()n n D Dβα---＝＝221()n D D βα--而1()D αβ=+，2D ＝β+α1αββ+α＝22ααββ++，代入得1n n n D D αβ--=1n n n D D αβ-=+ （2.1）由递推公式得1n n n D D αβ-=+＝12()n n n D ααββ--++＝α2D2-n ＋1n n αββ-+＝＝nα＋1n αβ-＋ ＋1n n αββ-+＝时＝，当时，当－－βαβα1)α(n αβαβ111≠⎪⎩⎪⎨⎧++++n n n方法2 把D n 按第1列拆成2个n 阶行列式D n =000100010001ααβαβαβαβαβ++＋＋0010001000001βαβαβαβαβαβαβαβ+++上式右端第一个行列式等于αD 1-n ，而第二个行列式0010001000001βαβαβαβαβαβαβαβ+++12,,i i c ac i n--==0001000010001ββββ=βn于是得递推公式1nn n D D αβ-=+，已与（2.1）式相同．方法3 在方法1中得递推公式D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n又因为当αβ+时 D 1=αβ+=βαβα--2221D αβαβαβ+=+=2()αβ+-αβ=22ααββ++=βαβα--33D 3=βααββααββα+++110=3()αβ+-2αβ()αβ+ = ()αβ+22()αβ+=βαβα--44于是猜想11n n n D αβαβ++-=-，下面用数学归纳法证明．当n=1时，等式成立，假设当n ≤k 时成立． 当n=k+1是，由递推公式得D 1+k =()αβ+D k －αβD 1-k=()αβ+βαβα--++11k k —αββαβα--k k =βαβα--++22k k所以对于n ∈N +，等式都成立例6． 计算n 阶行列式：12111111111n na a D a ++=+其中120n a a a ≠．解 这道题有多种解法． 方法1 化为上三角行列式nD 12,,i r r i n-==1121111n a a a a a +--112,,jj a c c a j n+==21100nb a a其中11211ni i b a a a ==++∑1111ni i a a =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑，于是n D 12111nn i i a a a a =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑．方法2 升阶（或加边）法121111011101110111n na D a a +=++升阶12,3,,1i r r i n -=+=1211111001001na a a --- 11111121,2,,1121111111j jni jc c a nn j n i i na a a a a a a a +=+=-=+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑∑方法3 递推法．将n D 改写为1211101110111n na a D a ++++=+n=按c 拆开12111111111a a +++1211011011na a a ++由于12111111111a a ++1,,1i n r r i n -=-=12111a a 121n a a a -=121111011na a a ++n =按c 展开1n n a D -因此n D =1n n a D -121n a a a -+为递推公式，而111D a =+，于是n D =1n n a D -121n a a a -+=12n a a a 11211n n n D a a a a --⎛⎫+ ⎪⎝⎭=12n a a a 2122111n n n n D a a a a a ---⎛⎫++ ⎪⎝⎭==12n a a a 11211n D a a a ⎛⎫+++⎪⎝⎭=12n a a a 121111n a a a ⎛⎫++++⎪⎝⎭。