其中， E 2 = (E )2 = ( xk pk )2
k
E 2 = x2k pk
k
补例 2：
－2
0
pk
0.4
0.3
求：E 和 D
E 解： =－2×0.4+0×0.3+2×0.3=－0.2
E 2=（－2）2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8
D = E 2－ E 2 =2.8－（－0.2）2=2.76
0
1
2
5
2
pk
1
1
1
3
3
5
10
10
10
10
求：⑴ 1， 2 的概率分布；⑵ E 。
解：因为
－1
0
1
2
5
2
pk
1
1
1
3
3
5
10
10
10
10
η=－
－2
－1
0
1
3
2
η=
1
0
1
4
25
4
所以，所求分布列为：
η=－
－2
－1
0
1
3
2
pk
1
1
1
3
3
5
和：
10
10
10
10
η=
1
0
1
4
25
4
pk
1
1
1
3
3
5
10
二、关于连续型随机变量的分布问题：
x
x∈R，如果随机变量的分布函数 F（x）可写成 F（x）=
( x) dx
，则为连
续型。 ( x) 称概率密度函数。
( x) 0 解题中应该知道的几个来自系式：(x) dx 1 b
P{a b} P{a b} F (b) F (a) a(x)dx
第三章 随机变量数字特征
3
一、求离散型随机变量的数学期望 E=？ 数学期望（均值）
E xk pk k
二、设为随机变量，f(x)是普通实函数，则η=f()也是随机变量，求 Eη=?
x1
x2
…
xk
pk
p1
p2
…
pk
η= f()
y1
y2
…
yk
以上计算只要求这种离散型的。
补例 1：设的概率分布为：
－1
10
10
10
当η=－1 时，Eη=E（－1）
=－2× 1 +(－1)× 1 +0× 1 +1× 3 + 3 × 3
5
10 10 10 2 10
=1/4
当η=时，Eη=E=1× 1 +0×
1
+1×
1
+4×
3
25
+
×
3
5 10 10 10 4 10
=27/8
4
三、求或η的方差 D=？ Dη=？
实用公式 D = E 2 － E 2
“每个盒子恰有 1 个球”。求：P(A)=？Ω所含样本点数： n n ... n nn
Α所含样本点数： n (n
1) (n
2) ...1
n! P( A)
n! nn
补例 2：将 3 封信随机地放入 4 个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为 1、2、3 的概
率各是多少？
解：设 Ai ：“信箱中信的最大封数为 i”。(i =1,2,3)求：P(Ai)=？
第六章 假设检验
必须熟练掌握一个正态总体假设检验的执行标准 一般思路：
8
1、提出待检假设 H02、选择统计量 3、据检验水平 ，确定临界值 4、计算统计量的
值 5、作出判断
检验类型⑵：未知方差 2 ，检验总体期望(均值)μ
①根据题设条件，提出 H0: = 0 ( 0 已知)； ②选择统计量 T X ~ t(n 1) ；
∴Φ（Uα）=1－ =0.975，反查表得：Uα=1.96 2
② X
1 4
4 i 1
Xi
1 (12.6 13.4 12.8 13.2) 4
13
③∵σ=0.3，n=4
∴d=U
n
=1.96 0.3 =0.29 4
④所以，总体均值μ的α=0.05 的置信区间为：
（ X －d， X ＋d）=（13－0.29，13＋0.29）即（12.71，13.29）
2 μ任意 σ>0
泊松分
布
不要求
λ
λ
λ>0
5
指数分 不要求 布
1
1 λ>0
2
解题中经常需要运用的 E 和 D 的性质（同．志．们．解．题．必．备．速．查．表．）
E 的性质
D 的性质
E(c) c
E( ) E E
D(c) 0
若、独立，则 D( ) D D
若、独立，则 E( ) E E
s/ n
③据 和自由度 n－1（n 为样本容量），查表（课本 P262 表）得 t (n 1) ；④由样本值算
出 X ＝？和 s ＝？从而得到 T0
X s/ n
；
若T0 t (n 1)， 则接受H 0 ⑤作出判断 若T0 t (n 1)， 则拒绝H 0
典型例题： 对一批新的某种液体的存贮罐进行耐裂试验，抽查 5 个，得到爆破压力的数据（公斤/寸 2 ） 为：545，545，530，550，545。根据经验爆破压认为是服从正态分布的，而过去该种液体 存贮罐的平均爆破压力为 549 公斤/寸 2 ，问这种新罐的爆破压与过去有无显著差异？（α
所求分布列为：
补 只p例 球k 中2：最一大袋号中码有，5试只写乒出乓的球概，率编分号布1。，2，3， 4，5，在其中同 时取3只，以表示取出 3
C3
解：Ω所含样本点数： 5 =10
所求分布列为：
3
4
5
2、求分布函数 F(x)：
分布函数
pk
1/10
3/10
6/10
F(x) P x pk xk x
事件的独立性： A与B相互独立 P( AB) P( A) P(B)
贝努里公式（n 重贝努里试验概率计算公式）：课本 P24 另两个解题中常用的结论——
B A A B 1、定理：有四对事件：A 与 B、A 与 、 与 B、 与 ，如果其中有一对相互
独立，则其余三对也相互独立。
2、公式： P(A1 A2 ... An ) 1 P(A1 A2 ... An )
2、总体方差 2 未知的类型（这种类型十分重要！务必掌握！！）
①据 和自由度 n－1（n 为样本容量），查表（课本 P262 表）得 t (n 1) ；
1 n
②确定 x = n i1 xi
和 s2
1 n 1
n i1
(x
xi )2
③求 d= t (n 1)
s n
④置信区间（ x -d， x +d）
————————
E(c ) c E
D(c ) c2 D
第五章 参数估计 §8.1 估计量的优劣标准（以下可作填空或选择）
⑴若总体参数θ的估计量为 ˆ ，如果对任给的ε>0，有
lim P{ˆ } 1 ，则称ˆ 是θ的一致估计； n
ˆ ⑵如果满足 E(ˆ) ，则称 是θ的无偏估计；
1
P(A1+A2+...+ An)= P(A1) + P(A2) +…+ P(An) 推论 2：设 A1、 A2、…、 An 构成完备事件组，则 P(A1+A2+...+ An)=1
推论 3： P（A）=1－P（ A ）
推论 4：若 B A，则 P(B－A)= P(B)－P(A)
推论 5（广义加法公式）： 对任意两个事件 A 与 B，有 P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A B) 补充——对偶律：
Ω所含样本点数： 4 4 4 43 64
A1 所含样本点数： 4 3 2 24
P( A1)
24 64
3 8
A2 所含样本点数： C32 4 3 36
P( A2
)
36 64
9 16
A3 所含样本点数： C33 4 4
P( A3
)
4 64
1 16
注：由概率定义得出的几个性质： 1、0<P（A）<1 2、P(Ω)=1，P(φ) =0 §1.3 概率的加法法则 定理：设 A、B 是互不相容事件（AB=φ），则： P（A∪B）=P（A）+P（B） 推论 1：设 A1、 A2、…、 An 互不相容，则
∴查表得，
2
(n
1)
=
2 0.02
(9)
=19.7
2
2 1
(n
1)
=
2 0.98
(9)
=2.53
2
② X
=1 10
10 i 1
xi
= 1 (482 493 ... 469) =457.5 10
s 2
1 9
10 i 1
(X
xi )2
1
=
9
[ (457 .5 482 )2
+ (457 .5 493)2 +…+ (457 .5 469 )2
《概率论与数理统计》
第一章随机事件及其概率
§1.1 随机事件 一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件： 二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性： §1.2 概率
古典概型公式：P（A）=
A所含样本点数 所含样本点数
实用中经常采用“排列组合”的方法计算