第一章 随机事件与概率第一节 随机事件及其运算1、 随机现象：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象2、 样本空间：随机现象的一切可能基本结果组成的集合，记为Ω={ω},其中ω表示基本结果，又称为样本点。

3、 随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合常用大写字母A 、B 、C 等表示，Ω表示必然事件，∅表示不可能事件。

4、 随机变量：用来表示随机现象结果的变量，常用大写字母X 、Y 、Z 等表示。

5、 时间的表示有多种： （1） 用集合表示，这是最基本形式 （2） 用准确的语言表示 （3） 用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示6、事件的关系（1）包含关系：如果属于A 的样本点必属于事件B ，即事件 A 发生必然导致事件B 发生，则称A 被包含于B ，记为A ⊂B;（2）相等关系：若A ⊂B 且B ⊃ A ，则称事件A 与事件B 相等，记为A ＝B 。

（3）互不相容：如果A ∩B=∅，即A 与B 不能同时发生，则称A 与B 互不相容7、事件运算（1）事件A 与B 的并：事件A 与事件B 至少有一个发生，记为 A ∪B 。

（2）事件A 与B 的交：事件A 与事件B 同时发生，记为A∩ B 或AB 。

（3）事件A 对B 的差：事件A 发生而事件B 不发生,记为 A －B 。

用交并补可以表示为B A B A =-。

（4）对立事件：事件A 的对立事件（逆事件），即 “A 不发生”，记为A 。

对立事件的性质：Ω=⋃Φ=⋂B A B A ,。

8、事件运算性质：设A ，B ，C 为事件，则有 （1）交换律：A ∪B=B ∪A ，AB=BA（2）结合律：A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C=A ∪B ∪C A(BC)=(AB)C=ABC（3）分配律：A ∪(B∩C)＝(A ∪B)∩(A∪C)、 A(B ∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB∪AC （4）棣莫弗公式（对偶法则）：B A B A ⋂=⋃ B A B A ⋃=⋂9、事件域：含有必然事件Ω ，并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类ξ称为事件域，又称为σ代数。

具体说，事件域ξ满足：（1）Ω∈ξ;(2)若A ∈ξ，则对立事件A ∈ξ； （3）若A n ∈ξ，n=1,2，···，则可列并∞=1n nA ∈ξ 。

10、两个常用的事件域：（1）离散样本空间Ω（有限集或可列集）内的一切子集组成的事件域；（2）连续样本空间Ω（如R 、R 2等）内的一切博雷尔集（如区间或矩形）逐步扩展而成的事件域。

第二节 概率的定义及其确定方法1、概率的公理化定义：定义在事件域ξ上的一个实值函数P （A ）满足： （1）非负性公理：若A ∈ξ，则P(A)≥0； （2）正则性公理：P(Ω)＝1（3）可列可加性公理：若A ,，A 2，···，A 3互不相容，则有∑∞=∞==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11)(i i i i A P A P ，即 ++++=⋃⋃⋃⋃)()()()(2121n n A P A P A P A A A P ，则称P （A ）为时间A 的概率，称三元素（Ω，ξ，P ）为概率空间2、确定概率的频率方法：（是在大量重复试验中，用频率的稳定值去获得频率的一种方法）它的基本思想是：（1）与考察事件A 有关的随机现象可大量重复进行；（2） 在n 次重复试验中，记n(A)为事件A 出现的次数，称 f n (A)=nn ）（A ， 为事件A 出现的频率； （3） 频率的稳定值就是概率；（4） 当重复次数n 较大时，可用频率作为概率的估计值。

3、确定概率的古典方法：它的基本思想是：（1） 所涉及的随机现象只有有限个样本点，譬如为n 个； （2） 每个样本点发生的可能性相等（等可能性）； （3） 若事件A 含有k 个样本点，则事件A 的概率为P （A ）基本事件总数所包含的基本事件数A ==nk 。

4、确定概率的几何方法：它的基本思想是：（1） 如果一个随机现象的样本空间Ω充满某个区域，其度量（长度、面积、体积等）大小可用S n 表示；（2） 任意一点落在度量相同的子区域内是等可能的；（3） 若事件A 为Ω中某个子区域，且其度量为S A ,则事件A 的概率为P （A ）=ΩS S A. 5、确定概率的主观方法：一个事件A 的概率P （A ）使人们根据经验，对该事件发生的可能性大小所做出的个人信念。

6、概率是定义在事件域ξ上的集合函数，且满足三条公理。

前三种确定概率的方法自动满足三条公理，而主观方法确定概率要加验证，若不满足三条公理就不能称为概率。

第三节 概率的性质：1、 P(Φ)＝02、 有限可加性：若有限个事件A ,，A 2，···，A 3互不相容，则有∑∞=∞==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11)(i i i i A P A P ，3、 对立事件的概率：对任一事件A ，有)(1)(A P A P -=4、 减法公式（特定场合）：若A ⊃B,则P(A －B)＝P(A)－P(B)5、 单调性：若A ⊃B ，则P （A ）≥ P （B ）6、 减法公式（一般场合）：对任意两个事件A 、B ，有P(A －B)＝P(A)－P(AB)7、 加法公式：对任意两个事件A 、B ，有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)。

对任意n 个事件A 1，A 2，···，A n ，有∑∑∑=≤<≤≤<<≤-=-+++-=ni aj i ak j i n n kjij i i A A A P A A A P A A P A P A P 111211n 1i i )()1()()()()(8、 半可加性：对任意两个事件A 、B ，有)()(B P A P B A P +≤⋃）（. 9、 事件序列的极限：（1） 对ξ 中任一单调不减的事件序列 ⊂⊂⊂⊂n 21F F F ，称为可列并∞=1n nF为极限{F n }的极限事件，记为∞=∞→=1n n n n lim F F 。

（2） 对ξ 中任一单调不增的事件序列 ⊃⊃⊃⊃n 21E E E ，称为可列交∞=1n nE为极限{E n }的极限事件，记为=∞→n n lim E ∞=1n nE。

若)lim ()(lim n n n n E P E P ∞→∞→=,则称概率P 是上连续的10、 概率的连续性：若P 为事件域ξ 上的概率，则P 既是上连续的，又是下连续的 11、 若P 是ξ上满足P （Ω）=1的非负集合函数，则P 是可列可加性的充要条件是P具有有限可加性和下连续性。

第四节 条件概率1、条件概率：设A 、B 是两个事件，若P(A)>0，则称P(A|B)=)()(B P AB P 为事件B 发生条件下，事件A 发生的条件概率。

条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。

2、乘法公式：（1）若P(B)>0,P(AB)=P(B)P(A|B) （2）若P(A 1A 2…A n-1)>0，则有21(A A P …)n A )|()|()(213121A A A P A A P A P =……21|(A A A P n …)1-n A 。

3、全概率公式：设事件n B B B ,,,21 互不相容，且n1i i=Ω=B，如果),,2,1(0)(n i B P i =>，则对任一事件A 有)|()()(n1i jiBA PB P A P ∑==，i=1,2,···，n 。

)|()()|()()|()()(2211n n B A P B P B A P B P B A P B P A P +++= 。

4、贝叶斯共公式：设事件1B ，2B ，…，n B 互不相容，且n1i i=Ω=B，如果P （A ）>0，),,2,1(0)(n i B P i =>,则∑==n1j jji i i )|()()|()(|B A P B P B A P B P A B P ）（，i=1，2，…n 。

此公式即为贝叶斯公式。

)(i B P ，（1=i ，2，…，n ），通常叫B i 的先验概率。

)/(A B P i ，（1=i ，2，…，n ），通常称为B i 的后验概率。

第五节 独立性1、两个事件的独立性：如果满足)()()(B P A P AB P =，则称事件A 、B 是相互独立的，简称A 与B 独立。

否则称A 与B 不独立或相依。

若事件A 、B 相互独立，且0)(>A P ，则有)()()()()()()|(B P A P B P A P A P AB P A B P ===2、若事件A 、B 相互独立，则可得到A 与B 、A 与B 、A 与B 也都相互独立。

必然事件Ω和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。

Ø与任何事件都互斥。

3、多个事件的独立性：设有n 个事件A 1，A 2，···，A n ，如果对任意的1≤I<j<k<···≤n ，以下等式均成立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()()()()()()()()()()(j i j i j i j i j i j i n k n k k k A P A P A P A P A A A A P A P A P A P A A A P A P A P A A P 则称此n 个事件A 1，A 2，···，A n 相互独立。

4、若n 个事件相互独立，则其任一部分与另一部分也相互独立。

特别把其中部分换为对立事件后，所得诸事件亦相互独立。

5、试验的独立性：假如实验E 1的任一结果（事件）与试验E 2的任一结果（事件）都是相互独立的事件，则称这两个试验相互独立。

6、n 重独立重复试验：假如一个试验重复进行n 次，并各次试验间相互独立，则称其为n次独立重复试验。

假如一个试验只可能有两个结果：A 与A ，则称其为伯努利试验。

假如一个伯努利试验重复进行n 次，并各次试验间相互独立，则称其为n 重伯努利试验。

第二章 随机变量及其分布第一节 随机变量及其分布1、 随机变量：定义在样本空间Ω上的实值函数X=X(ω)称为随机变量。

（1） 离散随机变量：仅取有限个或可列个值的随机变量（2） 连续随机变量:取值充满某个空间（a ，b ）的随机变量。

这里a 可为-∞，b 可为+∞。

2、分布函数：设X 是一个随机变量，对任意实数x ，称函数}{)(x X P x F ≤=为X 的分布函数，记为X~F(x)。

分布函数具有如下三条基本性质：（1） 单调性：F （x ）是单调非减函数，即对任意的x 1<x 2,有F(x 1)≤F(x 2)；（2） 右连续性：F （x ）是x 的右连续函数，即对任意的x 0，有)x (x lim 0x x 0F F =+→）（，即F(x 0+0)=F(x 0)；（3） 有界性:对任意的x ，有0≤F(x) ≤1，且F(-∞)=)(lim -x x F ∞→=0，F(+∞)=）（x lim x F +∞→=1可以证明：具有上述三条性质的函数F （x ）一定是某一个随机变量的分布函数。