直线、平面的相对位置本章讨论直线与平面、平面与平面的相对位置关系及其投影，包括以下内容：1)平行关系：直线与平面平行，两平面平行。

2)相交关系：直线与平面相交，两平面相交。

§1 平行关系1.1 直线与平面平行定理:若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。

EF∥AD，且AD是ABC平面上的一直线，所以，直线EF平行于ABC平面。

[例1]过已知点k ，作一条水平线平行于△ABC 平面。

步骤：1）在ABC 平面内作一水平线AD ；2）过点K 作KL ∥AD ；3）直线KL 即为所求。

d′dl′lk′ka′ab′e′bc X[例2]试判断:已知直线AB是否平行于四棱锥的侧表面SCF。

作图步骤：1）作c'm'∥a'b'；2）根据CM在平面SCF内，作出cm；3）由于cm不平行于ab，即在该平面内作不出与AB平行的直线，所以，直线AB不平行于四棱锥侧表面SCF。

1.2 平面与平面平行两平面相平行的条件是：如果一平面上的两条相交直线分别平行于另一平面上的两条相交直线，则此两平面平行。

所以：平面ABC 和平面DEF 相平行。

［例3］过点K作一平面，是其与平面ABC平行。

解：只要过K点作两条相交直线分别平行于△ABC的两条边，则这两条相交直线所确定的平面就是所求平面。

作图步骤：2）作KD∥AC(k'd'∥a'c',kd∥ac);a'cac'bb'k'kl'ld'dX1）作KL∥BC(k'l'∥b'c', kl∥bc); 3）平面KDL即为所求。

2.1 直线与平面相交2.1.1 利用积聚性求交点当平面或直线的投影有积聚性时，交点的两个投影中有一个可直接确定，另一个投影可用在直线上或平面上取点的方法求出。

⑴平面为特殊位置[例]求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。

空间及投影分析平面ABC 是一正垂面，其V 投影积聚成一条直线，该直线与m'n'的交点即为K点的V 投影。

作图1)求交点。

2)判别可见性。

由V投影可知，k'm'段在平面上方，故H投影上km为可见。

还可通过重影点判别可见性。

2k M (n )b●m 'n ' c 'b 'a 'a c⑵直线为特殊位置空间及投影分析:直线MN 为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K 的水平投影也积聚在该点上。

1)求交点2)判别可见性点Ⅰ位于平面上，在前；点Ⅱ位于MN 上，在后。

故k '2'为不可见。

1'(2')k '●1●●作图:用面上取点法X 通过重影点判别可见性直线EF为正垂线时［例1］求直线MN 与铅垂面P 的交点。

解:平面P 为铅垂面，P H 有积聚性，故mn 与P H 的交点k即为交点K 的H 投影。

k '由于交点K 必在直线MN 上，故可用在直线上取点的方法，由k 求出k '。

规定：在求用迹线表示的平面的交点和交线时，不必分辨可见性。

k［例2］求直线MN与四棱柱表面ABCD和ABEF的交点。

解：ABCD为水平面，其V投影有积聚性；ABEF为铅垂面，其H投影有积聚性，故本题可用平面的积聚性求解。

作图步骤：1）求m'n'与a'b'c'd'的交点k'；2）根据k'，在mn上求得点k，则点K(k,k')就是MN与ABCD的交点；3）求mn与abef的交点l；4）根据l，在m'n'上求得点l'，则点L(l,l')就是MN与ABEF的交点；5）因直线MN穿通四棱柱，所以线段KL之间部分的投影均为一般位置直线与一般位置平面相交，其投影都没积聚性，则采用换面法：将一般位置直线或平面变成投影面的垂直线或垂直面，在新的投影体系中利用积聚性直接求得交点的投影。

然后利用所得交点的投影返回到原体系当中，即可求的平面与直线的交点。

2.1.2一般位置直线与一般位置平面相交［例3］求一般位置直线MN与一般位置平面ABC的交点。

解：根据上述分析，应采用换面法将平面ABC变换成投影面垂直面，这样就可以在新的投影体系中直接求得交点的投影。

作图步骤：1）在平面ABC上作水平线AD(ad,a'd');2）作X1轴垂直于ad;3）求出直线MN和平面ABC在V1投影面上的新投影m1'n1'和a1'b1'c1'；4）求出m1'n1'和a1'b1'c1'的交点k1'；5）根据k1'求出k，再由k求出k'，则点K(k,k')就是直线MN与平面ABC的交点；6）取H面的重影点1、2判断直线MN 的H 投影的可见性。

7）取V面的重影点3'、4'判断直线MN 的V 投影的可见性。

2.2 两平面相交2.2.1 一般位置平面与特殊位置平面相交在两平面之一有积聚性的情况下，可以在没有积聚性的那个平面上取两条直线，分别求这两条直线与有积聚性的那个平面的交点，则这两个交点的连线就是两平面的交线。

［例4］求一般位置平面ABC与铅垂面DEF的交线。

解：由图可见，只要求出△ABC上的两条直线AB、AC和△DEF 的交点M、N ，就可以求得两平面的交线。

作图步骤：1)利用积聚性求AB与△DEF的交点M (m,m')；2)利用积聚性求AC与△DEF的交点N (n,n')；3)连接MN (mn,m'n')就可得到两平面的交线；4)取直线AB和DF在V面上的重影点1'(2')，分辨可见性：由图可见，点1在点2的前面，故b'm'为可见，为m'l'不可见。

由于过重影点的两线段的投影之可见性必不相同，因此可以确定其他各边的可见性。

[例5]求一般位置直线ABC与正垂面P 的交线。

解：P 平面为正垂面，的积聚可以利用PV性，直接求出交线的V 投影m'n'，再由m'n'求得mn。

由于P 平面是用迹线表示的平面，故不需要判断其可见性。

［例6］求证垂面P与三棱柱表面的交线。

解:求P 平面与三棱柱表面的交线，只需要利用积聚性求出三条棱边AA1、AB、AC 和P 平面的交点D、E、F，然后将交点顺次连接即可。

作图步骤：1)利用积聚性求直线AA1与P 平面的交点(d,d',d'')；3）用同样的方法求出F (f, f ', f '')；4）顺序连接点D 、E 、F 的同面投影，就可求得P 平面与三棱柱表面的交线。

2）利用积聚性求直线AB 与P 平面的交点E ，其过程为先求e '，根据e '求出e ''，再跟据e ''求出e ；[例7]已知三棱锥SABC 被铅垂面Q 切去一角，试完成其主、左视图。

解：平面Q为铅垂面，只需利用积聚性求得Q 平面与三棱锥三条棱边SA 、AB、AC的交点D、E、F，然后将其顺序连接即可。

作图步骤：1)求D、E、F得H投影d、e、f；2)由d、e、f求出d''、e''、f''；3)由e、f求出e'、f'；4)由d''求出d'；5)顺序连接D、E、F的同面投影即可。

2.2.2 两个一般位置平面相交两一般位置平面的投影都没有积聚性，所以其交线不能直接求出。

解决此类问题的思路是采用换面法，将两相交平面之一变换为投影面垂直面，这样就可以利用积聚性在新的投影体系中直接求得交线的一个投影，然后将其返回原投影体系中，即可求得两平面的交线。

[例8]求两一般位置平面ABC 和DEF 的交线。

解:将平面ABC变换成投影面垂直面，即可求得交线的一个投影。

作图步骤：1)在平面ABC上作水平线AN(an,a'n')；2)作X1轴垂直于an；3)求出△ABC和△DEF在V1面上的新投影a1'b1'c1'和d1'e1'f1'；6）利用V 1投影直接判断H 投影的可见性；利用重影点1',2'和3', 4'判断投影的可见性。

4）求出a 1'b 1'c 1'和d 1'e 1'f 1'的交线k 1'l 1'；5）根据k 1'l 1'求出kl ，再根据kl 求出k 'l '，则直线KL (kl, k 'l ') 就是两平面的交线；§3 综合举例本节给出了用换面法解决一些较复杂的相对位置问题的一些例子。

[例1]求点M 与直线AB 之间的距离。

解：由图可见，求点M 与直线AB 间的距离，应由点向直线AB 引垂线，交AB 于K 点，则线段MK 即为点M 与直线AB 间的距离。

当直线AB 垂直于某一投影面时，则线段MK 必平行于该投影面，且在该投影面上的投影反映实长。

m 'b 'a 'abX m图所示直线AB 为水平线，若求点M 到直线AB 的距离，应进行一次投影换面，将直线AB 变换为投影面垂直线，则在新的投影体系中，即可求出点M 与直线AB 之间的距离的实长。

将其返回原投影体系中，就可求出距离的投影。

AK BMmm 'b 'a 'abXmk 'km 'b 'a 'a bX m X 1H V 1(b 1')a 1'k 1'm 1'作图步骤：1)取新投影轴X 1垂直于ab ，求出点M 与直线AB 的新投影m 1'和a 1'b 1';2)由点M 向直线AB 作垂线，与直线AB 相交于点K ，点K 在新投影体系中的投影k 1'与a 1'b 1'重合，连接m 1'k 1'即为所求距离的实长；3)自m 引直线平行于X 1轴，与ab 相交于k ；4)由k 求出k '，则可求得点M 与直线AB 的距离MK (mk, m 'k ')。

[例2] 求点S 到平面ABC 的距离。

解：求点到平面的距离，需自该点向平面作垂线，求出该垂线与平面相交的的垂足，则该点到垂足的距离，即为所求点到平面的距离。

如图(a)可见，当平面垂直于某一投影面时，则由点M向平面所作的垂线MK为该投影面的平行线，且在该投影面上的投影反映实长。