互交
三、直线与一般位置平面相交
求作交线的步骤： 1.含直线DE 作辅助平面 2.求辅助平面与平面ABC 的交线 3.求交线与已知直线DE 的交点 为便于在投影图上求 作交线应选特殊位置辅 助平面。
以铅垂面为辅助平面作图
空间分析
以铅垂面为辅助平面作图
1.含直线DE 作辅助 平面P 2.求辅助平面P 与平 面ABC 的交线MN
垂直问题
⒈ 直线与平面垂直 若一直线垂直于一平面，则直线的水平投影 必垂直于属于该平面的水平线的水平投影； 直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平 线的正面投影。
6 投影变换法
投影变换法也是解画法几何题的常 用方法。这种方法与上述几种方法相比 是属于另一种类型。
［例］试过点K 作直线KL，使其 同时垂直于两相错直线AB、CD。 分析：由已知条件可知， 所要求的直线 KL ，应满 足三个条件： KL 过 K 点， KL⊥AB 及KL⊥CD 。 因要求 KL 同时垂直 于 AB 和 CD ， 因 此 ， KL 一定垂直于AB和CD共同 平行的平面P 。
b m n
●
●
作 图
h
1(2)
a f
c
① 求交线 ② 判别可见性 点Ⅰ在FH上，点Ⅱ在BC上， 点Ⅰ在上，点Ⅱ在下，故fh 可见，n2不可见。
⑶
f m d ●
b k● n
投影分析
●
e
a
f m● a d
●
c
b e k
●
n c
N点的水平投影n 位于Δdef的外面，说 明点N位于ΔDEF所确 定的平面内，但不位 于ΔDEF这个图形内。 所以ΔABC和 ΔDEF的交线应为MK。
一般位置平面与特殊位置平面相交
求两平面交线的问题可以看作是求两个 共有点的问题,由于特殊位置平面的某个投影 有积聚性，交线可直接求出。
二、一般位置平面与特殊位置平面相交
作图步骤
判别可见性
例：求两平面的交线 MN并判别可见性。
⑴
a b e ● m(n)
空间及投影分析
平面ABC与DEF都 为正垂面，它们的正面投 影都积聚成直线。交线必 为一条正垂线，只要求得 交线上的一个点便可作出 交线的投影。
LK⊥平面P 则： LK⊥水平线AB LK⊥正平线CD
线面垂直定理
定理1 若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于 属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必 垂直于属于该平面的正平线的正面投影。
定理2（逆） 若一直线的水平投影垂直于属于平面的水平线 的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线 的正面投影，则直线必垂直于该平面。
[例题] 平面由 BDF给定，试过定点K作平面的法线。
n
c a
k
k
a c n
[例题] 平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN是否垂直 于该平面。
e
f
e
结论：
∵ mn不垂直ef ∴ MN不垂直平面
f
两平面垂直的几何条件
若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面 都垂直于该平面。
A
D
反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一 点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。
两平面相垂直
两平面不垂直
[例题] 平面由 BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面。 h g
c
a
a
c
g
h
[例题] 试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否垂直。
d f
结论： 因为AD直 线不在 ABC平面 上，所以 两平面不 垂直。
二、两平面平行
若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另 一平面的相交两直线，则此两平面平行
[例题1 ]
试判断两平面是否平行
s n r
m
n m
s r
结论：两平面平行
[例题2] 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作 一平面平行于已知平面 。 s m
n
r r n
f
k
e
解题方法
1 综合分析法
从已知条件出发，根据作图的要求条件，逐步推理， 最后得到所要的结果。
2 轨迹相交法
它适用于有两个或多个作图条件的问题。单独考虑 每一个条件，都有无数个解答，并各自形成一个轨迹。这 样所得各轨迹的交点即为所求的结果。
3 辅助作图法
辅助作图法是解画法几何题经常使用的方法，例如在解 决从属关系作图时要作辅助线，在求公共元素（如交点、交 线）时要作辅助面。
g f
c
§5-2 直线与平面的交点、两平 面的交线
直线与平面、平面与平面不平行则必相 交。 直线与平面相交有交点，交点既在直线 上又在平面上，因而交点是直线与平面 的共有点。两平面的交线是直线，它是 两个平面的共有线。
求线面交点、面面交线的实质是求共有 点、共有线的投影。
一、直线与平面相交
A
K
B
f
c
d
a d
●
●
n
e
作 图
c
f
m
① 求交线 ② 判别可见性 在交线左侧，平面ABC 在上，其水平投影可见。
能否不用重 能! 从正面投影上可看出， 影点判别？
b
如何判别？ 可通过正面投影 直观地进行判别。
⑵
b e m f ● a e
● ● ●
空间及投影分析
n 1 ● 2 c h 平面EFH是一水平面，它的 正面投影有积聚性。ab与ef 的交点m 、 b c与f h的交点 n即为两个共有点的正面投影， 故mn即MN的正面投影。
（三）垂直问题 掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图 方法。 （四）点、线、面综合题 1．熟练掌握点、线、面的基本作图方法； 2．能对一般画法几何综合题进行空间分析， 了解综合题的一般解题步骤和方法。
§5-1 直线与平面平行 • 两平 面平行
一、直线与平面平行 几何条件 若平面外的一条直线与平面内 的一条直线平行，则该直线与该平面平行 。这是解决直线与平面平行作图问题的依 据。
b
m
k
a
●
●
n
1(2)
c
b
k● 2 m(n) ● 1
●
a
c
空间及投影分析 直线MN为铅垂线，其 水平投影积聚成一个点， 故交点K的水平投影也积聚 在该点上。 作图 用面上取点 法 ① 求交点 ② 判别可见性 点Ⅰ位于平面上，在 前；点Ⅱ位于MN上，在 后。故k 2为不可见。
二、平面与平面相交
f
d
§5-4 点、线、面综合题及其解法
解题的一般步骤
1)分析题意 主要是分析清楚已知条件和欲求的结果，以及 其应满足的条件。
2)确定解题方法和步骤 在分析题意的基础上，确定解题方法，设想解题的 空间步骤。这是解题的关键。 3)投影作图 这一步是将设想的解题步骤，逐步绘制在投影 图上，最后求出结果，完成作图。
f
b
a
a
b f
例3：过M点作直线MN平行于平面ABC。
有多少解？ a b
有无数解
n
c m
●
b
n a
●
c
m
例4：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。
b cm
●
n
正平线
a a
c m
●
n
b
唯一解
二、平面与平面平行 几何条件 若一个平面内的相交二直线与 另一个平面内的相交二直线对应平行，则 此两平面平行。这是两平面平行的作图依 据。 两面平行的作图问题有：判别两已知 平面是否相互平行；过一点作一平面与已 知平面平行；已知两平面平行，完成其中 一平面的所缺投影。
b
平行问题
⒈ 直线与平面平行 直线平行于平面内的一条直线。 ⒉ 两平面平行 必须是一个平面上的一对相交直线对应平行 于另一个平面上的一对相交直线。
相交问题
⒈ 求直线与平面的交点的方法 ⑴ 一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用 交点的共有性和平面的积聚性直接求解。 ⑵ 投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用 交点的共有性和直线的积聚性，采取平面上 取点的方法求解。 ⒉ 求两平面的交线的方法 ⑴ 两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置， 有时可找出两平面的一个共有点，根据交线 的投影特性画出交线的投影。 ⑵ 一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用 特殊位置平面的积聚性找出两平面的两个共 有点，求出交线。
k f s
e
m
[例3]试判断两已知平面△ ABC和 □ DEFG 是否平行。 （平行、不平行）
b’
d’
c’Βιβλιοθήκη e’1’2’
f’ g’ g f
1 2
a’
X
a
c
b
d
e
[例4]试判断两已知平面△ ABC和 □ DEFG 是否 平行。 （平行、不平行）
d’ g’ c’ e’
X
b’
a’ f’
d e
a
b
若两投影面垂 直面相互平行， 则它们具有积 聚性的那组投 影必相互平行。
直线与平面相交只有一个交点，它是直线与 平面的共有点。
直线与平面相交，其交点是直线与平 面的共有点。 要讨论的问题： ● 求直线与平面的交点。 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可 见性。 我们只讨论直线与平面中至少有一个处 于特殊位置的情况。
●
特殊位置线面相交，其交点的投影可利用 直线或平面的积聚性投影直接求出。
有关线、面平行的作图问题有：判别 已知线面是否平行；作直线与已知平面平 行；包含已知直线作平面与另一已知直线 平行。
一、直线与平面平行
若一直线平行于属于定平面的一直线，则该直线 与平面平行
[例题1]
试判断直线AB是否平行于定平面