a-a(- ),( , +∞) 单调递增， 在 (- （2020 年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 含参数的分类讨论例1 已知函数 f ( x ) = ax 3 - 12 x ，导函数为 f '( x) ，（1）求函数 f ( x ) 的单调区间；（2）若 f '(1)= -6, 求函数f ( x ) 在[—1，3]上的最大值和最小值。

【答案】略【解析】（I ） f '( x ) = 3ax 2 - 12 = 3(ax 2 - 4) ，（下面要解不等式 3(ax 2 - 4) > 0 ，到了分类讨论的时机，分类标准是零）当 a ≤ 0时, f '( x ) < 0, f ( x )在(-∞, +∞) 单调递减；当 a > 0时,当x 变化时, f '( x ), f ( x ) 的变化如下表：x(-∞, -2)22 2, ) a a2 a(2a, +∞)f '( x )+0 —+f ( x )极大值极小值此时， f ( x )在(-∞, - 2 26 a 2 2 , ) 单调递减； a a（II ）由 f '(1) = 3a -12 = -6, 得a = 2.由（I ）知， f ( x )在(-1, 2) 单调递减 ,在( 2 ,3)单调递增。

【易错点】搞不清分类讨论的时机，分类讨论不彻底【思维点拨】分类讨论的难度是两个， 1）分类讨论的时机，也就是何时分类讨论，先按自然的思路推理，由于参数的存在，到了不能一概而论的时候，自然地进入分类讨论阶段；（2）分类讨论的标准，要做到不重复一遗漏。

还要注意一点的是，最后注意将结果进行合理的整合。

题型二 已知单调性求参数取值范围问题例 1 已知函数 f ( x) = 13x 3 + x 2 + ax - 5 ， 若函数在[1,+∞) 上是单调增函数，求 a 的取值范围≥ a【答案】【解析】 f '( x ) = x 2 + 2 x + a ,依题意在[1,+∞) 上恒有 y ' ≥ 0 成立，方法 1：函数 f '( x ) = x 2 + 2 x + a ，对称轴为 x = -1 ，故在 [1,+∞) 上 f '( x ) 单调递增，故只需 f '(1) ≥ 0 即可，得a ≥ -3 ，所以 a 的取值范围是 [3, +∞ ) ；方法 2： 由 y ' = x 2 + 2 x + a ≥ 0 ，得 a ≥ - x 2 - 2 x ，只需 a （-x 2 -2 x ） ，易得（-x 2 -2 x ） = -3 ，因此maxmaxa ≥ -3 ，，所以 a 的取值范围是 [3, +∞ ) ；【易错点】本题容易忽视 f '(1) ≥ 0 中的等号【思维点拨】已知函数 f ( x ) 在区间 (a, b ) 可导：1. f ( x ) 在区间 (a, b ) 内单调递增的充要条件是如果在区间 (a, b ) 内，导函数 f '( x ) ≥ 0 ，并且 f '( x ) 在 (a, b ) 的任何子区间内都不恒等于零；2. f ( x ) 在区间 (a, b ) 内单调递减的充要条件是如果在区间 (a, b ) 内，导函数 f '( x ) ≤ 0 ，并且 f '( x ) 在 (a, b ) 的任何子区间内都不恒等于零；说明：1.已知函数 f ( x ) 在区间 (a, b ) 可导,则 f '( x ) ≥ 0 在区间内 (a, b ) 成立是 f ( x ) 在 (a, b ) 内单调递增的必要不充分条件2.若 f ( x ) 为增函数，则一定可以推出 f '( x ) ≥ 0 ；更加具体的说，若 f ( x ) 为增函数，则或者 f '( x ) > 0 ，或者除了 x 在一些离散的值处导数为零外，其余的值处都 f '( x ) > 0 ；3. f '( x ) ≥ 0 时，不能简单的认为 f ( x ) 为增函数，因为 f '( x ) ≥ 0 的含义是 f '( x ) > 0 或 f '( x ) = 0 ，当 函数在某个区间恒有 f '( x ) = 0 时，也满足 f '( x ) ≥ 0 ,但 f ( x ) 在这个区间为常函数.题型三 方程与零点1．已知函数 f (x ) = ax 3 - 3x 2 + 1，若 f (x )存在三个零点，则 a 的取值范围是（）A. (-∞, -2)B. (-2,2 )C. (2, +∞ )D. (-2,0 )⋃ (0,2 )【答案】D【解析】很明显 a ≠ 0 ，由题意可得：f ' (x ) = 3ax 2 - 6x = 3x (ax - 2) ， 则 由 f ' (x ) = 0 可 得x = 0, x =21 22，a 2 1. 已知函数 f ( x ) = 1“[ ) 0 , , ) 0 , ,由题意得不等式： f (x 1 ) f (x ) = 82 12 4- + 1 < 0 ，即： a 2 a 2> 1,a 2 < 4, -2 < a < 2 ，综上可得 a 的取值范围是 (-2,0 )⋃ (0,2 ) .本题选择 D 选项.【易错点】找不到切入点，有三个零点”与函数的单调性、极值有什么关系？挖掘不出这个关系就无从下手。

【思维点拨】函数零点的求解与判断(1)直接求零点：令 f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间 a ，b ]上是连续不断的曲线，且 f (a )· f (b )＜0，还必须结合函 数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同 的值，就有几个不同的零点．题型四、导数证明不等式例 1 当 x ∈ (0, π )时，证明不等式 s in x < x 成立。

【答案】略【解析】设 f ( x ) = sin x - x, 则 f '( x ) = cos x - 1.∵ x ∈ (0, π ), ∴ f '( x ) < 0. ∴ f ( x ) = sin x - x 在 x ∈ (0, π ) 内单调递减，而 f (0) = 0.∴ f ( x ) = sin x - x < f (0) = 0, 故当 x ∈ (0, π ) 时， sin x < x 成立。

【易错点】不能顺利把不等式转化为等价的函数、方程问题【思维点拨】注意观察不等式的结构，选择合理的变形，构造函数，把不等式问题转化为函数的极值、最值问题。

【巩固训练】题型一 含参的分类讨论1x 3 + (2 - a) x 2 + (1- a) x (a ≥ 0).3 2（I ）求 f ( x ) 的单调区间； （II ）若 f ( x ) 在[0，1]上单调递增，求 a 的取值范围。

【答案】略【解析】（I ） f '( x ) = x 2 + (2 - a ) x + 1 - a = ( x + 1)(x + 1 - a ).当a = 0时 , f ' ( x = (x + 21 ) ≥ 恒成立 当且仅当 x = -1 时取“=”号， f ( x )在(-∞, +∞) 单调递增。

当a > 0时 由 f ' ( x = 得 x = - 1x = a -且 1 , x < x 1212,)(1),1,∞1), )1,)0,1]【解析】由f'(x)=1-a当x变化时，f'(x)、f(x)的变化如下表：xf'(x)(-∞,-1)+—1(-1,a-1)—a-1(a-1,+∞)+f(x)极大值极小值f(x在-∞,-单调递增在,-(a1-单调递减在a-(+单调递增（II）当a=0时,f(x)在[0,1]上单调递增,f(x)≥f(0)=1恒成立。

当a>0时,由（I）可知若0<a≤时则f(x在[上单调递增若a>1,则f(x)在[0,a-1]上单调递减，f(x)在[0,1]上不单增，不符合题意；综上，a的取值范围是[0，1]2.已知函数f(x)=x-a ln x(a∈R)，求函数f(x)的极值.【答案】略x-a=,x>0可知:x x①当a≤0时,f'(x)>0,函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值;②当a>0时,由f'(x)=0,解得x=a;x∈(0,a)时,f'(x)<0,x∈(a,+∞)时,f'(x)>0∴f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-a ln a,无极大值.综上:当a≤0时,函数f(x)无极值当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-a ln a,无极大值.3.已知a∈R,求f(x)=x2e ax的单调区间。

【答案】略4，可知在 (-∞,0) 必有一个零点，也不符合；当 a < 0 时， f ( ) > 0 ，得 a < -2 ，【解析】函数的导数 f '( x ) = (2 x + ax 2 )e ax（ⅰ）当 a = 0 时，若 x < 0 ，则 f '( x ) < 0 ；若 x > 0 ,则 f '( x ) > 0 ；则在（－∞，0）内为减函数，在（0，＋∞）内为增函数。

（ⅱ）当 a>0 时，由 2x + ax 2 ＞0 ⇔ x < - 2a或x > 0则在（－∞，－ 2 a）内为增函数，在（0，＋∞）内为增函数。

2 2由 2x + ax 2 ＜0 ⇔ - < x < 0 ，在（－ ，0）内为减函数。

a a2 2（ⅲ）当 a<0 时，由 2x + ax 2 ＞0 ⇔ 0<x<- ，在（0，－ ）内为增函数。

a a2 2由 2x + ax 2 ＜0 ⇔ x<0 或 x>- ，在（－∞,0）∪（- ，+∞）内为减函数。

a a题型二 已知单调性求参数范围已知 f ( x ) = ax 3 + 3x 2 - x + 1 在 R 上是减函数，求 a 的取值范围。

【答案】略【解析】：对 f ( x ) 求导得 f '( x ) = 3ax 2 + 6 x - 1 ，由题意可知对任意实数恒有 f '( x) ≤ 0 ,讨论：（1） 当 a > 0 ，显然不符合题意； （2） 当 a = 0 时也不符合题意；（3） 当 a < 0 时，依题意必有 ∆ = 36 + 12a ≤ 0 ，即 a ≤ -3 ，综上可知 a 的取值范围是 (-∞, -3]题型三 方程与零点1.已知函数 f ( x ) = ax 3 - 3 x 2 + 1 ，若 f ( x ) 存在唯一的零点 x ，且 x > 0 ，则 a 的取值范围是（）A ． (2, +∞)B ． (1,+∞)C ． (-∞, -2)D ． (-∞, -1)【答案】C【解析】当 a = 0 时， f ( x ) = -3x 2 + 1 ，函数有两个零点，不符合；当 a > 0 时， f '( x ) = 3ax 2 - 6 x ，令f '( x ) = 0 ，得 x = 0, 2 2a a故选 C2.设 a 为实数，函数 f ( x ) = - x 3 + 3 x + a ，当 a 为何值时，方程 f ( x) = 0 恰好有两个实数根.【答案】略4 ⎩ ⎩x【解析】求导得 f '( x ) = -3( x + 1)( x - 1) ，∵当 x < -1 或 x > 1 时， f '( x ) < 0 ；当 -1 < x < 1 ， f '( x ) > 0 ；∴ f ( x ) 在 (-∞, -1) 和 (1,+∞ ) 单调递减，在 (-1,1) 在单调递增，∴ f ( x ) 的极小值为 f (-1) = a - 2 ， f ( x ) 的极大值为 f (1) = a - 2 ；要使方程 f ( x ) = 0 恰好有两个实数根，只需 f ( x ) 的图象与 x 轴恰有两个公共点，画出 f ( x ) 的草图，∴ a - 2 = 0 且 a + 2 = 0 或 a + 2 = 0 且 a - 2 < 0 ； ∴ a = 2 或 a = -2故当 a = 2 或 a = -2 时，方程恰有两个实数根.3.若函数 f ( x ) = ax 3 - bx + 4 ，当 x = 2 时，函数 f ( x ) 有极值 -（1）求函数 f ( x ) 的解析式；（2）若函数 f ( x ) = k 有 3 个解，求实数 k 的取值范围．【答案】略 【解析】求导得 f '(x ) = 3ax 2 - b ，⎧ ⎧1 ⎪ f (2) = - ⎪a =（1）由题意 ⎨ 3 ，得 ⎨ 3⎪ f '(2) = 0 ⎪ b = 44 3，∴所求解析式为 f (x ) = 13x 3 - 4 x + 4（2）由（1）可得： f '(x ) = x 2 - 4 = (x - 2 )( + 2 )令 f '(x ) = 0 ，得 x = 2 或 x = -2当 x 变化时， f '(x )、 f (x )的变化情况如下表：6∴函数f (x)=x3-4x+4的图象大致如图：x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)f'(x) f(x)+单调递增↗283—单调递减↘-43+单调递增↗因此，当x=-2时，f (x)有极大值283当x=2时，f (x)有极小值-4313428由图可知：-<k<33题型四、导数证明不等式1、当x>0时，证明不等式e x>1+x+【答案】略12x2成立。