理想流体运动微分方程：
fy
1
p y
dvy dt
fz
1
p z
dvz dt
将三个方程式两边分别乘以 dx、dy、dz，然后相
加：
(
fxdx
f ydy
fzdz)
1
( p x
dx
p y
dy
p z
dz)
dvx dt
dx
dvy dt
dy
dvz dt
dz
定常流动中，第二个括号中的三项和为压力的全Βιβλιοθήκη 分 dp2vy ) z 2
dvz
dt
fz
1
p ( 2vz
z
x 2
v2 z
y 2
2vz ) z 2
上式称为Navier-Stokes方程，简称N-S方程。 加上不可压粘性流体的连续性方程，可组成封闭方程组。
vx v y vz 0 x y z
§4.3 理想流体伯努利方程
f
x
1
p x
dvx dt
§4.6 总流的伯努利方程
三、总流的伯努利方程
总流是由许多微小流束所组成的，任取2个缓变流截面， 列能量方程：
A2
g ( z1
p1
g
v12 2g
)vdA
A1
g ( z1
p1
g
v12 2g
hw' )vdA
0
（1）在缓变流截面上：z p C
g
1
gQ
A
g ( z
p
g
)vdA
(z
p
g
)
§4.6 总流的伯努利方程
（2）引入动能修正系数：
1v
A A (va
)3 dA
1
gv v2 dA 1
( 1 gQ va2 )( v )3 dA va2
gQ A 2g
gQ A A 2g va
2g
（3）记单位重量流体的能量损失：
hw
1
gQ
(
A2 hw' vdA
A1 hw' vdA)
则能量方程简化为：
z1
p1
g
1
§4.1 理想流体的运动方程
理想流体运动微分方程：
fx
1
p x
dvx dt
fy
1
p y
dvy dt
fz
1
p z
dvz dt
f
x
1
p x
v x t
vx
v x x
vy
v x y
vz
v x z
或改写成：
fy
1
p y
v y t
vx
v y x
vy
v y y
vz
v y z
在旋转的流体机械中，例如水泵、风机等， 流体是在旋转的流道内运动。此时，质量力除 了重力以外，还有旋转造成的惯性力。
（略）
§4.6 总流的伯努利方程
➢ 沿流线的伯努利方程的局限性： （1）流体必须为理想流体； （2）伯努利方程只能在同一根流线上应用。
如何将沿流线的伯努利方程推广到粘性流体的总流中？
fz
1
p z
v z t
vx
v z x
vy
v z y
vz
v z z
§4.2 粘性流体运动方程
➢ 流体微团受力分析
（1）法向应力： pyy
（2）切向应力： yx 、 yz
p yy
yx yz
dy
根据牛顿第二定律，可得：
dz
dx
dvx dt
fx
1
p x x x
1
(
yx
y
zx
z
)
dvy dt
流体力学 第四章
中国矿业大学电力工程学院
第四章 流体动力学基础
§4.1 理想流体运动方程式 §4.2 粘性流体运动方程式 §4.3 理想流体伯努利方程 §4.4 伯努利方程的能量和几何意义 §4.5 相对运动的伯努利方程 §4.6 总流伯努利方程 §4.7 伯努利方程的应用 §4.8 动量方程 §4.9 动量矩方程
➢ 有能量输入或输出的总流伯努利方程
z1
p1
g
1
v12a 2g
H
z2
p2
g
2
v22a 2g
hw
§4.6 总流的伯努利方程
➢ 应用伯努利方程的步骤
（1）取基准面：通常取较低的截面为基准面； （2）取缓变流截面：应使截面上的已知参数尽量多，
且包含所要求解的参数，如缓变流截面可取在自 由液面上、管路的出口、远离入口的空间。 （3）列出关于研究对象的总流伯努利方程，求解未知 参数。必要时应结合静力学基本方程、连续方程 等列出方程组求解未知参数。
v12a 2g
z2
p2
g
2
v22a 2g
hw
上式就是总流的伯努利方程。动能修正系数一般取1。
§4.6 总流的伯努利方程
➢ 总流伯努利方程的应用条件
（1）流体是不可压 的（； 2）质量力只有重力； （3）流动是定常的；
（4）1、2是缓变流截面；但其间可存在急变流截面；
（5）与外界没有热交换；也没有功的输入或输出； （6）两截面间没有支流。
一、粘性流体伯努利方程
在粘性流体中，考虑到能量损失，伯努利方程应该
写为：
z1
p1
g
v12 2g
z2
p2
g
v22 2g
hw'
§4.6 总流的伯努利方程
二、缓变流截面
缓变流：流线是平行（或近似平行）的流动状态。 急变流：流线呈现出比较紊乱的流动状态。
在缓变流截面上流体静力学基本方程仍成立：
z p C g
§4.3 理想流体伯努利方程
定常流动中的流线和迹线互相重合，则
dx dt
vx
dy dt
vy
dz dt
vz
如果作用在流体上的质量力只有重力，则
fx 0, f y 0, fz －g
理想流体运动方程上式便可简化成：
gdz 1 dp 1 dv2 0
2
§4.3 理想流体伯努利方程
对于不可压缩流体，密度为常数，积分上式可得：
fy
1
p yy y
1 ( zy z
xy
x
)
dvz dt
fz
1
p zz z
1 ( xz z
yz
)
y
§4.2 粘性流体运动方程
应用广义牛顿内摩擦定律，可得：
dvx
dt
fx
1
p x
(2vx
x 2
2vx y 2
v2 x
)
z 2
dv
y
dt
fy
1
p y
(2vy
x 2
2vy y 2
压力能能。 p / g：单位重量流体的压力能。
动能 v2 / 2g：单位重量流体具有的动能。
总机械能：
p v2 z
g 2g
• 伯努利方程表示重力作用下不可压理想流体的绝能定常流 动，沿流线总机械能不变，但可以相互转换。
• 伯努利方程是机械能守恒及转换定律在流体力学中的反映。
§4.4 伯努利方程的意义
二、几何意义
位置水头 z ：所研究点相对某一基准面的几何高度。
测压管水头 p / g：与该点相对压力相当的液柱高度。
速度水头 v2 / 2g：与该点处速度大小相当的液柱高度。
v12
p
2g
静水头：
z
g
p1 g
总水头： z p v2 g 2g
z1
总水头线
v22
静水头线
2g
p2 g
基准面
z2
§4.5 相对运动伯努利方程
p v2 z C
g 2g
上式就是在重力场中理想不可压缩流体在定常条件下， 沿流线的伯努利方程。 ➢ 理想流体伯努利方程的适用范围 （1）理想不可压流 （2）作定常流动； （ 体3；）质量力只有重力； （4）沿同一条流线。
§4.4 伯努利方程的意义
一、能量意义
位置势能 z ：单位重量流体对某一基准面的位置势