则ak +1 = ak + d
凑 假 设
= [ a1 + (k − 1)d ] + d
= a 1 + [ ( k + 1) − 1 ] d
= a1 + kd
∴当n=k+1时，结论也成立. n=k+1时 结论也成立. 凑结论 (1)和(2)知 等式对于任何n∈N 都成立。 由(1)和(2)知,等式对于任何n∈N*都成立。
2.3数学归纳法 数学归纳法(1) 数学归纳法
对 于 数 列 {a n } ,已 知 a 1 = 1， a n + 1 = 猜想其通项公式
问题 1:如何证明粉笔盒中的粉笔 它们都是白色的？ 它们都是白色的？ 问题 2: a
n
1 + an
( n = 1, 2, ...
1 a1 = 1 1 a3 = 3
1+3+5+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(2k −3) +(2k −1) = k −1
2
那么 1+3+5+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(2k −1) +(2k +1)
= k −1+ (2k +1) = (k +1) −1
2 2
时等式成立。 即n=k+1时等式成立。所以等式对 时等式成立 一切正整数n均成立 均成立。 一切正整数 均成立。
2
+a
3
例1.用数学归纳法证明 用数学归纳法证明
（ +1) 2n+1 nn （ ） ∗ 1 +2 +3 +L+n = （ ∈N ） n 6
2 2 2 2
1 1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1) ＝ 3 n(n + 1)(n + 2) ＋n(n＋
练习.用数学归纳法证明 练习 用数学归纳法证明： 用数学归纳法证明 1 1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1) ＝ 3 n(n + 1)(n + 2) ＋n(n＋
…
a2
1 = 2
有限步骤 考察对象 无限
an
1 = n
多 米 诺 骨 牌 课 件 演 示
an a n } ,a 1 =1,a n+1 = (n ∈ N * ), 已知数列 { 1+a n 1 多米诺骨牌游戏的原理 an = 这个猜想的证明方法 n
（1）第一块骨牌倒下。 1）当n=1时猜想成立。 ）第一块骨牌倒下。 ） 时猜想成立。 （ 时猜想成立 时猜想成立， （2）若当 ）若当n=k时猜想成立， 时猜想成立 块倒下时， （2）若第 块倒下时， 即 a = 1，则当 ）若第k块倒下时 则当n=k+1时猜想 时猜想 k k 则相邻的第k+1块也倒下。 块也倒下。 则相邻的第 块也倒下 1 也成立， 也成立，即 ak +1 = 。
问题情境一 练习：某个命题当 时成立， 练习：某个命题当n=k (k∈N )时成立， ∈N )时成立 可证得当n=k+1时也成立。现在已知当 时也成立。 可证得当 时也成立 n=5时该命题不成立，那么可推得（C ） 时该命题不成立， 时该命题不成立 那么可推得（
A. n=6时该命题不成立 时该命题不成立 B. n=6时该命题成立 时该命题成立 C. n=4时该命题不成立 时该命题不成立 D. n=4时该命题成立 时该命题成立
证明: 证明 1)当n=1时，左边 ×2=2,右边 1×1×2×3 =2. 命题成立 1×2× 2×3 右边= 当 时 左边=1× 右边 3
2)假设 假设n=k时命题成立 即 时命题成立,即 假设 时命题成立 1 1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝ k (k + 1)(k + 2) × ＋ × ＋ × ＋ ＋ ＝
1 1 1 1 1 + +…+ + + (k + 1) + 1 (k + 1) + 2 2k 2k + 1 2k + 2 1 1 1 1 1 1 ) = + +…+ +( + − k +1 k + 2 2k 2k + 1 2k + 2 k + 1
13 1 1 13 1 13 )= + > +( − > . 24 2k + 1 2k + 2 24 (2k + 1)(2k + 2) 24
例如：用数学归纳法证明 2 1+3+5+ …+（2n-1)= n （
− 1 (n∈ N∗)
n=1时，左边=1，右边 ，左边 =右边 时 左边 ，右边=0， 右边 假设n=k时等式成立，即 时等式成立， 假设 时等式成立 证明：假设n=k时等式成立，即 证明：假设 时等式成立， 时等式成立
1+3+5+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(2k −3) +(2k −1) = k −1
(k + 1)(k + 2)
凑结论
=
1 ( k + 1)[(k + 1) + 1][(k + 1) + 2] = 3
时命题正确。 ∴ n=k+1时命题正确。 由(1)和(2)知，当 时命题正确 和 知
n ∈ N ∗ ，命题正确。
1 1 1 2.已知f (n) = + + ... + n +1 n + 2 3n +1 则f (k + 1) = f (k ) +
2
当n=k+1时, 代入得 n=k+1时 2 1+3+5+……+（2k- + (2k +1) = 1+3+5++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(22k-1)+(2k+1) (k +1) , + k −1) 1+ 3+ 5 =k2+(2k+1) =(k+1)2 所以等式也成立。 所以等式也成立。 综合（ ）（ ）（2）等式对一切正整数n均成立 综合（1）（ ）等式对一切正整数 均成立
3
则当n=k+1时 则当n=k+1时， 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ... + k ( k + 1) ＝
凑假设
+ ( k + 1)( k + 2)
从n=k到n=k+1有什么变化 n=k到n=k+1有什么变化
1 k ( k + 1 )( k + 2 ) + 3 1 ( k + 1) ( k + 1)( k + 2) 3
k +1
根据（ ） ），可 根据（1）和（2），可 ）， 知对任意的正整数n， 知对任意的正整数 ，猜 可知不论有多少块骨牌， 可知不论有多少块骨牌， 都成立。 想 都成立。 都能全部倒下。 都能全部倒下。
根据（ ） 根据（1）和 （2）， ），
an 对 于 数 列 {a n } ,已 知 a 1 =1,a n+1 = (n ∈ N * ), 1+a n 1 猜 想 其 通 项 公 式 为 a n = ,怎 样 证 明 ? n
证明： (1)当n=1时a1 =1成立 1 (2)假设n=k时猜想成立即 a k = k 1
则 n= k + 1时 , a k + 1 ak k = 1 = = 1 1 + ak k +1 1+ k
即n=k+1时猜想也成立
根据(1)(2)可知对任意正整数 猜想都成立 可知对任意正整数n猜想都成立 根据 可知对任意正整数 猜想都成立.
证明凸n边形内角和为 例:证明凸 边形内角和为 (n− 2) •180 中， 证明凸 初始值应该从几取？ 初始值应取 初始值应该从几取？ 初始值应取3
o
例如：用数学归纳法证明 2 1+3+5+ …+（2n-1)= n （
− 1 (n∈ N∗)
证明：假设 时等式成立， 证明：假设n=k时等式成立，即 时等式成立
1+ 3+ 5+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(2k −3) + (2k −1) = k
当n=k+1时, 代入得 n=k+1时
2
1+ 3+ 5 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(2k −1) + (2k +1) = (k +1) ,
2
所以等式也成立。 所以等式也成立。 综合（ ）（ ）（2）等式对一切正整数n均成立 综合（1）（ ）等式对一切正整数 均成立
1 1 1 1 答案： + + − 3K + 2 3K + 3 3K + 4 K +1
课堂小结
1、数学归纳法能够解决哪一类问题？ 、数学归纳法能够解决哪一类问题？ 一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题 2、数学归纳法证明命题的步骤是什么？ 、数学归纳法证明命题的步骤是什么？ 两个步骤和一个结论， 两个步骤和一个结论，缺一不可 3、数学归纳法证明命题的关键在哪里？ 、数学归纳法证明命题的关键在哪里？ 关键在第二步，即归纳假设要用到， 关键在第二步，即归纳假设要用到，解题目标要明确 4、数学归纳法体现的核心思想是什么？ 、数学归纳法体现的核心思想是什么？ 递推思想，运用“有限”的手段，来解决“无限”的问题 运用“有限”的手段，来解决“无限” 运用 注意类比思想的运用
例如：用数学归纳法证明 2 * 1+3+5+ …+（2n-1)= n ( n ∈ N ) （ 证明:(1) 当 n =1 证明 左边 = 1，右边 = 12= 1 ，等式成立 ， n=k时成立 （2）假设当n=k时成立，即： ）假设当n=k时成立，