数学归纳法+直接证明与间接证明题型一：数学归纳法基础1、已知n 为正偶数，用数学归纳法证明111111112()2341242n n n n-+-++=+++-++ 时，若已假设2(≥=k k n 为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证 （） A ．1+=k n 时等式成立B ．2+=k n 时等式成立C ．22+=k n时等式成立 D ．)2(2+=k n 时等式成立2、已知n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k （2≥k 且为偶数）时命题为真，，则还需证明（ ）A.n=k+1时命题成立B. n=k+2时命题成立C. n=2k+2时命题成立D. n=2（k+2）时命题成立3、某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当1+=k n 时命题也成立. 现已知当7=n 时该命题不成立，那么可推得（）A ．当n=6时该命题不成立B ．当n=6时该命题成立C ．当n=8时该命题不成立D ．当n=8时该命题成立 4、利用数学归纳法证明“*),12(312)()2)(1(N n n n n n n n ∈-⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=+⋅⋅⋅++ ”时，从“kn =”变到“1+=k n ”时，左边应增乘的因式是 （ ） A 12+kB112++k k C1)22)(12(+++k k k D132++k k5、用数学归纳法证明),1(11122*+∈≠--=++++N n a aaa aa n n，在验证n=1时，左边计算所得的式子是（ ）A. 1B.a +1C.21a a ++D. 421a a a +++典例分析6、用数学归纳法证明n n n n n 2)()2)(1(=+++ ))(12(31*∈+⋅⋅⋅⋅N n n ，从“k到k+1”左端需乘的代数式是（ ）A.2k+1B.)12(2+kC.112++k k D.132++k k7、用数学归纳法证明：1+21+31+)1,(,121>∈<-+*n N n n n时，在第二步证明从n=k 到n=k+1成立时，左边增加的项数是（ ） A.k 2 B.12-kC.12-kD.12+k8、设)1()2()1()(-++++=n f f f n n f ，用数学归纳法证明“)()1()2()1(n nf n f f f n =-++++”时，第一步要证的等式是9、用数学归纳法证明“)12(212)()2)(1(-⋅⋅⋅⋅=+++n n n n n n ”（+∈N n ）时，从 “n k =到1n k =+”时，左边应增添的式子是 10、用数学归纳法证明不等式241312111>++++++nn n n 的过程中，由k 推导到k+1时，不等式左边增加的式子是 11、是否存在常数c b a ,,是等式22222421(1)2(2)()n n n n n an bn c⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅-=++对一切)*N n ∈成立？证明你的结论。

题型二：证明整除问题1、若存在正整数m ，使得)(93)72()(*∈+-=N n n n f n 能被m 整除，则m =2、证明：)(,)3(1*∈+-N n x n 能被2+x 整除3、已知数列{}na 满足1201aa ==，，当*n ∈N 时，21n n naa a ++=+．求证：数列{}na 的第41(*)m m +∈N 项能被3整除．4、用数学归纳法证明：731(*)nn n +-∈N 能被9整除．题型三：证明恒等式与不等式 1、证明不等式111123212nn ++++>-……（n N *∈）2、是否存在常数a 、b 、c ，使等式)(12)1()1(32212222c bn an n n n n +++=+++⋅+⋅ 对一切正整数n 都成立？证明你的结论题型四：数列中的数学归纳法 1、已知数列{}n a 中，11,02n nn na S a a =+->，求数列{}n a 的通项公式.2、由正实数组成的数列{}na 满足：2112nn n aa a n +-=≤，，，．证明：对任意*n ∈N ，都有1na n<．3、在数列{}na 中，若它的前n 项和1(*)nn Sna n =-∈N ．⑴计算1234aa a a ，，，的值；⑵猜想na 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．题型五：其他类型题1、已知函数))((*N n n f ∈，满足条件：①2)2(=f ；② )()()(y f x f y x f ⋅=⋅；③ *)(N n f ∈；④当y x >时，有)()(y f x f >.(1) 求)1(f ，)3(f 的值；(2) 由)1(f ，)2(f ，)3(f 的值，猜想)(n f 的解析式；(3) 证明你猜想的)(n f 的解析式的正确性.2、数列{}n a ，2111,23()n n aa a n n n N *+==-+∈（Ⅰ）是否存在常数λ，μ使得数列{}2na n n λμ++是等比数列，若存在求μλ、的值，若不存在，说明理由。

（Ⅱ）设 112nn n b a n -=+-，123nnSb b b b =++++ 求证：2n ≥时，65(1)(21)3n n S n n <<++直接证明与间接证明 题型一：综合法 1、若110a b<<,则下列结论不正确的是 ( )Ａ．22a b < Ｂ．2ab b < Ｃ．2b a a b +> Ｄ．ab a b-=-2、如果数列{}na 是等差数列，则（ ）。

（A ）1845a a a a +<+ （B ） 1845aa a a +=+（C ）1845aa a a +>+ （D ）1845a aa a =3、在△ABC 中若2sin b a B =,则A 等于( ) (A)03060或 (B)04560或 (C)060120或 (D)030150或4、下列四个命题：①若102a <<,则()()cos 1cos 1a a +<-;②若01a <<,则11a-1a >+>2a;③若x 、y ∈R ，满足2y x =,则()2log 22xy+的最小值是78；④若a 、b ∈R ，则221a b ab a b +++>+。

其中正确的是（ ）。

(A) ①②③ (B) ①②④ (C) ②③④ (D) ①②③④ 5、下面的四个不等式：①cabc ab c b a ++≥++222；②()411≤-a a ；③2≥+ab ba ；④()()()22222bd ac dcba+≥+∙+.其中不成立的有（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 6、已知,a b R ∈且,0a b ≠，则在①abb a ≥+222；②2≥+ba ab ；③2)2(b a ab+≤；④2)2(222b a b a +≤+这四个式子中，恒成立的个数是 （ ）A 1个B 2个C 3个D 4个 7、已知c b a ,,均大于1，且4lo g l o g =⋅c bc a，则下列各式中，一定正确的是 （ ） A bac ≥ B cab≥ C abc≥ D cab≤题型二：分析法 1、设m n ≠，43x mm n=-，34y nm n=-，则x 与y 的大小关系为（ ）。

（A ）x y >； （B ）x y =； （C ）x y <； （D ）x y ≠ 2、已知1,1,1c a c c b c c >=+-=--，则正确的结论是（ ）。

(A) a b > (B)a b < (C)a b = (D)a 、b 大小不定 3、设a 、b 、m 都是正整数，且a ＜b ，则下列不等式中恒不成立的是（ ）。

(A)1a a m bb m+<<+ (B)a a mb b m +≥+ (D) 1aa mb b m +≤≤+ (D) 1b m ba m a+<<+4、已知()()()f x y f x f y +=+，且()12f =，则()()()12f f f n ++⋅⋅⋅+不能等于（ ）。

(A)f （1）+2f （1）+…+nf （1） (B)(1)2n n f+⎡⎤⎢⎥⎣⎦(C)n （n +1） (D)n （n +1）f （1） 5、75226--与的大小关系是__________.6在十进制中01232004410010010210=⨯+⨯+⨯+⨯，那么在5进制中数码2004折合成十进制为 。

7、设26,37,2-=-==R Q P，那么P, Q, R 的大小顺序是 。

8、有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖。

”乙说：“甲、丙都未获奖。

”丙说：“我获奖了。

”丁说：“是乙获奖。

”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是9、若a b c ，，是△ABC 的三边长，求证：4442222222()a b c a b b c c a ++<++10、△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列， 求证：cb a cb b a ++=+++311。

11、用分析法证明：若a>0，则212122-+≥-+aa aa 。

题型三：反证法1、下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：x3 5 8915x lg b a -2 c a +ca 333--ba 24-13++-c b a请将错误的一个改正为lg =2、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）A 假设三内角都不大于60°B 假设三内角都大于60°；C 假设三内角至多有一个大于60°D 假设三内角至多有两个大于60°。

3、已知33q p +＝2，关于p ＋q 的取值范围的说法正确的是 （ ） （A ）一定不大于2 （B ）一定不大于22（C ）一定不小于22 （D ）一定不小于24、否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是 ( )A 有一个解B 有两个解C 至少有三个解D 至少有两个解 5、设,,a b c 大于0，则3个数：1a b+，1b c+，1c a+的值 ( )A 都大于2B 至少有一个不大于2C 都小于2D 至少有一个不小于26、已知α∩β＝l ，a ⊂α、b ⊂β，若a 、b 为异面直线，则 ( ) A a 、b 都与l 相交 B a 、b 中至少一条与l 相交 C a 、b 中至多有一条与l 相交 D a 、b 都与l 相交7、用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,反设正确的是（ ）A 、假设三内角都不大于60度；B 假设三内角都大于60度；C 、假设三内角至多有一个大于60度D 、假设三内角至多有两个大于60度。