3、研究数列H(n)-ln(n)的收敛性
Step1 令C(n)=H(n)-ln(n)，通过图象观察其特性： Cup[n_] :=H[n]-Log[n] tup=Table[ {n, N[Cup[n],6]},{n,1,100}] ph4=ListPlot[tup,PlotStyle->RGBColor[0,0,1]]
我们将 lnx 的图象向上平移C个单位后再进行观察。 c1=H[100]-Log[100] ph3=Plot[Log[x]+c1,{x,1,100}] Show[ph1,ph3]
5 4 3 2 1
20
40
60
80
100
猜测1 调和数列的前n项和H(n)是发散数列，它的数值与 ln(n)+C 很接近。
1、运行和退出Mathematica系统。 2、界面介绍。
3、输入和计算表达式。 4、保存和打开文件。 5、使用帮助系统。
变量与函数
一、Mathematica中的数据类型
Mathematica系统中，数值分成四种类型：整数、有 理数、实数和复数。
整数型数据可以表示任意长度的精确整数，不受计 算机字长的限制。
Integer Rational
Real Complex
整数型 有理数(分数)型
(近似)实数型 复数型
精确运算 精确运算 近似计算
二、系统中的数据常数
Pi E Degree GoldenRatio Infinity I
Step4 与对数函数 y=lnx 作比较 ph2=Plot[Log[x],{x,1,100}] Show[ph1,ph2]
5 4 3 2 1
20
40
60
80
100
根据图象比较的结果可以看出，当n很大时，H(n)的 图象与ln(n)的图象非常相似，但它们大致相差一个常数。 这个常数约为
C=H(100)-ln100≈0.5822.
Step2 令c(n)=H(n)-ln(n+1)，通过图象观察其特性： Clow[n_] :=H[n]-Log[n+1] tlow=Table[ {n, N[Clow[n],6]},{n,1,100}] ph5=ListPlot[tlow,PlotStyle->RGBColor[1,0,0]]
Step3 比较C(n)和c(n)，在同一坐标系中作出它们的图象。 Show[ph4,ph5]
8.006367568 8.2940496401 8.517193191 8.699514748 8.853665428 8.9871968207 9.104979856 9.210340372
H(n)-ln(n) 0.5777155816
0.5774656441
0.5773823223 0.5773406597 0.577315661 0.5772989959 0.5772870918 0.5772781636 0.5772712194 0.5772656641
数学分析实验
－ Mathematica 软件的应用
数学实验实例一 调和数列研究
1、调和数列
自然数的倒数组成的数列 1, 1 , 1 ,, 1 , 23 n
称为调和数列。它的前n项和数列 n 1 记作H(n)。 k 1 k
2、提出问题：H(n)是否收敛？
我们借助于数学软件Mathematica 对H(n)的收敛性进 行观察。
如：264； 最大素数 21257787-1等。
有理型数据可以精确表示任意的既约分数，当两个 整数相除而又不能整除时，就用有理数型表示。
如：3/39.
实数型数据可以表示任意精度的近似实数。 如：Pi.
复数型数据可以表示复数，其实部和虚部可以是整 数型、有理型或实数型。
如：I2；Arg[1+I].
Mathematica中的数据类型
n 2 3
n
把这个极限值记为C，C ≈0.5772，称为欧拉（Euler） 常数。
数学实验工具
常见的数学工具软件： 1、Mathematica； 2、Matlab； 3、Maple； 4、MathCad.
我们主要使用Mathematica这一数学工具软件。
Mathematica介绍
Mathematica是一个功能强大的数学工具软件，具有 数值计算、符号演算、图象制作、公式编辑和编程等各 项功能。
0.62
0.58 0.56 0.54 0.52
20
40
60
80
100
通过观察可知如下事实： 1、C(n)是单调递减数列； 2、c(n)是单调递增数列； 3、c(n) ≤ C(n)； 4、c(n)，C(n)都是收敛数列，而且它们有相同的极限。
4、结论与证明
结论：
极限 lim (1 1 1 1 ln n) 存在。
猜测2 数列H(n)- ln(n)可能是收敛的。
Step5 用计算数据作印证 对充分大的n，计算H(n)-ln(n)的值： t2=Table[N[{n,H[n],Log[n],H[n]-Log[n]},10], {n,1000,10000,1000}]
可以得到如下的数据表：
n 1000
2000
3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
…… 5.17738 5.18738 7.48547 9.78761 14.39273
Step3 根据数据表画出H(n)的图形 ph1=ListPlot[t]
5 4 3 2
20
40
60
80
100
Байду номын сангаас
通过对所得图象的观察和分析，我们发现它很接近对 数函数的图象。我们把它与对数函数 y=lnx 的图象一起比 较一下。
H(n) 7.485470861
8.178368104
8.583749890 8.871390300 9.094508853 9.276813744 9.430952520 9.564474984 9.682251076 9.787606036
ln(n) 6.907755279
7.6009024595
Step1 定义前n项和H(n) H[n_]:=Sum[1/k,{k,1,n}]
Step2 列出H(n)随n变化的数据表 t=Table[{n,N[H[n],6]},{n,1,100}]
n 1 2 3 4 …… 99 100 1000 10000 1000000
H[n] 1.00000 1.50000 1.83333 2.08333