数学实验报告
实
验
一
数学与统计学院
信息与计算科学(1)班
郝玉霞
201171020107
数学实验一
一、实验名：微积分基础
二、实验目的：学习使用Mathematica的一些基本功能来验证或观察得出微积分学的几个基本理论。

三、实验环境：学校机房，工具：计算机,软件：Mathematica。

四、实验的基本理论和方法：利用Mathematica作图来验证高中数学知识与大学数学内容。

五、实验的内容和步骤及结果
内容一、验证定积分
dt
t
s
x
⎰=
1
1
与自然对数
x
b ln=
是相等的。

步骤1、作积分
dt
t
s
x
⎰=
1
1
的图象；
语句：S[x_]:=NIntegrate[1/t,{t,1,x}]
Plot[S[x],{x,0.1,10}]
实验结果如下：
2
1
图1
dt
t
s
x
⎰=
1
1
的图象
步骤2、作自然对数
x
b ln=
的图象
语句：Plot[Log[x],{x,0.1,10}] 实验结果如下：
2 1
图2
x
b ln=
的图象
步骤3、在同一坐标系下作以上两函数的图象
语句：Plot[{Log[x],S[x]},{x,0.1,10}] 实验结果如下：
2
1
图3
dt
t
s
x
⎰=
1
1
和
x
b ln=
的图象
内容二、观察级数与无穷乘积的一些基本规律。

（1）在同一坐标系里作出函数
x
y sin
=
和它的Taylor展开式的前几项构成的
多项式函数
3
!3
x
x
y-
=
，!5
!3
5
3x
x
x
y+
-
=
，⋅⋅⋅的图象，观察这些多项式函数的图
象向
x
y sin
=
的图像逼近的情况。

语句1：
s[x_,n_]:=Sum[(-1)^(k-1)x^(2k-1)/((2k-1)!),{k,1,n}]
—
Plot[{Sin[x],s[x,2]},{x,-2Pi,2Pi},PlotStyle->{RGB[0,0,1]}] 实验结果如下：
6424
2
图4
x y sin =和它的二阶Taylor 展开式的图象
语句2：
s[x_,n_]:=Sum[(-1)^(k-1)x^(2k-1)/((2k-1)!),{k,1,n}]
Plot[{Sin[x],s[x,3]},{x,-2Pi,2Pi},PlotStyle->{RGB[0,1,1]}] 实验结果如下：
642
3
21图5
x y sin =和它的三阶Taylor 展开式的图象
语句3：
s[x_,n_]:=Sum[(-1)^(k-1)x^(2k-1)/((2k-1)!),{k,1,n}]
Plot[{Sin[x],s[x,4]},{x,-2Pi,2Pi},PlotStyle->{RGB[0,1,0]}] 实验结果如下：
642
3
21图6
x y sin =和它的四阶Taylor 展开式的图象
语句4：
s[x_,n_]:=Sum[(-1)^(k-1)x^(2k-1)/((2k-1)!),{k,1,n}]
Plot[{Sin[x],s[x,5]},{x,-2Pi,2Pi},PlotStyle->{RGB[1,0,0]}] 实验结果如下：
642
3
21图7
x y sin =和它的五阶Taylor 展开式的图象
语句5：
s[x_,n_]:=Sum[(-1)^(k-1)x^(2k-1)/((2k-1)!),{k,1,n}] Plot[{Sin[x],s[x,2],s[x,3],s[x,4],s[x,5] },{x,-2Pi,2Pi}] 实验结果如
下： 6422
图8
x
y sin
=
和它的二、三、四、五阶Taylor展开式的图象
（2）分别取n=10，20，100，画出函数
x
k
k
y
n
k
)1
2
sin(
1
2
1
1
-
-
=∑
=在区间[-3
π，3π]上的图像，当n→∞时，这个函数趋向于什么函数？语句1：
f[x_,n_]:=Sum[Sin[k*x]/k,{k,1,n,2}]
Plot[f[x,10],{x,-2Pi,2Pi},PlotStyle->{RGB[0,0,1]}]
实验结果如下：
642
0.5
图9 n=10时，
x
k
k
y
n
k
)1
2
sin(
1
2
1
1
-
-
=∑
=的图像
语句2：
f[x_,n_]:=Sum[Sin[k*x]/k,{k,1,n,2}]
Plot[f[x,20],{x,-2Pi,2Pi},PlotStyle->{RGB[0,0,1]}] 实验结果如下：
642
0.5
图10 n=20时，
x
k k y n
k )12sin(121
1--=∑
=的图像
语句3：
f[x_,n_]:=Sum[Sin[k*x]/k,{k,1,n,2}]
Plot[f[x,100],{x,-2Pi,2Pi},PlotStyle->{RGB[0,0,1]}] 实验结果如下：
6420.5
图11 n=100时，
x
k k y n
k )12sin(121
1--=∑
=的图像
（3）分别取5,15,100,，在同一坐标系里作出函数x x f sin )(=与
∏=-
⋅=n
k k x x x p 1
222
)
1()(π在区间[-2π，2π]上的图像。

语句1：
p[x_,n_]:=x*Product[1-x^2/(k^2Pi^2),{k,1,n}] Plot[{Sin[x],p[x,5] },{x,-2Pi,2Pi}] 实验结果如下：
642
1.5
1.00.5
—
图12 n=5时,x x f sin )(=与
∏=-
⋅=n
k k x x x p 1
2
2
2)
1()(π
的图像
语句2:
p[x_,n_]:=x*Product[1-x^2/(k^2Pi^2),{k,1,n}] Plot[{Sin[x],p[x,15] },{x,-2Pi,2Pi}] 实验结果如下：
642 1.0
0.5
图13 n=15时,x x f sin )(=与
∏=-
⋅=n
k k x x x p 1
2
2
2)
1()(π
的图像
语句3：
p[x_,n_]:=x*Product[1-x^2/(k^2Pi^2),{k,1,n}] Plot[{Sin[x],p[x,100] },{x,-2Pi,2Pi}] 实验结果如下：
642 1.0
0.5
图14 n=100时,x x f sin )(=与
∏=-
⋅=n
k k x x x p 1
2
2
2)
1()(π
的图像
六、实验结果分析
—
内容一、图1、图2分别作出了定积分
dt t s x
⎰=
1
1
与自然对数x b ln =的图象，大致看来这两幅图是一样的；由图3在同一坐标系里作出以上两函数的图象，可
以看出这两幅图是完全重合的，由此足以证明：定积分
dt
t s x
⎰=11
与自然对数x b ln =是相等的,这与之前我们得出的结论是完全一致的。

内容二、（1）图4、5、6、7分别作出函数
x y sin =和它的二、三、四、五阶
Taylor 展开式的图象，图8作出了同一坐标系里函数
x y sin =和它的二、三、
四阶Taylor 展开式的图象，经比较可知，奇数阶的更接近正弦函数；（2）图9、
10、11分别作出n=10,20,100时，函数x
k k y n
k )12sin(121
1--=∑=的图像，经观
察可知，当n →∞时，这个函数趋向于分段函数；（3）图12、13、14分别作出
n=5,15,100时，在同一坐标系里函数x x f sin )(=与
∏=-
⋅=n
k k x x x p 1
2
2
2)
1()(π
在区
间[-2π，2π]上的图像，观察知当n 增加时)(x p 的图像向
)sin(x 的图像逼近，
且两个函数在x=0处的导数相同，在任何有限的区间上，当n →∞时函数)(x p 逼
近
)sin(x 。