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注： 1、排队分“有形”排队和“无形”排队。
2、排队的不一定是人，也可以是物.
上述各种问题虽互不相同，但却都有要求 得到某种服务的人或物和提供服务的人或机构。
• 排队论里把要求服务的对象统称为“顾客”； • 提供服务的人或机构称为“服务台”或“服务员”。
2、系统状态概率：
(1)瞬态概率Pn(t) ——表示时刻系统状态 N(t)=n 的概率;
(2) 稳态概率Pn
——Pn=
lim
t
Pn(t)
;
——一般，排队系统运行了一定长的时
间后，系统状态的概率分布不再随时间
t变化，即初始时刻（t=0）系统状态的
概率分布(Pn(0) ，n>=0）的影响将消失。
(二)系统运行指标参数 ——评价排队系统的优劣。
第一节 内容安排
内容安排 • 1、 前言 • 2、 基 本 概 念 • 3、 输入过程和服务时间分布 • 4、 泊松输入—指数服务排队模型
1.1 排队现象与排队系统
一、排队现象
到达顾客
服务内容
服务机构
病人
诊断/手术
医生/手术台
进港的货船 装货/卸货
码头泊位
到港的飞机 降落
机场跑道
电话拨号
通话
交换台
顾客排队时间的长短与服务设施规模的 大小，就构成了设计随机服务系统中的一对 矛盾。
如何做到既保证一定的服务质量指标， 又使服务设施费用经济合理，恰当地解决顾 客排队时间与服务设施费用大小这对矛盾。
这就是随机服务系统理论——排队论所 要研究解决的问题。
二、排队系统 （一）排队服务过程
排队规则
顾客源
——依据排队系统3个主要特征： （1） X 顾客到达间隔时间分布； （2） Y 服务台（员）服务时间分布； （3） Z 服务台（员）个数（单个或多个并列）；
2、国际排队论标准化会议(1971)表示法 X/Y/Z/A/B/C
（1） A 系统容量限制； （2） B 顾客源（总体）数目； （3） C 服务规则（FCFS，LCFS等）；
（1）由于顾客到达和服务时间的随机性， 现实中的排队现象几乎不可避免；
（2）排队过程，通常是一个随机过程， 排队论又称“随机服务系统理论”；
面对拥挤现象，人们总是希望尽量设法 减少排队，通常的做法是增加服务设施。
但是增加的数量越多，人力、物力的支 出就越大，甚至会出现空闲浪费。
如果服务设施太少，顾客排队等待的时 间就会很长，这样对顾客会带来不良影响。
例“M/M/1/k//FcFs”
表示顾客到达间隔时间和服务时间均服从负指数 分布，一个服务台，系统至多容纳k个顾客,潜在的顾 客数不限，先来先服务的排队系统。
二、系统参数
(一)系统运行状态参数 1、系统状态 N(t) ——指排队系统在时刻t时的全部顾客数 N(t)， 包括“排队顾客数”和“正被服务顾客 数”； ——系统状态的可能值如下： （1）系统容量无限制， N(t) =0，1，2，…; (2) 系统容量为N时, N(t) =0,1,2,…,N; (3) 服务台个数为c/损失制, N(t) =0,1,2,…,c; 一般,系统状态N(t)是随机的。
1、队长与排队长
(1)队长: 系统中的顾客数（n）；
期望值 Ls= n*Pn (2)队列长: 系统中排队等待服务的顾客数服;务 数台
单服务 台排队 系统
单队列— —S个服务 台并联的 排队系统
S个队 列——S 个服务台 的并联排 队系统
图4 单队——多个服务台的串联排队系统 图5 多队——多服务台混联、网络系统
1.2 排队模型与系统参数
一、排队模型
(一)排队模型表示方法
1、D.G.Kendall(1953)表示法 X/Y/Z
相继到达间隔时间 t i
顾客到达时刻 T i
（2）排队结构与排队规则
顾客排队方式：等待制/即时制(损失制); 等待制:当顾客来到系统时，所有服务台都不空，
顾客加入排队行列等待服务; 损失制:指如果顾客到达排队系统时，所有服务台
都已被先来的顾客占用，那么他们就自动 离开系统永不再来。 排队系统容量：有限制/无限制; 排队队列数目: 单列/多列; 是否中途退出: 允许/禁止; 是否列间转移: 允许/禁止; (仅研究禁止退出和转移的情形)
排队结构
顾客到来
服务规则
服务机构
。。。
顾客离去
排队系统
（二）排队系统的要素及其特征
1、排队系统的要素： （1）顾客输入过程； （2）排队结构与排队规则； （3）服务机构与服务规则；
2、排队系统不同要素的主要特征： （1）顾客输入过程 顾客源(总体)：有限/无限; 顾客到达方式：逐个/逐批;(仅研究逐个情形) 顾客到达间隔：随机型/确定型; 顾客前后到达是否独立：相互独立/相互关联； 输入过程是否平稳：平稳/非平稳；(仅研究平稳性)
——略去后三项，即指 “X/Y/Z///FCFS”； ——这里仅研究FCFS的情形；
(二)到达间隔和服务时间典型分布
（1） 泊松分布
M；
（2） 负指数分布
M；
（3） k阶爱尔朗分布
Ek；
（4） 确定型分布
D；
（5） 一般服务时间分布 G；
(三)排队模型示例
——M/M/1，M/D/1，M/ Ek /1； ——M/M/c， M/M/c//m， ——M/M/c/N/ ，。。。
排队论(Queuing Theory)
排队论（queuing),也称随机服务系统理论，是 运筹学的一个主要分支。
1909A. K. Erlang的开创性论文“概率论和电话 通讯理论”标志此理论的诞生。排队论的发展最早 是与电话，通信中的问题相联系的，并到现在是排 队论的传统的应用领域。近年来在计算机通讯网络 系统、交通运输、医疗卫生系统、库存管理、作战 指挥等各领域中均得到应用。
服务台(员)为顾客服务的顺序: a)先到先服务(FCFS); b)后到先服务(LCFS); c)随机服务;(RSS); d)优先服务;(PR); e)一般规约服务，即通用规约服务GD; f)集体（批量）服务：BA
（3）服务机构与服务规则
服务台(员)数目;单个/多个; 服务台(员)排列形式;并列/串列/混合; 服务台(员)服务方式;逐个/逐批;(研究逐个情形) 服务时间分布;随机型/确定型; 服务时间分布是否平稳:平稳/非平稳;(研究平稳情形)