③ 服务机构 排队系统的服务机构主要包含：

服务员（服务设施）数量及其连接 形式（并联或串联） 顾客是单个接受服务还是成批接受 服务 服务时间的分布


各类型排队系统
E E D1 L E E 单队列单服务台 . . D1 D2 Dn . . L L L E D1 D2 … Dn L L L
多队列多服务台（并列) D1
e t b(t ) 0
t 0 t 0
负指数分布描述的随机现象对于过去的事件具有无记忆性，
即Markov性，因此用Markov开头字母M表示； D：定长分布，表示每个顾客接受服务的时间是一个确定 的常数；

Ek：k阶爱尔朗分布〔Erlang)，表示每个 顾客接受服务的时间服从k阶爱尔朗分布， 其密度函数为
排队论的系统输入还要关注顾客源是有限集还是无 限集。如工厂内待修的机器数显然是有限集，而到某 航空售票处购票的顾客源则可以认为是无限的。 顾客的到达可以是相互独立的，也就是说，以前的 到达情况对以后顾客的到达没有影响，否则就是有关 联的。如工厂内的机器在一个短的时间区间内出现故 障（顾客到达）的概率就受已经待修或被修理机器数 目的影响。我们主要讨论的是相互独立的情形。 输入过程可以是平稳的，或称为对时间是齐次的， 是指描述相继到达的时间间隔分布和所含参数（如期 望、方差）都是与时间无关的，否则成为非平稳的。 我们主要讨论的是平稳的情形。
（2）排队规则
最常见的等待制排队规则是：
先到先服务FCFS：即按到达次序接受服务，这是最常见的
情形。 后到先服务LCFS：如仓库中存放的货物常常是后放入的先 被出库使用。 具有优先权的服务PS：如医院对病情严重的病人予以优先 治疗，公交车上对老年人予以优先上车就坐等。 随机服务SIRO：指服务员从等待的顾客中随机地选取其中 一个进行服务而不管到达的先后。如电话交换台接通呼唤的 电话。
单队列多服务台（并列） D’1 D’2 多服务台混合形式 L L
E
D1
D2
...
Dn
L
E
D2 D3
单队列多服务台（串列）
服务台的服务时间一般也分成确定型和随机型 两种。例如，自动冲洗汽车的装置对每辆汽车 冲洗（服务）时间是相同的，因而是确定型的。 但大多数情况下服务时间是随机型的，对于随 机型的服务时间，我们需要知道服务时间V的概 率分布。如果服务时间V服从负指数分布，则其 分布函数是

当k=1时爱尔朗分布就是负指数分布；当 k增加时，爱尔朗分布逐渐变为对称的。 当k>30时，爱尔朗分布近似于正态分布。

G：一般随机分布。 例如M/M/l表示到达的间隔时间服从负指数 分布，服务时间也服从负指数分布的单服务 台排队系统模型。M/D/2表示到达间隔时间 服从负指数分布，而服务时间为定长分布的 双服务台排队系统模型。
如服从泊松分布，则在时间t内到达n个顾 客的概率为：
e t ( t ) n Pn (t ) (n 0,1, N ) n!
或相继到达的顾客的间隔时间T服从负指 数分布，即：
P(T t ) 1 et
式中λ为单位时间顾客期望到达数量，称 为平均到达率；1/λ为平均间隔时间。
式中μ 为平均服务率，1/μ 为平均服务时间。
9.1.2排队系统的分类
Kendall符号的形式X/Y/Z。各符号的含 义如下：

X指顾客相继到达间隔时间的分布 Y为服务时间的分布 Z为并列的服务台数目
表示相继到达的间隔时间和服务时间分布符号常用以下符 号表示 M：负指数分布，表示每个顾客接受服务的时间相互独立， 具有相同的负指数分布；
第9章 排队论
南京航空航天大学
排队是我们在日常生活中经常遇到的现象，例如 病人到医院看病、客户到银行汇款、城市拥堵 路段的汽车排队、电话占线等。排队现象产生 的原因之一是要求服务的数量超过了服务机构 的容量，也就是有部分的服务对象不能立即得 到服务；原因之二是系统服务对象到达和服务 时间均存在随机性。前者可以通过增加服务机 构的容量来解决排队现象，但无休止地增加服 务机构的容量会导致追加投资并可能发生系统 资源长时间闲置。后者，也就是系统服务对象 到达和服务时间均存在随机性，致使无法准确 预测估算排队拥堵的具体情况。所以，在服务 系统中的排队现象几乎不可避免。
9.1排队论的基本概念
排队论是通过对服务对象到来及服务时 间的统计研究，得出这些数量指标（等 待时间、排队长度、忙期长短等）的统 计规律，然后根据这些规律来改进服务 系统的结构或重新组织被服务对象，使 得服务系统既能满足服务对象的需要， 又能使服务机构的费用最经济或某些指 标最优。
9.1.1排队过程的一般表示
排队系统示意图
一般的排队系统有三个基本组成 部分： ①输入过程 ②排队及排队规则
③服务机构
① 输入过程 主要包括：


Байду номын сангаас
顾客相继到达系统的时间间隔 顾客到达系统的方式（顾客可能单个 到达，也可能成批到达） 顾客源情况
输入过程说明顾客按怎样的规律到达服务系统 的。它可用一定时间内顾客到达的数量或前后两 个顾客相继到达的间隔时间来描述。按照一定时 间内顾客到达数量或前后两个顾客相继到达的间 隔时间类型的不同，输入过程可以划分为确定型 和随机型两种：如在自动装配线上装配的各部件 就必须是按确定时间间隔到达装配点，定期的航 班、长途客车等都是确定型的；顾客到商店购买 商品、到医院就诊的病人等都是随机型的。在排 队论中，讨论的输入过程主要是随机型的。 随机型的输入是指在时间 t内顾客到达数量 n(t) 服从一定的概率分布。
② 排队及排队规则
（1）排队
排队规则是指顾客来到排队系统后如何排队等候服务的 规则，一般有即时制、等待制和混合制三大类。其中即 时制(损失制)是指当顾客到达时，如果所有服务台都已 被占用，顾客可以随即离开系统。等待制指顾客到达系 统时，所有服务台被占用，顾客就加入排队队列等待服 务。而混合制是即时制和等待制相结合的一种排队服务 规则。混合制主要分为两种情况：一是队长有限制的情 况，即当顾客排队等侯服务的人数超过规定数量（等待 空间有限）时，后来的顾客就自动离开，另求服务；二 是排队等侯时间有限制的情况，即当顾客排队等候超过 一定时间就会自动离开，不能再等。