2009年10月在职攻读工商管理硕士学位全国联考综合能力数学试题一•问题求解（第1~15小题，每小题3分，共45分，下例每题给出A、B、C、D、E五个选项中，只有一项是符合试题要求的，请在答题卡上将所选项的字母涂黑）1. 已知某车间的男工人数比女工人数多80%,若在该车间的一次技术考核中全体工人的平均成绩为75分,而女工平均成绩比男工平均成绩高20%,则女工平均成绩为（）分。

（A）88 （B）86 （C）84 （D）82 （E）80［点拨］未知量设少的一方容易计算。

解：设女工人数为x，男工平均成绩为y，则1.2y x y 1.8x75 y 70 1.2y 84，选（C）。

x 1.8x2. 某人在市场上买猪肉，小贩称得肉重为4斤，但此人不放心，拿出一个自备的100克重的砝码，将肉与砝码一起让小贩用原秤复称，结果重量为425斤，由此可知顾客应要求小贩补猪肉（）两（A）3 （B）6 （C）4 （D）7 （E）8［点拨］比例问题，但应先化为同一计量单位。

解：——x 32，应要求小贩补猪肉40 32 8两。

选（E）。

2.5 403. 甲、乙两商店某种商品的进价都是200元，甲店以高于进价20%的价格出售，乙店以高于进价15%的价格出售，结果乙店的售出件数是甲店的两倍，扣除营业税后乙店的利润比甲店多5400元。

若营业税率是营业额的5%那么甲、乙两店售出该商品各为（）件(A) 450, 900 (B) 500, 1000 (C) 550, 1100（D）600, 1200 （E）650, 1300［点拨］直接设甲店售出件数，在利用利润差。

解：设甲店售出X件，则甲店的利润为200 0.2x 200 1.2x 5% 28x ,乙店的利润为200 0.15 2x 200 1.15 2x 5% 37x,37x 28x 5400 x 600。

选（D）。

4. 甲、乙两人在环形跑道上跑步，他们同时从起点出发，当方向相反时每隔48秒相遇一次，当方向相同时每隔10分钟相遇一次。

若甲每分钟比乙快40米，则甲、乙两人的跑步速度分别是（）米/分。

（A）470, 430 （B）380, 340 （C）370, 330（D）280, 240 （E）270, 230［点拨］相遇问题。

解：设乙的跑步速度为x米/分，环形跑道长度为S，则S 48 42x 4°60 5， x 230。

选（E）。

—— 10.405. 一艘小轮船上午& 00起航逆流而上（设船速和水流速度一定）, 中途船上一块木板落入水中，直到& 50船员才发现这块重要的木板丢失，立即调转船头去追，最终于9：20追上木板，由上面数据可以算出木板落水的时间是（）（A）8：35 （B）8：30 （C）8：25 （D）8：20 （E）8：15［点拨］这里涉及顺流与逆流问题，船速和水速是必设的。

解：设船速和水速分别为V1和V2，起航t分钟木板丢失，从木板丢失到船员发现，用了 50 t 分钟，此时木板行进了 (50 tM 的距离，而船 则反方向行进了 (50 t)(w V 2)的距离。

从8 50开始追，用了 30分钟 追上，得到关系式(V i V 2) 30 (50 t)(V i V 2) (50 t)V 2 30v 2t 50 30 20。

选(D)。

6.若x,y 是有理数，且满足(1 2..3)x (1 ,.3)y 2 5 (3)0，则x, y 的值分别为() (A ) 1, 3( B )-1，2( C -1，3( D )1, 2(E )以上结论都不对［点拨］注意有理数与无理数性质，有理数乘无理数是无理数。

解：变形（x y 2） （2x y 5） (3)0，从而数的2009次方也等于1。

则a 2007 b 2009 ()（A ） -1 （ B ）2 （C ）1 （D ）0 （E ）22007［点拨］实数范围内，任何数的奇数次方等于 1,则必此数等于1 解：由题设- 120071 11 a b 1 ；a ba b2009111 1 a b 1，联立解得a 0,b 1。

选(C )。

a ba b8.设y x ax 20 x a 20，其中0 a 20，则对于满足a x 20 的x 值，y 的最小值是()（A ） 10 （ B ） 15 （ C ） 20 （ D ） 25 （ E ） 30 ［点拨］此题的关键是根据条件脱绝对值号x y 2 0,x2x y 5 0.1,y 3，选(C )。

7.设a 与b 之和的倒数的2007次方等于1, a 的相反数与b 之和的倒解：y x a x 20 x a 20 x a 20 x a 20 x 40 x ,要最小值，则x 20 , y 20。

选（C ）。

（最大值是40 a ） 9.若关于x 的二次方程mx 2 （m 1）x m 5 0有两个实根,，且满足10,01,则m 的取值范围是（）（A ） 3 m 4 （ B ）4 m 5（ C ） 5 m 6（D ）m 5 或 m 6（ E ） m 4 或 m 5［点拨］从二次函数的图像考虑，不论 m 0或m 0，只要讨论x 1,x 0,x 1处函数值的情况。

解：根据抛物线图像f （ 1）f （0） （3m 6）（m 5） 0,，f （0）f （1） （m 5）（m 4） 0.解得4 m 5。

选（B ）。

10. 一个球从100米高处自由落下，每次着地后由跳回前一高度的一 半在落下，当它第10次着地时，共经过的路程是（）米。

（C ） 1 （D ） 3［点拨］一般的曲线与直线的最短距离问题十分复杂， 但这里曲线是圆。

解：x 2 2x y 20 (x 1)2 y 21，圆心是(1,0)。

(A ) 300( B ) 250 (C ) 200(D ) 150 ( E ) 100［点拨］注意跳回再落下是个来回 解：S 1001009100100 100 1 100 10012 1 2300。

选（A ）11.曲线x 22x上的点到直线3x 4y 12 0的最短距离是（）。

（A ）3 5(B )圆心到直线3x 4y 12 0的距离是卩0 12 9〔，即直线；32（ 4）2 53x 4y 12 0在圆外，则曲线x2 2x y2 0上的点到直线3x 4y 12 0的最短距离是9 1 —。

选（B）。

5 512. 曲线xy 1 x y所围图形的面积为（）。

（A）1（B）- （C） 1 （ D 2 （E）44 2［点拨］平方是去绝对值符号的一个常用方法。

解：两边平方得x2y2 1 x2 y2（x2 1）（y2 1） 0，解得x 1 , y 1，或曲线xy 1 x y 所围图形为由直线x 1，x 1，y 1，y 1围成的区域，其面积是4。

选（E）。

13. 如图所示，向放在水槽底部的口杯注水（流量一定），注满口杯后继续注水，直到注满水槽，水槽中水平面上升高度h与注水时间t之间的函数关系大致是（）（A）（B）（C）（D）（E）以上图形均不正确［点拨］考察函数的图像，结合具体问题仔细分析。

解：t 0时，开始注水，先注入口杯中，水槽内没有水（h 0 ），只有图（A）、（C）符合；注入一段时间后，口杯满溢，水槽中开始进水，但当水槽内水平面高于口杯后，截面积增加，水面上升速度减少，所以（C）是正确的。

14. 若将10只相同的球随机放入编号为1、2、3、4的四只盒子中，则每个盒子不空的投放方法有（）种（A）72 （B）84 （C）96 （D）108（E）120［点拨］用挡板法（插板法）简明。

解：将10只相同的球一字排开，形成9个空档，要分成4段（四只 盒子），则将9个空档插入3个板即可。

C ； 84。

选（B ）。

15. 若以连续两次掷色子得到的点数a 和b 作为点P 的坐标，则点P （a,b ）落在直线x y 6和两坐标轴围成的三角形内的概率为（）（A ） 1（B ）丄 （° 2（ D ）丄 （巳-56369418［点拨］掷色子得到的点数是等可能事件。

解：全部得到的点数的数目为6X 6=36,而落在x y 6和两坐标轴围 成的三角形内的点数只能是10(2,3),(3,1),(3,2),(4,1)共 10 种，所以土36选（E ）二.条件充分性判断（第16~25小题，每小题3分，共30分，要求判断每题给出的条件（1）和（2）能否充分支持题目所陈述的结论,A 、B 、C 、D 、E 五个选项中，只有一项是符合试题要求的，请在 答题卡上将所选项的字母涂黑）（A ） 条件（1）充分，但条件（2）不充分 （B ） 条件（2）充分，但条件（1）不充分（C ） 条件（1）和（2）单独不充分，但条件（1）和（2）联合起来 充分（D ） 条件（1）充分，条件（2）也充分（E ） 条件（1）和（2）单独不充分，但条件（1）和（2）联合起来 也不充分518(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),16. abed e的最大值是133。

（1）a,b,c,d,e是大于1的自然数，且abcde 2700 ;（2）a,b,c,d,e是大于1的自然数，且abcde 2000。

［点拨］根据平均值定理，a,b,c,d,e越接近时，和越小；a,b,c,d,e差别越大时，和越大。

此题不易。

解：（1）abcde 2700 2 2 3 3 3 5 5，a b c d e的最大值为2 2 3 3 75 85，不充分；（2）abcde 2000 2 2 2 2 5 5 5，a b c d e的最大值为2 2 2 2 125 133，充分。

选（B）。

17.二次三项式x2x 6是多项式2x4x3ax2bx a b 1的一个因式。

（1）a 16 ；（2）b 2。

［点拨］x2 x 6 （x 2）（x 3） 0的根亦是f（x） 2x4 x3 ax2 bx a b 1 的根。

解：f（2） f（ 3） 0 a 16,b 3，联合都不充分。

选（E）。

18. 2x y2a b17（1）a,b, x, y 满足y vx 73 1 a2V3b ；（2）a, b, x, y 满足x 3 <3b y 1 b2。

［点拨］显然（1）（2）单独都不充分解: 联立求解。

由y\x J31a2V3b y 1b2x 3 ^/3b，导出Vx V3 2 a b2x 30x 3,a b 0, y1，所以2xy2a b242017。

选（C）。

19.111Ja Vb Jc.a b c（1） abc 1 ; （2） a,b,c 为不全相等的正数［点拨］观察，取a b c 1,贝卩（1）不成立；取a 9,b 4,c 1,贝卩（2） 不成立，所以单独都不充分。

解：联合。

1 11bcac ab ab bc ac aL 旦 3C 匣旦 abc abc 222■ abac ■ acbc , abbc a ... b .. c ，再结合（2）充分。