2009年10月在职攻读工商管理硕士学位全国联考综合能力数学试题一.问题求解（第15~1小题，每小题3分，共45分，下例每题给 出A 、B 、C 、D 、E 五个选项中，只有一项是符合试题要求的，请在答题卡上将所选项的字母涂黑）1. 已知某车间的男工人数比女工人数多80%,若在该车间的一次技术考核中全体工人的平均成绩为75分,而女工平均成绩比男工平均成绩高20%,则女工平均成绩为（）分。
（A ）88 （B ）86 （C ）84 （D ）82 （E ）80[点拨]未知量设少的一方容易计算。
解：设女工人数为x ，男工平均成绩为y ，则842.170758.18.12.1=⇒=⇒=+⨯+⨯y y xx x y x y ，选（C ）。
2.某人在市场上买猪肉，小贩称得肉重为4斤，但此人不放心，拿出一个自备的100克重的砝码，将肉与砝码一起让小贩用原秤复称，结果重量为25.4斤，由此可知顾客应要求小贩补猪肉（）两（A ）3 （B ）6 （C ）4 （D ）7 （E ）8[点拨]比例问题，但应先化为同一计量单位。
解：32405.22=⇒=x x ，应要求小贩补猪肉83240=-两。
选（E ）。
3. 甲、乙两商店某种商品的进价都是200元，甲店以高于进价20%的价格出售，乙店以高于进价15%的价格出售，结果乙店的售出件数是甲店的两倍，扣除营业税后乙店的利润比甲店多5400元。
若营业税率是营业额的5%，那么甲、乙两店售出该商品各为（）件（A ）450，900 （B ）500，1000 （C ）550，1100（D ）600，1200 （E ）650，1300[点拨]直接设甲店售出件数，在利用利润差。
解：设甲店售出x 件，则甲店的利润为 x x x 28%52.12002.0200=⨯⨯-⨯， 乙店的利润为 x x x 37%5215.1200215.0200=⨯⨯⨯-⨯⨯，60054002837=⇒=-x x x 。
选（D ）。
4. 甲、乙两人在环形跑道上跑步，他们同时从起点出发，当方向相反时每隔48秒相遇一次，当方向相同时每隔10分钟相遇一次。
若甲每分钟比乙快40米，则甲、乙两人的跑步速度分别是（）米/分。
（A ）470，430 （B ）380，340 （C ）370，330（D ）280，240 （E ）270，230[点拨] 相遇问题。
解：设乙的跑步速度为x 米/分，环形跑道长度为S ，则230.1040,546048402=⇒⎪⎩⎪⎨⎧===+x S x S 。
选（E ）。
5. 一艘小轮船上午8：00起航逆流而上（设船速和水流速度一定），中途船上一块木板落入水中，直到8：50船员才发现这块重要的木板丢失，立即调转船头去追，最终于9：20追上木板，由上面数据可以算出木板落水的时间是（）（A ）8：35 （B ）8：30 （C ）8：25 （D ）8：20 （E ）8：15[点拨]这里涉及顺流与逆流问题，船速和水速是必设的。
解：设船速和水速分别为1v 和2v ，起航t 分钟木板丢失，从木板丢失到船员发现，用了t -50分钟，此时木板行进了2)50(v t -的距离，而船则反方向行进了))(50(21v v t --的距离。
从8：50开始追，用了30分钟追上，得到关系式20305030)50())(50(30)(222121=-=⇒+-+--=⨯+t v v t v v t v v 。
选（D ）。
6. 若y x ,是有理数，且满足0352)31()321(=+--++y x ，则y x ,的值分别为（）（A ）1，3 （B ）-1，2 （C ）-1，3 （D ）1，2（E ）以上结论都不对[点拨]注意有理数与无理数性质，有理数乘无理数是无理数。
解：变形03)52()2(=+-+-+y x y x ，从而3,1.052,02=-=⇒⎩⎨⎧=+-=-+y x y x y x ，选（C ）。
7. 设a 与b 之和的倒数的2007次方等于1，a 的相反数与b 之和的倒数的2009次方也等于1。
则=+20092007b a （）（A ）-1 （B ）2 （C ）1 （D ）0 （E ）20072[点拨]实数范围内，任何数的奇数次方等于1，则必此数等于1。
解：由题设111112007=+⇒=+⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a b a b a ； 111112009=+-⇒=+-⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-b a ba b a ，联立解得1,0==b a 。
选（C ）。
8. 设2020--+-+-=a x x a x y ，其中200<<a ，则对于满足20≤≤x a 的x 值，y 的最小值是（）（A ）10 （B ）15 （C ）20 （D ）25 （E ）30[点拨]此题的关键是根据条件脱绝对值号。
解：x x a x a x a x x a x y -=-++-+-=--+-+-=4020202020， 要最小值，则20=x ，20=y 。
选（C ）。
（最大值是a -40）9.若关于x 的二次方程05)1(2=-+--m x m mx 有两个实根βα,，且满足10,01<<<<-βα，则m 的取值范围是（）（A ）43<<m （B ）54<<m （C ）65<<m（D ）5<m 或6>m （E ）4<m 或5>m[点拨]从二次函数的图像考虑，不论0>m 或0<m ，只要讨论 1,0,1==-=x x x 处函数值的情况。
解：根据抛物线图像 ⎩⎨⎧<--=<--=-.0)4)(5()1()0(,0)5)(63()0()1(m m f f m m f f ， 解得54<<m 。
选（B ）。
10. 一个球从100米高处自由落下，每次着地后由跳回前一高度的一半在落下，当它第10次着地时，共经过的路程是（）米。
（A ）300 （B ）250 （C ）200 （D ）150 （E ）100[点拨]注意跳回再落下是一个来回。
解：10021210021210021210092⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⨯+= S 300212111001002121110010098≈⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++++= 。
选（A ）。
11. 曲线0222=+-y x x 上的点到直线01243=--y x 的最短距离是（）。
（A ）53 （B ）54 （C ）1 （D ）34 （E ）2[点拨]一般的曲线与直线的最短距离问题十分复杂，但这里曲线是圆。
解：1)1(022222=+-⇔=+-y x y x x ，圆心是)0,1(。
圆心到直线01243=--y x 的距离是159)4(3120322>=-+--，即直线 01243=--y x 在圆外，则曲线0222=+-y x x 上的点到直线01243=--y x 的最短距离是 54159=-。
选（B ）。
12. 曲线y x xy +=+1所围图形的面积为（）。
（A ）41 （B ）21 （C ）1 （D ）2 （E ）4[点拨] 平方是去绝对值符号的一个常用方法。
解：两边平方得 0)1)(1(1222222=--⇒+=+y x y x y x ，解得1±=x ，1±=y ， 或曲线y x xy +=+1所围图形为由直线1=x ，1-=x ，1=y ，1-=y 围成的区域，其面积是4。
选（E ）。
13. 如图所示，向放在水槽底部的口杯注水（流量一定），注满口杯后继续注水，直到注满水槽，水槽中水平面上升高度h 与注水时间t 之间的函数关系大致是（）（A ）（B ）（C ）（D ）（E ）以上图形均不正确[点拨] 考察函数的图像，结合具体问题仔细分析。
解：0=t 时，开始注水，先注入口杯中，水槽内没有水（0=h ），只有图（A ）、（C ）符合；注入一段时间后，口杯满溢，水槽中开始进水，但当水槽内水平面高于口杯后，截面积增加，水面上升速度减少，所以（C ）是正确的。
14. 若将10只相同的球随机放入编号为1、2、3、4的四只盒子中，则每个盒子不空的投放方法有（）种（A ）72 （B ）84 （C ）96 （D ）108 （E ）120[点拨]用挡板法（插板法）简明。
解：将10只相同的球一字排开，形成9个空档，要分成4段（四只盒子），则将9个空档插入3个板即可。
8439=C 。
选（B ）。
15. 若以连续两次掷色子得到的点数a 和b 作为点P 的坐标，则点 ),(b a P 落在直线6=+y x 和两坐标轴围成的三角形内的概率为（）（A ）61（B ）367 （C ）92 （D ）41 （E ）185 [点拨] 掷色子得到的点数是等可能事件。
解：全部得到的点数的数目为6×6=36，而落在6=+y x 和两坐标轴围成的三角形内的点数只能是)1,4(),2,3(),1,3(),3,2(),2,2(),1,2(),4,1(),3,1(),2,1(),1,1(共10种，所以1853610=。
选（E ）。
二.条件充分性判断（第25~16小题，每小题3分，共30分，要求 判断每题给出的条件（1）和（2）能否充分支持题目所陈述的结论，A 、B 、C 、D 、E 五个选项中，只有一项是符合试题要求的，请在答题卡上将所选项的字母涂黑）（A ）条件（1）充分，但条件（2）不充分（B ）条件（2）充分，但条件（1）不充分（C ）条件（1）和（2）单独不充分，但条件（1）和（2）联合起来充分（D ）条件（1）充分，条件（2）也充分（E ）条件（1）和（2）单独不充分，但条件（1）和（2）联合起来也不充分16. e d c b a ++++的最大值是133。
（1）e d c b a ,,,,是大于1的自然数，且2700=abcde ；（2）e d c b a ,,,,是大于1的自然数，且2000=abcde 。
[点拨]根据平均值定理，e d c b a ,,,,越接近时，和越小；e d c b a ,,,,差别越大时，和越大。
此题不易。
解：（1）55333222700⨯⨯⨯⨯⨯⨯==abcde ，e d c b a ++++的最大值为85753322=++++，不充分；（2）55522222000⨯⨯⨯⨯⨯⨯==abcde ，e d c b a ++++的最大值为1331252222=++++，充分。
选（B ）。
17. 二次三项式62-+x x 是多项式12234++++-+b a bx ax x x 的一个因式。
（1）16=a ； （2）2=b 。
[点拨] 0)3)(2(62=+-=-+x x x x 的根亦是12)(234++++-+=b a bx ax x x x f 的根。