统计数学是将数学的应用范围从确定性的领域扩大到了不确 定性的领域，即从必然现象到偶然现象， 定性的领域，即从必然现象到偶然现象，而模糊数学则是把数学 的应用范围从确定领域扩大到了模糊领域，即从精确现象到模糊 的应用范围从确定领域扩大到了模糊领域， 现象。 现象。
模糊是指客观事物差异的中间过渡中的“不分明性” 模糊是指客观事物差异的中间过渡中的“不分明性” 是指客观事物差异的中间过渡中的 亦此亦彼性” 或“亦此亦彼性”。 如高个子与矮个子、年轻人与老年人、热水与凉水、 如高个子与矮个子、年轻人与老年人、热水与凉水、环境 污染严重与不严重等。在决策中，也有这种模糊的现象， 污染严重与不严重等。在决策中，也有这种模糊的现象， 如选举一个好干部，但怎样才算一个好干部？ 如选举一个好干部，但怎样才算一个好干部？好干部与不 好干部之间没有绝对分明和固定不变的界限。 好干部之间没有绝对分明和固定不变的界限。这些现象很 难用经典的数学来描述。 难用经典的数学来描述。
第一章 模糊数学基本概念
一、经典集合与特征函数 集合：具有某种特定属性的对象集体。 集合：具有某种特定属性的对象集体。 通常用大写字母A 等表示。 通常用大写字母 、B、C等表示。 等表示 论域：对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。 论域：对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。 通常用大写字母U 等表示。 通常用大写字母 、V、X、Y等表示。 等表示 论域U中的每个对象 称为 论域 中的每个对象u称为 的元素。 中的每个对象 称为U的元素。
称为集合A的特征函数 的特征函数。 函数 χ A 称为集合 的特征函数。
二、模糊集合及其运算 1、模糊子集 、 定义： 是论域， 定义：设U是论域，称映射 是论域
µA : U →[0,1],
~
x a µA( x) ∈[0,1]
确定了一个U上的模糊子集 ~ 确定了一个 上的模糊子集 A 。映射 µ A 称为 A 隶属函 上的 ~ ~
~
µ 的隶属程度，简称隶属度 隶属度。 数， A ( x ) 称为 x 对 A 的隶属程度，简称隶属度。 ~
~
唯一确定， 模糊子集 A 由隶属函数 µ A 唯一确定，故认为二者 是等同的。为简单见，通常用A来表示 A 和µ A 。 是等同的。为简单见，通常用 来表示 ~
~
~
~
设论域U 例 设论域 = {x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)}(单位：cm)表示人的身高，那么 上的一 单位： 表示人的身高， 单位 表示人的身高 那么U上的一 个模糊集“高个子” 的隶属函数 的隶属函数A(x)可定义为 个模糊集“高个子”(A)的隶属函数 可定义为
A = (0.15,0.2,0.42,0.6,0.8,0.9)(向量表示)
模糊集的运算
相等： 相等：A = B ⇔ A(x) = B(x)； ； 包含： ⊆ 包含：A⊆B ⇔ A(x)≤B(x)； ； 并：A∪B的隶属函数为 ∪ 的隶属函数为 (A∪B)(x)=A(x)∨B(x)；取大运算 ∪ ∨ ； 交：A∩B的隶属函数为 的隶属函数为 (A∩B)(x)=A(x)∧B(x)；取小运算 ∧ ； 余：Ac的隶属函数为 Ac (x) = 1- A(x). -
2. 指派方法
一种主观方法根据实践经验来确定， 一种主观方法根据实践经验来确定，一般给出隶属函 数的解析表达式。 数的解析表达式。
3. 借用已有的“客观”尺度 借用已有的“客观” 根据问题的实际意义来确定，在经济管理， 根据问题的实际意义来确定，在经济管理，社会管理 中常用。 表示产品， 模糊集“ 中常用。如U表示产品，定义 模糊集“质量稳定”， 表示产品 定义A模糊集 质量稳定” 可用产品的“正品率”作为A的隶属度 的隶属度。 可用产品的“正品率”作为 的隶属度。 • 常用的隶属函数有 函数（偏小型）、 函数（中 常用的隶属函数有Z函数（偏小型）、∏函数 函数 ）、 函数（ 间型）、 函数（偏大型） ）、S函数 间型）、 函数（偏大型）. • 偏小型一般适合于描述像“小，少，浅，淡，青 偏小型一般适合于描述像“ 等偏小程度的模糊现象。 年”等偏小程度的模糊现象。 • 偏大型一般适合于描述像“大，多，深，浓，老 偏大型一般适合于描述像“ 等偏大程度的模糊现象。 年”等偏大程度的模糊现象。 • 中间型一般适合于描述像“中，适中，不太多， 中间型一般适合于描述像“ 适中，不太多， 不太浓，暖和，中年” 不太浓，暖和，中年”等处于中间状态的模糊现 象。
我们把12个气象观测站的观测值看成12个向量组， 12个气象观测站的观测值看成12个向量组 解法一 我们把12个气象观测站的观测值看成12个向量组，由于 本题只给出了10年的观测数据，根据线性代数的理论可知， 10年的观测数据 本题只给出了10年的观测数据，根据线性代数的理论可知，若 向量组所含向量的个数大于向量的维数， 向量组所含向量的个数大于向量的维数，则该向量组必然线性 相关。 相关。于是只要求出该向量组的秩就可确定该向量组的最大无 关组所含向量的个数，也就是需保留的气象观测站的个数。 关组所含向量的个数，也就是需保留的气象观测站的个数。由 于向量组中的其余向量都可由极大线性无关组线性表示，因此， 于向量组中的其余向量都可由极大线性无关组线性表示，因此， 可以使所得到的降水信息量足够大。 可以使所得到的降水信息量足够大。 用i=1,2,L,10分别表示1981年，1982年，…，1990年。aij i=1,2,L,10分别表示1981年 1982年 分别表示1981 ，1990年 i=1,2,L,10，j=1,2,L,12）表示第j个观测站第i年的观测值， （i=1,2,L,10，j=1,2,L,12）表示第j个观测站第i年的观测值， )10×12。 记A=(aij)10×12。 利用MATLAB可计算出矩阵A的秩r(A)=10，且任意10个列向 利用MATLAB可计算出矩阵A的秩r(A)=10，且任意10个列向 MATLAB可计算出矩阵 r(A)=10 10 量组成的向量组都是极大线性无关组， 量组成的向量组都是极大线性无关组，
在论域U中任意给定一个元素 及任意给定一个 在论域 中任意给定一个元素u及任意给定一个 中任意给定一个元素 经典集合A， 用函数表示为： 经典集合 ，则必有 u ∈ A 或者u ∉ A ，用函数表示为：
χA : U →{0,1} u a χA(u),
其中
1, u∈ A χA(u) = 0, u∉ A
实际中，我们处理现实的数学模型可以分成三大类： 实际中，我们处理现实的数学模型可以分成三大类： 第一类是确定性数学模型，即模型的背景具有确定性，对象之间 第一类是确定性数学模型，即模型的背景具有确定性， 具有必然的关系。 具有必然的关系。 第二类是随机性的数学模型，即模型的背景具有随机性和偶然性。 第二类是随机性的数学模型，即模型的背景具有随机性和偶然性。 第三类是模糊性模型，即模型的背景及关系具有模糊性。 第三类是模糊性模型，即模型的背景及关系具有模糊性。
x −140 A(x) = 190 −140
也可用Zadeh表示法： 表示法： 也可用 表示法
x −100 A(x) = 200 −100
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 A= + + + + + x1 x2 x3 x4 x5 x6 0.15 0.2 0.42 0.6 0.8 0.9 A= + + + + + x1 6 0.9 1 1 1 A = + + + + + + + 1 2 3 4 5 6 7 8
c
三、 隶属函数的确定
模糊数学的基本思想是隶属度思想， 模糊数学的基本思想是隶属度思想，应用模糊数学 建立数学模型的关键是建立符合实际的隶属函数。 建立数学模型的关键是建立符合实际的隶属函数。如何 确定一个模糊集的隶属函数至今还是尚未解决的问题这 里仅介绍几种常用的确定隶属函数的方法 1. 模糊统计方法 与概率统计类似，但有区别：概率统计随机事件 是 与概率统计类似，但有区别：概率统计随机事件A是 固定不变的，样本空间中样本点数是变动的， 固定不变的，样本空间中样本点数是变动的，而模糊统 计试验中， 是固定不变的 而模糊集A*是可变的 是固定不变的， 是可变的。 计试验中，x是固定不变的，而模糊集 是可变的。
例如，我们选取前10个气象观测站的观测值作为极大线性无关组， 例如，我们选取前10个气象观测站的观测值作为极大线性无关组， 10个气象观测站的观测值作为极大线性无关组 则第11 12这两个气象观测站的降水量数据完全可以由前10个气 11， 这两个气象观测站的降水量数据完全可以由前10 则第11，12这两个气象观测站的降水量数据完全可以由前10个气 象观测站的数据表示。 xi（i=1,2,L,12）表示第i 象观测站的数据表示。设xi（i=1,2,L,12）表示第i个气象观测 站或第i个观测站的观测值。 站或第i个观测站的观测值。则有 x11=0.0124x1−0.756x2+0.1639x3+0.3191x4− x11=0.0124x1−0.756x2+0.1639x3+0.3191x4−1.3075x5 −1.0442x6−0.1649x7−0.8396x8+1.679x9+2.9379x10 1.0442x6−0.1649x7− x12=1.4549x1+10.6301x2+9.8035x3+6.3458x4+18.9423x5 +19.8061x6−27.0196x7+5.868x8−15.5581x9− +19.8061x6−27.0196x7+5.868x8−15.5581x9−26.9397x10 到目前为止，问题似乎已经完全解决了，可其实不然， 到目前为止，问题似乎已经完全解决了，可其实不然，因为如 果上述观测站的数据不是10 10年 而是超过12 12年 果上述观测站的数据不是10年，而是超过12年，则此时向量的 维数大于向量组所含的向量个数，这样的向量组未必线性相关。 维数大于向量组所含的向量个数，这样的向量组未必线性相关。 故上述的解法不具有一般性，下面我们考虑一般的解法，首先， 故上述的解法不具有一般性，下面我们考虑一般的解法，首先， 我们利用已有的12个气象观测站的数据进行模糊聚类分析 12个气象观测站的数据进行模糊聚类分析， 我们利用已有的12个气象观测站的数据进行模糊聚类分析，最 后确定从哪几类中去掉几个观测站。 后确定从哪几类中去掉几个观测站。