p
a j wi xi i 1
得到权重集：
( j 1, 2, , n)
A (a1, a2, , an )
§7.2 层次分析法 (The Analytic Hierarchy process,简称AHP)
层次分析是一种决策分析的方法。它结合了 定性分析和定量分析，并把定性分析的结果量化。
一致性指标均小于0.1， 一致性满意。
最大特征值和对应正特征向量分别为： λ=3.002，X=(5.903867500, 0.8066923031, 3.086293726)T λ=3.080，X=(0.0846216595,0.4466019878,0.6734288503)T λ=3.094，X=(0.09138978270, 0.3366828382, 0.4961400716)T λ=3.065，X=(3.658853431, 8.514030366, 0.943422178)T λ=4.0155, X=(9.15749285,3.529892637,3.90998156,1.8409641)T
为了把这种定性分析的结果量化，20世纪70年代，美 国数学家 Saaty等人首先在层次分析中引入了九级比例标 度和两两比较矩阵A=(aij)。
两个元素相互比较时，以其中一个元素作为比较元1， 如相对上一层,ui与uj（ uj为1）比较,若好坏相同，则aij记
为1；若ui比uj较好, 记为3; 若ui比uj好, 记为5； 若ui比uj明
wi
=
1n n j1
aij
n
alj
l 1
(i 1, 2, , n)
2. 最小夹角法
(1)
将矩阵A的列向量单位化，得到的矩阵设为B
=
(bij
)n?
；
n（2）计算n Nhomakorabea bij
wi =
j 1 nn
bij
i1 j1
(i 1, 2, , n)
即B的行元素和与B的总元素和之比。
A1

uuu123
1

1 1
/ /
7 2
7 1 4
2
1
/4 1

旅游
景色
住宿
费用
交通
u1
u2
u3
如果我们通过判断矩阵A1, 可以准确的确定 u1 ,u2 ,u3 相对“景点”的重要程度, 就可以通过对 “景色”“住宿”“费用”“交通”等所有考虑 到的因素的重要程度, 再通过这些因素的重要程度, 最后确定出各方案对目标的重要程度。
W（2）

12



n2

第三层n3个元素对第二层n2个元素的权重（排序）向量为
W1 ,W2 , ,Wn2
将它们构成分块矩阵：
W = (W1 ,W2 , ,Wn2 ) 则第三层元素对第一层目标的权重（排序）向量为
W（3） WW（2） (W1 ,W2 ,
,Wn2
)
0.5589
0.5368
0.07169
第二层4个元素对目标的权重（排序）向量为
0.4966
W
(2)


0.1914

0.2120

0.0998

于是第三层3个元素对元素对目标的权重（排序）向量为
0.4966
W
(3)
WW
(2)
第七章 权重的确定方法
§7.1 专家评估统计法
1. 算术平均法
设因素集U {u1,u2, ,un}
k个专家，每个专家独立给出的因素u
的权重
j
a1 j

a2
j


akj
k个专家给出所有因素的权重排成矩阵
a11 a12

a21
a22

ak1 ak1
12



n2

1W1 2W2 n2Wn2
1 7 2
如例1
：A1

1/

1
/
7 2
1 4
1/ 4
1

1 1/ 5 1/ 4
A3


5 4
1 2
1/ 2
1

1 1/ 7 1/ 6
A2

7

6
1 2
1/ 2
1

aik akj aij 则称A为一致性矩阵。
但在实际问题中很难使A满足一致性。虽然AHP并不 要求判断矩阵具有完全的一致性，但是偏离一致性要 求过大的判断矩阵所作出的最终决策也会于实际情况 偏差太大，因此有必要对判断矩阵进行一致性检验。
一致性检验的步骤：
（1）计算判断矩阵的一致性指标CI :
在模糊综合评判中，对所选择的多个因素赋 予权重时，哪一个的权重应大一些？这也是在 对因素赋予权重之前应该解决的问题。
不管是方案的优先还是权重的重要程度的比较， 我们都可以采用对方案或权重排序的方法来确 定它们的优先或重要程度。 层次分析法就是对方案或因素的排序权重的方法。 以下举例说明层次分析法对方案或因素的排序 或权重的确定方法。
特征向量归一化得第三层3个元素对第二层4个元素的权 重（排序）向量为：
0.6028 0.07023 0.09888 0.2791
W1


0.08236

,W2


0.3706

,W3


0.3643

,
W4


0.6494

0.3151

(W1
,W2
,W3
,W4
)

0.1914 0.2120


0.0998

0.4966W1 0.1914W2 0.2120W3 0.0998W4
0.6028
0.07023
0.09888
0.2791

0.4966

0.08236

例1 某家庭预备 “五·一”出游，手上有三个旅游点u1， u3的资料。u1景色优美，但u1是一个旅游热点，住宿条件 不十分好, 费用也较高；u2交通方便, 住宿条件很好，价钱 也不贵，只是旅游景点很一般；u3点旅游景点不错, 住宿、 花费都挺好，就是交通不方便。究竟选择哪一个更好呢？
在这个问题中，首先有一个目标——旅游选择；其次 是选择方案的标准——景点好坏、交通是否方便、费用 高低、住宿条件等；第三个是可供选择的方案。

0.1914

0.3706


0.2120

0.3643


0.0998

0.6494

0.3151
0.5589
0.5368
0.07169
0.3617


0.2538

0.3845
由计算结果和最大隶属原则，u1，u2，u3三个 旅游点相对旅游目标来说，综合排序结果是： u3点为首选，u1次之，u2点最后。即排序为：
人们在日常生活和工作中，常常会遇到在多种方案 中进行选择问题。例如假日旅游可以有多个旅游点供选 择；毕业生要选择工作单位；工作单位选拔人才；政府 机构要作出未来发展规划；厂长要选择未来产品发展方 向；科研人员要选择科研课题……
人们在选择时，最困难的就是在众多方案中 都不是十全十美的,往往这方面很好，其它方面 就不十分满意，这时，比较各方案哪一个更好 些，就成为首要问题了。
CI max n
n1 （2） 根据矩阵的阶数由下表查找平均随机一致性指标RI;
n
3456789
RI 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45
（3）计算一致性比例CR : CR CI RI
若CR 0.1,认为A具有满意的一致性，接受A; 否则，放弃A或对A的数据做适当的调整。
一、建立递阶层次结构
层次分析一般把问题分为三层，各层间关系用线 连接。第一层称为目标层，第二层为准则层，第三层 叫做方案层。如果有次级标准还可以增加次准则层等。
例如，上面例子的递阶层次结构为：
旅游
———— 目标层
景色
住宿
费用
交通 ———— 准则层
u1
u2
u3 ———— 方案层
二、构造两两比较判断矩阵
作单因素u
的权重统计:
j
(1)
在每个专家所给出的u
的权重
j
a1 j

a2
j


akj
中找出最大值M j和最小值m（j j 1, 2,
n)；
（2）适当选择正整数p( p为组数），由公式 M j mj p
计算出组距，将权重由小到大分为p组；
（3）计算落在每组内的权重的频数和频率； （4）取最大频率所在的组的组中值作为因素
显好,记为7;若 ui比uj好的多，则记为9; 2, 4, 6, 8则是介于 1,3,5,7,9之间的情况。
把与上层某元素有关系的所有下层元素逐一 比较，且每一个元素与各元素比较的结果排成一 行则可得到一个方阵A=(aij)n×n，称为两两比较矩
阵。设ui与uj比为aij，则uj与ui比应为aji=1/aij ,
u j的权重a（j j=1,2, ,n),得到权重集： A (a1, a2 , , an )
3. 加权统计法
加权统计法的前两步（1），（2）同频数统计法。
（3）设第i组的组中值为xi，频数为Ni ,频率为