复变函数复习题（2012-4-10） 第一章自测题(一)填空题（每题3分，共15分）1．复数103(cos5sin 5)(cos3sin 3)i z i θθθθ+=-的复指数表示式为__________________;2．设11iz i+=-，则1005025____________________;z z z ++= 3．设35,arg(),4z z i π=-=则______________;z = 4．不等式225z z -++<所表示的区域是_____________________; 5．方程232z i +-=所代表的曲线是__________________________.（二）选择题（每题3分，共15分）1．设34,z i =-+则幅角的主值arg ()z44.arctan .arctan 3344.arctan .arctan33A B C D πππ+-+-2．41()-=22222222.cos sin .cossin44443322222222.cos sin .cossin4444k k k k A i B i k k k k C i D i ππππππππππππππππ++-+-+++++-+-++-(0,1,2,3)k =3．设(i z t t t=+为参数)，则其表示()图形。
.A 直线； .B 双曲线； .C 圆； .D 抛物线。
4．一个向量顺时针旋转,3π向右平移3个单位，再向下平移1个单位后对应的复数为13i -，则原向量对应的复数是();.2;.13.3.3A B i C i D i +-+5．设z 为复数，则方程2z z i +=+的解是（ ）3333.;.;.;.4444A iB iC iD i -++---。
（三）计算题（每题5分，共50分）1．设11i i z i i-=+-，求出它的实部、虚部、共轭复数、模及幅角（包括主幅角）； 2．将()722z i =--表示成x iy +的形式，并写出其三角和复指数表示式； 3．试求使等式成立的实数x 与y ：26()5()1x y i x y x y i i+--=-++- 4．求解方程2(23)130z i z i -+++=； 5．求值：45(1)i -；6．利用棣莫弗公式，试把cos3θ与sin 3θ分别表示为cos θ与sin θ的幂；7．化简(13)(cos sin )(1)(cos sin )i i i i θθθθ-+--8．求z 平面上的直线2x =经(1)2w i z i =++-映射到w 平面上的图形； 9．函数2w z =把z 平面上实轴及平行于实轴的直线映射成什么样的曲线？ 10．设复数,z i ≠±试求使21zz+为实数的条件。
（四）证明题（每题10分，共20分）1．设n 为正整数，试证：31311313()()122n n i i ++-+--+=- 2．证明函数(1)1i z w z-=+把单位圆内部映射成上半平面()Im 0.z >第二章自测题（一）填空题：（每题3分，共15分） 1． 设()()01,01,f f i '==+则()01lim_________________z f z z→-=； 2． 设()51(1)5f z z i z =-+，则方程()0f z '=的所有根为___________； 3． 函数()()()Im Re f z z z z =-仅在点__________________z =可导； 4． 设()f z u iv =+在区域D 内解析，如果u v +是实常数，那么()f z 在D 内是______________5． 函数()()(),,f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件是_______________________________。
（二）选择题：（每题3分，共15分）1．如果0z 是()f z 的奇点，那么()f z 在0z 处一定（ ）.A 不解析； .B 不可导； .C 可导； .D 解析。
2．函数()211f z z =+在圆域1z <内（ ） .A 可导； .B 不连续； .C 不可导； D 连续不可导。
3．下列函数中为解析函数的是（ ）()()233..23A f z x iy B f z x i y =-=+ ()()22..sin cos C f z xy ix yD f z x chy i x shy =+=⋅+⋅4．下列命题中，正确的是（ ）.A 设,x y 为实数，则cos()1x iy +≤；.B 若0z 是函数()f z 的奇点，则()f z 在0z 一定不可导；.C 若,u v 在区域D 内满足柯西—黎曼方程，则()f z u iv =+在区域D 内解析；.D 若()f z 在区域D 内解析，则()i f z 在区域D 内也解析。
5．设()sin ,f z z =则下列命题中，不正确的是（ ）().A f z 在复平面上处处解析； ().B f z 以2π为周期；().2iz ize e Cf z --=().D f z 是无界的。
（三）计算题（每题5分，共50分） 1． 求函数()2221(1)z z z ++-的奇点；2． 设()()22231(1)f z z z =-+，求其解析性区域，并求出其导数；3． 问函数()()Re f z z z =+在何处可导，何处解析；在可导处求出其导数； 4． 求实常数k ，使得函数()(cos sin )xf z e ky i ky =+在z 平面上处处解析；5． 已知22,u v x y -=-试确定()f z u iv =+；6． 求值：（1）23ieπ-；（3）()cos 5i π+；7． 求值：（1）(1)ii +；（2）()Ln i - 8． 求解方程：13ze i =+； 9． 求解方程:sin cos 4z i z i +=； 10. 设,z x iy =+求2i z e -. (四)证明题 (每题10分,共20分) 1.1tan 21i iz Arc z Ln iz+=--; 2.若函数()f z 在上半平面内解析,则()f z 在下半平面内也解析.第三章 自测题(一) 填空题 (每题3分，共15分) 1.设c 为正向圆周2z =,则积分_____________________c z z dz z +=⎰ ；2.设()220z z f z dz z z ==-⎰ ,其中0z 不在2z =上,则()________f i '-=;3.010________,01________,()n z z r n dz n z z +-=≠⎧=⎨=-⎩⎰ 4. 设()2sin()2f z d zξπξξξ==-⎰ ,其中2z ≠,则()3_____________f '=; 5. 若函数()32,u x y x axy =+为某一解析函数的虚部,则常数_____________a =;(二)选择题(每题3分，共15分) 1.设c 为从原点沿2y x =至1i +的弧段,则2()cx iy dz +=⎰( )15151515 (66666666)A iB iC iD i --+--+2.设c 为不经过点1与-1的正向简单闭曲线,则2(1)(1)c zdz z z -+⎰ 为( )...0 (2)2iiA B C D A B C ππ-都对3.设1:1c z =为负向,2:3c z =为正向,则122sin c c zdz z +=⎰( ) .2.0.2.4A i B C iD i πππ-4.设c 为正向圆周1,2z =则321cos2(1)cz z dz z --⎰ =( ) .2(3cos1sin1).0.6cos1.2sin1A i B C i D i πππ--５. 设c 为正向圆周2220x y x +-=，则2sin()41cz dz z π=-⎰ （ ）22..2.0.22A iB iCD i πππ-(三)计算题.(每题5分，共30分) 1.cz zdz ⎰ ,其中c 是一条闭曲线,由直线段:11,0x y -≤≤=与上半单位圆周组成.2. ()2Re zcez dz ⎰,其中c 为从10z =到21z i =+的直线段组成.3.2sin iizdz ππ-⎰,其中积分路径为从i i ππ-→的任意简单闭曲线.4.22132z zdz i z -=-+⎰ 5.26(1)(2)z rzdz z z =-+⎰ ,其中0,1,2r r >≠ 6.3(1)cdzz z -⎰ ,其中c 为z 平面上一简单闭曲线(1)0在c 内,1在c 外;(2)1在c 内, 0 在c 外;(3) 0和1都在c 内.7. 设()21(2)e f z d πξξξξ==-⎰ ,求: (1)()()0,2;f f (2)()()0,2f f '' 8. 设()22371f z d z ξξξξξ=+-=-⎰ ,求: ()()1,1f i f i '''++ 9. 问函数(),arctan(0)y v x y y x x=+>能否成为某一解析函数的虚部,若能,试求出满足条件()11f =的解析函数()f z u iv =+.10. 若调和函数,u v 满足22()(4)u v x y x xy y +=-++2()x y -+,试确定解析函数()f z u iv=+. (四) 证明题 (每题10分，共20分)1.求积分1zz e dz z =⎰ 值,并证明cos 0cos(sin )e d θπθθπ=⎰. 2.设()f z 在(1)z rr <>内解析,且()()01,02,f f '==试计算积分()221(1)z f z z dz z =+⎰ ;并由此证明 220cos ()22i f e d πθθθπ=⎰.第四章 自测题（一）填空题 （每小题3分，共15分）1．若幂级数()nn n c z i ∞=+∑在z i =处发散，那么该级数在2z =处的敛散性为_______；2．级数312nn n z n∞=∑的收敛半径为_______；收敛圆为_______；3．若级数1nn z∞=∑收敛，则1nn z∞=∑_______收敛；若1nn z∞=∑发散，则1nn z∞=∑_______收敛；4．洛朗级数1(1)nn z ∞=--∑的收敛域为_______；5．设()1(1)f z z z =-，则()f z 在01z <<内的洛朗展开式_______；（二）选择题 （每小题3分，共15分） 1．幂级数在收敛圆周上（ ）.A 一定收敛； .B 一定发散； .C 可能收敛可能发散；.D ,,A B C 均不对。