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《复变函数》-期末试卷及答案(A卷)

《复变函数》试卷 第1页(共4页) 《复变函数》试卷 第2页(共4页)
XXXX 学院2016—2017学年度第一学期期末考试
复变函数 试卷
一、单项选择题(本大题共10小题,每题3分,共30分,请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项,并将其前面的字母填在题中括号内。


1. =)i Re(z ( ) A.)i Re(z - B.)i Im(z C.z Im - D.z Im
2.
函数2
)
(z z f =在复平面上
( ) A.处处不连续 B.
处处连续,处处不可导 C.处处连续,仅在点0=
z 处可导 D.处处连续,仅在点0=z 处解析
3.设复数a 与b 有且仅有一个模为1,则b
a b
a --1的值 ( )
A.大于1
B.等于1
C.小于1
D.无穷大 4. 设x y z f y x z i )(i +-=+=,,则=')(z f ( ) A.i 1+ B.i C.1- D.0
5.设C 是正向圆周 1=z ,i 2sin
π=⎰dz z z
C n
,则整数n 等于 ( ) A.1- B.0 C.1 D.2
6.0=z 是2
1
)(
z e z f z -=的 ( )
A.1阶极点
B.2阶极点
C.
可去奇点 D.本性奇点
7.幂级数!2)1(0
n z n n
n n
∑∞
=-的和函数是 ( )
A.z
e - B.2
z
e C.2
z e
-
D.z sin
8.设C 是正向圆周 2=z ,则
=⎰C z dz
2 ( )
A.0
B.i 2π-
C.i π
D.i 2π
9.设函数)(z f 在)0( 00+∞≤<<-<R R z z 内解析,那么0z 是)(z f 的极点
的充要条件是 ( ) A.a z f z z =→)(lim 0
(a 为复常数) B.∞=→)(lim 0
z f z z
C.)(lim 0
z f z z →不存在 D.以上都对
10. z ln 在1=z 处的泰勒级数展开式为 ( )
A.11 ,1)1()
1(11<-+--+∞
=∑z n z n n n
B.11 ,)1()1(1
<---∑∞
=z n z n n n C.11 ,1)1()
1(10<-+--+∞
=∑z n z n n n
D.11 ,)1()1(0
<---∑∞=z n z n n n
二、填空题(本大题共5小题,每题3分,共15分)
11.i 21+=z 的共轭复数=z ________ . 12.设)i 2)(i 32(+--=z ,则=z arg ________ .
13.在复平面上,函数)2(i )(2
2
2
y xy x y x z f -+--=在直线 ________ 上可导. 14.设C 是正向圆周1=z ,则
=⎰dz z z
C 5cos ________ .
15.若级数∑∞
=1
n n
z
收敛,而级数
∑∞
=1
n n
z
发散,则称复级数
∑∞
=1
n n
z
为 ________ .
学号和姓名务必正确清楚填写。

因填写错误或不清楚造成不良后果的,均由本人负责;如故意涂改、乱写的,考试成绩视为无效。




勿 超
过 此


线
, 否 则
视 为
无 效。

《复变函数》试卷 第3页(共4页) 《复变函数》试卷 第4页(共4页)
三、计算题(本大题共5小题,每小题8分,共40分)
16.利用柯西-黎曼条件讨论函数z z f =)(的解析性.
17.判断数列1
i
2017++=n n z n 的收敛性. 若收敛,求出其极限.
18.求在映射2
z w =下,z 平面上的直线t z )i 2(+=被映射成w 平面上的曲线的方程.
19.求z
e 在0=z 处的泰勒展开式.
20.计算积分dz z ⎰
+i
10
2.
三、证明题(本大题共1小题,每小题15分,共15分)
21.试证明柯西不等式定理:设函数)(z f 在圆R z z C =-0:所围的区域内解析,且在C 上连续,则
,...)2,1( !
)(0)(=≤
n R Mn z f n
n 其中M 是)(z f 在C 上的最大值.
《复变函数》试卷 第5页(共4页) 《复变函数》试卷 第6页(共4页)
XXXX 学院2016-2017学年度第一学期期末考试
复变函数答案(A 卷)
一、单项选择题(本大题共10小题,每题3分,共30分) 1-5 C C B B D 6-10 A C A B C
二、单项选择题(本大题共5小题,每题3分,共15分)
11. i 21- 12. 8arctan -π 13. 2
1
=y 14.i 2π 15.条件收敛
三、计算题(本大题共5小题,每小题8分,共40分) 16. 解:因y x z z f i )(-==,故 y y x v x y x u -==),( ,),(,从而
,1 ,0 ,0 ,1-=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂y
u
x u y u x u 因此在任何点),(y x 处,y
v
x u ∂∂≠∂∂,所以)(z f 在复平面内处处不解析。

17. 解: i 1
120161i 1602+++=++=n n
n n n z n 而
)( 11
012016∞→→+→+n n n n , 所以 i lim =∞→n n z 18. 解:直线t z )i 2(+=的参数方程为
)( ,
2∞<<-∞⎩⎨
⎧==t t
y t x 在2z w =映射下,该直线被映射成w 平面上的曲线
2222)i 43()i 2(t t z w +=+==
于是 ,4 ,32
2t v t u ==
消去t ,得 )0( 3
4
≥=u u v
这是w 平面上第一象限内的一条半直线。

19. 解:因为,...)2,1,0()()(==n e e z n z ,其展开式中泰勒系数为
!
1!)0()(n n f c n n ==
于是 z
e 在0=z 处的泰勒展开式为
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++==∑∞
=!!21!
0n z z z n z e n
n n n z
20. 解:)()(i 13
2i 131|313
i 103i
102+-=+==++⎰z dz z
五、证明题(本大题15分)
21. 证:由假设条件及高阶导数公式,有
,...)2,1( )
()
(i 2!)(100)(=-=
⎰+n dz z z z f n z f C n n π 于是
,...)2,1( !
22!,...)2,1( )(2!
)(1110
0)
(==⋅⋅≤=-≤+++⎰n R
Mn R R
M n n dz z z z f n z f
n n C n n πππ 证毕。

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