九年级上册期末试卷测试卷(解析版)一、选择题1.如图,四边形ABCD 内接于O ,若40A ∠=︒,则C ∠=( )A .110︒B .120︒C .135︒D .140︒ 2.有一组数据5,3,5,6,7,这组数据的众数为( )A .3B .6C .5D .73.如图,在Rt ABC ∆中,AC BC =,52AB =,以AB 为斜边向上作Rt ABD ∆,90ADB ∠=︒.连接CD ,若7CD =,则AD 的长度为( )A .32或42B .3或4C .22或42D .2或44.如图,点A ,B ,C 在⊙O 上,∠A=36°,∠C=28°,则∠B=( )A .100°B .72°C .64°D .36° 5.下列方程有两个相等的实数根是( ) A .x 2﹣x +3=0 B .x 2﹣3x +2=0C .x 2﹣2x +1=0D .x 2﹣4=06.方程x 2﹣3x =0的根是( )A .x =0B .x =3C .10x =,23x =-D .10x =,23x =7.如图,△ABC 内接于⊙O ,若∠A=α,则∠OBC 等于( )A .180°﹣2αB .2αC .90°+αD .90°﹣α 8.已知α、β是一元二次方程22210x x --=的两个实数根,则αβ+的值为( ) A .-1B .0C .1D .29.一个不透明的袋子中装有20个红球,2个黑球,1个白球,它们除颜色外都相同,若从中任意摸出1个球,则( ) A .摸出黑球的可能性最小 B .不可能摸出白球 C .一定能摸出红球D .摸出红球的可能性最大10.如图,A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四点,BD 为⊙O 的直径,若四边形ABCO 是平行四边形,则∠ADB 的大小为( )A .30°B .45°C .60°D .75°11.在△ABC 中,∠C =90°,tan A =13,那么sin A 的值是( ) A .12B .13C .10 D .31012.下列方程中,有两个不相等的实数根的是( ) A .x 2﹣x ﹣1=0B .x 2+x +1=0C .x 2+1=0D .x 2+2x +1=0二、填空题13.如图,在平面直角坐标系中,将△ABO 绕点A 顺指针旋转到△AB 1C 1的位置,点B 、O 分别落在点B 1、C 1处,点B 1在x 轴上,再将△AB 1C 1绕点B 1顺时针旋转到△A 1B 1C 2的位置,点C 2在x 轴上,将△A 1B 1C 2绕点C 2顺时针旋转到△A 2B 2C 2的位置,点A 2在x 轴上,依次进行下去…,若点A (53,0)、B (0,4),则点B 2020的横坐标为_____.14.已知tan (α+15°)=33,则锐角α的度数为______°.15.如图是一个可以自由转动的转盘,转盘分成6个大小相同的扇形,颜色分为红、绿、黄三种颜色.指针的位置固定,转动的转盘停止后,其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置(指针指向两个扇形的交线时,当作指向右边的扇形).转动一次转盘后,指针指向_____颜色的可能性大.16.已知小明身高1.8m ,在某一时刻测得他站立在阳光下的影长为0.6m .若当他把手臂竖直举起时,测得影长为0.78m ,则小明举起的手臂超出头顶______m . 17.已知线段4AB =,点P 是线段AB 的黄金分割点(AP BP >),那么线段AP =______.(结果保留根号)18.关于x 的方程(m ﹣2)x 2﹣2x +1=0是一元二次方程,则m 满足的条件是_____. 19.抛物线y =3(x+2)2+5的顶点坐标是_____.20.把边长分别为1和2的两个正方形按如图所示的方式放置,则图中阴影部分的面积是_____.21.将正整数按照图示方式排列,请写出“2020”在第_____行左起第_____个数.22.已知线段a 、b 、c ,其中c 是a 、b 的比例中项,若a =2cm ,b =8cm ,则线段c =_____cm .23.已知关于x 的一元二次方程(m ﹣1)x 2+x+1=0有实数根,则m 的取值范围是 . 24.如图,四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,若∠C=140°,则∠BOD=____°.三、解答题25.某商店经销的某种商品,每件成本为30元.经市场调查,当售价为每件70元时,可销售20件.假设在一定范围内,售价每降低2元,销售量平均增加4件.如果降价后商店销售这批商品获利1200元,问这种商品每件售价是多少元?26.如图,在Rt ABC ∆中,90C ∠=︒,6AC =,60BAC ∠=︒,AD 平分BAC ∠交BC 于点D ,过点D 作DEAC 交AB 于点E ,点M 是线段AD 上的动点,连结BM 并延长分别交DE ,AC 于点F 、G .(1)求CD 的长.(2)若点M 是线段AD 的中点,求EFDF的值. (3)请问当DM 的长满足什么条件时,在线段DE 上恰好只有一点P ,使得60CPG ∠=︒?27.如图,已知AB 是⊙O 的直径,C ,D 是⊙O 上的点,OC ∥BD ,交AD 于点E ,连结BC .(1)求证:AE=ED ;(2)若AB=10,∠CBD=36°,求AC 的长.28.如图,矩形ABCD 中,AB =6cm ,AD =8cm ,点P 从点A 出发,以每秒一个单位的速度沿A→B→C 的方向运动;同时点Q 从点B 出发,以每秒2个单位的速度沿B→C→D 的方向运动,当其中一点到达终点后两点都停止运动.设两点运动的时间为t 秒. (1)当t = 时,两点停止运动; (2)设△BPQ 的面积面积为S (平方单位) ①求S 与t 之间的函数关系式;②求t 为何值时,△BPQ 面积最大,最大面积是多少?29.如图,在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,求tan B的值.30.一家医院某天出生了3个婴儿,假设生男生女的机会相同,那么这3个婴儿中,出现1个男婴、2个女婴的概率是多少?31.如图,四边形 ABCD 为矩形.(1)如图1,E为CD上一定点,在AD上找一点F,使得矩形沿着EF折叠后,点D落在 BC边上(尺规作图,保留作图痕迹);(2)如图2,在AD和CD边上分别找点M,N,使得矩形沿着MN折叠后BC的对应边B' C'恰好经过点D,且满足B' C' ⊥BD(尺规作图,保留作图痕迹);(3)在(2)的条件下,若AB=2,BC=4,则CN= .32.解下列方程:(1)(y﹣1)2﹣4=0;(2)3x2﹣x﹣1=0.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.D解析:D【解析】【分析】直接利用圆内接四边形的对角互补计算∠C 的度数. 【详解】∵四边形ABCD 内接于⊙O ,∠A =400, ∴∠C =1800-400=1400, 故选D. 【点睛】此题考查圆内接四边形的性质,解题关键在于利用圆内接四边形的对角互补2.C解析:C 【解析】 【分析】根据众数的概念求解. 【详解】这组数据中5出现的次数最多,出现了2次, 则众数为5. 故选:C . 【点睛】本题考查了众数的概念:一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.3.A解析:A 【解析】 【分析】利用A 、B 、C 、D 四点共圆,根据同弧所对的圆周角相等,得出ADC ABC ∠∠=,再作AE CD ⊥,设AE=DE=x ,最后利用勾股定理求解即可. 【详解】 解:如图所示,∵△ABC 、△ABD 都是直角三角形, ∴A,B,C,D 四点共圆, ∵AC=BC ,∴BAC ABC 45∠∠==︒,∴ADC ABC 45∠∠==︒, 作AE CD ⊥于点E,∴△AED 是等腰直角三角形,设AE=DE=x,则AD 2x =,∵CD=7,CE=7-x, ∵AB 52=, ∴AC=BC=5,在Rt△AEC 中,222AC AE EC =+, ∴()22257x x =+- 解得,x=3或x=4, ∴AD 232x ==或42.故答案为:A.【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的综合应用,解题的关键是根据题目得出四点共圆,作出合理辅助线,在圆内利用勾股定理求解.4.C解析:C 【解析】 【分析】 【详解】试题分析:设AC 和OB 交于点D ,根据同弧所对的圆心角的度数等于圆周角度数2倍可得:∠O=2∠A=72°,根据∠C=28°可得:∠ODC=80°,则∠ADB=80°,则∠B=180°-∠A-∠ADB=180°-36°-80°=64°,故本题选C .5.C解析:C 【解析】 【分析】先根据方程求出△的值,再根据根的判别式的意义判断即可. 【详解】 A 、x 2﹣x+3=0,△=(﹣1)2﹣4×1×3=﹣11<0,所以方程没有实数根,故本选项不符合题意;B、x2﹣3x+2=0,△=(﹣3)2﹣4×1×2=1>0,所以方程有两个不相等的实数根,故本选项不符合题意;C、x2﹣2x+1=0,△=(﹣2)2﹣4×1×1=0,所以方程有两个相等的实数根,故本选项符合题意;D、x2﹣4=0,△=02﹣4×1×(﹣4)=16>0,所以方程有两个不相等的实数根,故本选项不符合题意;故选:C.【点睛】本题考查了根的判别式,能熟记根的判别式的意义是解此题的关键.6.D解析:D【解析】【分析】先将方程左边提公因式x,解方程即可得答案.【详解】x2﹣3x=0,x(x﹣3)=0,x1=0,x2=3,故选:D.【点睛】本题考查解一元二次方程,解一元二次方程的常用方法有:配方法、直接开平方法、公式法、因式分解法等,熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键.7.D解析:D【解析】连接OC,则有∠BOC=2∠A=2α,∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,∵∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°,∴2∠OBC+2α=180°,∴∠OBC=90°-α,故选D.8.C解析:C 【解析】 【分析】根据根与系数的关系即可求出αβ+的值. 【详解】解:∵α、β是一元二次方程22210x x --=的两个实数根 ∴212αβ-+=-= 故选C . 【点睛】此题考查的是根与系数的关系,掌握一元二次方程的两根之和=ba-是解决此题的关键. 9.D解析:D 【解析】 【分析】根据概率公式先分别求出摸出黑球、白球和红球的概率,再进行比较,即可得出答案. 【详解】解:∵不透明的袋子中装有20个红球,2个黑球,1个白球,共有23个球, ∴摸出黑球的概率是223, 摸出白球的概率是123, 摸出红球的概率是2023, ∵123<223<2023, ∴从中任意摸出1个球,摸出红球的可能性最大; 故选:D . 【点睛】本题考查了可能性大小的比较:只要总情况数目相同,谁包含的情况数目多,谁的可能性就大;反之也成立;若包含的情况相当,那么它们的可能性就相等.10.A解析:A 【解析】 【详解】解:∵四边形ABCO 是平行四边形,且OA=OC , ∴四边形ABCO 是菱形,∴AB=OA=OB , ∴△OAB 是等边三角形, ∴∠AOB=60°, ∵BD 是⊙O 的直径, ∴点B 、D 、O 在同一直线上, ∴∠ADB=12∠AOB=30° 故选A .11.C解析:C 【解析】 【分析】根据正切函数的定义,可得BC ,AC 的关系,根据勾股定理,可得AB 的长,根据正弦函数的定义,可得答案. 【详解】 tan A =BCAC =13,BC =x ,AC =3x , 由勾股定理,得AB x ,sin A =BC AB 故选:C . 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系,利用正切函数的定义得出BC=x ,AC=3x 是解题关键.12.A解析:A 【解析】 【分析】逐项计算方程的判别式,根据根的判别式进行判断即可. 【详解】 解:在x 2﹣x ﹣1=0中,△=(﹣1)2﹣4×1×(﹣1)=1+4=5>0,故该方程有两个不相等的实数根,故A 符合题意;在x 2+x +1=0中,△=12﹣4×1×1=1﹣4=﹣3<0,故该方程无实数根,故B 不符合题意; 在x 2+1=0中,△=0﹣4×1×1=0﹣4=﹣4<0,故该方程无实数根,故C 不符合题意; 在x 2+2x +1=0中,△=22﹣4×1×1=0,故该方程有两个相等的实数根,故D 不符合题意; 故选:A . 【点睛】本题考查根的判别式,解题的关键是记住判别式,△>0有两个不相等实数根,△=0有两个相等实数根,△<0没有实数根,属于中考常考题型.二、填空题13.10100【解析】【分析】首先根据已知求出三角形三边长度,然后通过旋转发现,B、B2、B4…每偶数之间的B相差10个单位长度,根据这个规律可以求解.【详解】由图象可知点B2020在第一象限解析:10100【解析】【分析】首先根据已知求出三角形三边长度,然后通过旋转发现,B、B2、B4…每偶数之间的B相差10个单位长度,根据这个规律可以求解.【详解】由图象可知点B2020在第一象限,∵OA=53,OB=4,∠AOB=90°,∴AB133===,∴OA+AB1+B1C2=53+133+4=10,∴B2的横坐标为:10,同理:B4的横坐标为:2×10=20,B6的横坐标为:3×10=30,∴点B2020横坐标为:2020102⨯=10100.故答案为:10100.【点睛】本题考查了点的坐标规律变换,通过图形旋转,找到所有B点之间的关系是本题的关键.题目难易程度适中,可以考察学生观察、发现问题的能力.14.15【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案.【详解】解:tan(α+15°)=∴α+15°=30°,∴α=15°故答案是15【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值,解析:15【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案.【详解】解:tan(α+15°)∴α+15°=30°,∴α=15°故答案是15【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值,正确记忆相关特殊角的三角函数值是解题关键.15.红【解析】【分析】哪一种颜色多,指针指向那种颜色的可能性就大.【详解】∵转盘分成6个大小相同的扇形,红色的有3块,∴转动一次转盘后,指针指向红颜色的可能性大.故答案为:红.【点睛】解析:红【解析】【分析】哪一种颜色多,指针指向那种颜色的可能性就大.【详解】∵转盘分成6个大小相同的扇形,红色的有3块,∴转动一次转盘后,指针指向红颜色的可能性大.故答案为:红.【点睛】本题考查了可能性大小的知识,解题的关键是看清那种颜色的最多,难度不大. 16.54【解析】【分析】在同一时刻,物体的高度和影长成比例,根据此规律列方程求解.【详解】解:设小明举起的手臂超出头顶xm,根据题意得,,解得x=0.54即举起的手臂超出头顶0.54m解析:54【解析】【分析】在同一时刻,物体的高度和影长成比例,根据此规律列方程求解.【详解】解:设小明举起的手臂超出头顶xm,根据题意得,1.8 1.80.60.78x , 解得x=0.54即举起的手臂超出头顶0.54m.故答案为:0.54.【点睛】本题考查同一时刻物体的高度和影长成比例的投影规律,根据规律列比例式求解是解答此题的关键.,17.【解析】【分析】根据黄金比值为计算即可.【详解】解:∵点P 是线段AB 的黄金分割点(AP>BP )∴故答案为:.【点睛】本题考查的知识点是黄金分割,熟记黄金分割点的比值是解题的关键.解析:2【解析】【分析】根据黄金比值为12计算即可. 【详解】 解:∵点P 是线段AB 的黄金分割点(AP>BP )∴AP 2AB ==故答案为:2.【点睛】本题考查的知识点是黄金分割,熟记黄金分割点的比值是解题的关键.18.【解析】【分析】根据一元二次方程的定义ax2+bx+c=0(a≠0),列含m 的不等式求解即可.【详解】解:∵关于x 的方程(m ﹣2)x2﹣2x+1=0是一元二次方程,∴m-2≠0,∴m≠解析:2m ≠【解析】【分析】根据一元二次方程的定义ax 2+bx+c=0(a ≠0),列含m 的不等式求解即可.【详解】解:∵关于x 的方程(m ﹣2)x 2﹣2x+1=0是一元二次方程,∴m-2≠0,∴m ≠2.故答案为:m ≠2.【点睛】本题考查了一元二次方程的概念,满足二次项系数不为0是解答此题的关键.19.(﹣2,5)【解析】【分析】已知抛物线的顶点式,可直接写出顶点坐标.【详解】解:由y =3(x+2)2+5,根据顶点式的坐标特点可知,顶点坐标为(﹣2,5).故答案为:(﹣2,5).【点解析:(﹣2,5)【解析】【分析】已知抛物线的顶点式,可直接写出顶点坐标.【详解】解:由y=3(x+2)2+5,根据顶点式的坐标特点可知,顶点坐标为(﹣2,5).故答案为:(﹣2,5).【点睛】本题考查二次函数的性质,熟知二次函数的顶点式是解题的关键,即在y=a(x-h)2+k中,顶点坐标为(h,k),对称轴为x=h.20.【解析】【分析】由正方形的性质易证△ABC∽△FEC,可设BC=x,只需求出BC即可求出图中阴影部分的面积.【详解】如图所示:设BC=x,则CE=1﹣x,∵AB∥EF,∴△ABC∽△解析:1 6【解析】【分析】由正方形的性质易证△ABC∽△FEC,可设BC=x,只需求出BC即可求出图中阴影部分的面积.【详解】如图所示:设BC=x,则CE=1﹣x,∵AB∥EF,∴△ABC∽△FEC∴ABEF=BCCE,∴12=x1x解得x=13,∴阴影部分面积为:S△ABC=12×13×1=16,故答案为:16.【点睛】本题主要考查正方形的性质及三角形的相似,本题要充分利用正方形的特殊性质.利用比例的性质,直角三角形的性质等知识点的理解即可解答.21.4【解析】【分析】根据图形中的数字,可以写出前n行的数字之和,然后即可计算出2020在多少行左起第几个数字,本题得以解决.【详解】解:由图可知,第一行1个数,第二行2个数,第解析:4【解析】【分析】根据图形中的数字,可以写出前n行的数字之和,然后即可计算出2020在多少行左起第几个数字,本题得以解决.【详解】解:由图可知,第一行1个数,第二行2个数,第三行3个数,…,则第n行n个数,故前n个数字的个数为:1+2+3+…+n=(1)2n n+,∵当n=63时,前63行共有63642⨯=2016个数字,2020﹣2016=4,∴2020在第64行左起第4个数,故答案为:64,4.【点睛】本题考查了数字类规律探究,从已有数字确定其变化规律是解题的关键.22.4【解析】【分析】根据比例中项的定义,列出比例式即可求解.【详解】∵线段c 是a 、b 的比例中项,线段a =2cm ,b =8cm ,∴=,∴c2=ab =2×8=16,∴c1=4,c2=﹣4(舍解析:4【解析】【分析】根据比例中项的定义,列出比例式即可求解.【详解】∵线段c 是a 、b 的比例中项,线段a =2cm ,b =8cm , ∴a c =c b, ∴c 2=ab =2×8=16,∴c 1=4,c 2=﹣4(舍去),∴线段c =4cm .故答案为:4【点睛】本题考查了比例中项的概念:当两个比例内项相同时,就叫比例中项.这里注意线段不能是负数.23.m≤且m≠1.【解析】【分析】【详解】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系.有实数根则△=即1-4(-1)(m-1)≥0解得m≥,又一元二次方程所以m-1≠0综上m≥且m≠1.解析:m≤54且m≠1. 【解析】【分析】【详解】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系.有实数根则△=240b ac -≥即1-4(-1)(m-1)≥0解得m≥34,又一元二次方程所以m-1≠0综上m≥34且m ≠1. 24.80【解析】∵∠A+∠C=180°,∴∠A=180°−140°=40°,∴∠BOD=2∠A=80°.故答案为80.解析:80【解析】∵∠A+∠C=180°,∴∠A=180°−140°=40°,∴∠BOD=2∠A=80°.故答案为80.三、解答题25.每件商品售价60元或50元时,该商店销售利润达到1200元.【解析】【分析】根据题意得出,(售价-成本)⨯(原来的销量+2⨯降低的价格)=1200,据此列方程求解即可.【详解】解:设每件商品应降价x 元时,该商店销售利润为1200元.根据题意,得()()70302021200x x --+=整理得:2302000x x -+=,解这个方程得:110x =,220x =.所以,7060x -=或50答:每件商品售价60元或50元时,该商店销售利润达到1200元.【点睛】本题考查的知识点是生活中常见的商品打折销售问题,弄清题目中的关键概念,找出题目中隐含的等量关系式是解决问题的关键.26.(1)DC =;(2)23EF DF =;(3)当DM =DM <<时,满足条件的点P 只有一个.【解析】【分析】(1)由角平分线定义得30DAC ∠=︒,在Rt ADC ∆中,根据锐角三角函数正切定义即可求得DC 长.(2)由题意易求得BC =BD =ASA 得DFM AGM ∆≅∆,根据全等三角形性质得DF AG =,根据相似三角形判定得~BFE BGA ∆∆,由相似三角形性质得EF BE BD AG AB BC==,将DF AG =代入即可求得答案.(3)由圆周角定理可得CQG ∆是顶角为120°的等腰三角形,再分情况讨论:①当Q 与DE 相切时,结合题意画出图形,过点Q 作QH AC ⊥,并延长HQ 与DE 交于点P ,连结QC ,QG ,设Q 半径为r ,由相似三角形的判定和性质即可求得DM 长;②当Q 经过点E 时,结合题意画出图形,过点C 作CK AB ⊥,设Q 半径为r ,在Rt EQK ∆中,根据勾股定理求得r ,再由相似三角形的判定和性质即可求得DM 长;③当Q 经过点D 时,结合题意画出图形,此时点M 与点G 重合,且恰好在点A 处,由此可得DM 长.【详解】(1)解:∵AD 平分BAC ∠,60BAC ∠=︒, ∴1302DAC BAC ∠=∠=︒.在Rt ADC ∆中,tan 30DC AC =⋅︒=(2)解:易得,BC =,BD =由DE AC ,得EDA DAC ∠=∠,DFM AGM ∠=∠.∵AM DM =,∴DFM AGM ∆≅∆,∴AG DF =.由DE AC ,得~BFE BGA ∆∆, ∴EF BE BD AG AB BC==∴23EF EF BD DF AG BC ==== (3)解:∵60CPG ∠=︒,过C ,P ,G 作外接圆,圆心为Q ,∴CQG ∆是顶角为120°的等腰三角形.①当Q 与DE 相切时,如图1,过Q 点作QH AC ⊥, 并延长HQ 与DE 交于点P ,连结QC ,QG设Q 的半径QP r =则12QH r =,1232r r +=, 解得433r =. ∴43343CG =⨯=,2AG =. 易知DFMAGM ∆∆,可得43DM DF AM AG ==,则47DM AD = ∴1637DM =. ②当Q 经过点E 时,如图2,过C 点作CK AB ⊥,垂足为K .设Q 的半径QC QE r ==,则33QK r =.在Rt EQK ∆中,()221332r r +=,解得1439r =, ∴14143393CG == 易知DFMAGM ∆∆,可得1435DM = ③当Q 经过点D 时,如图3,此时点M与点G重合,且恰好在点A处,可得43DM=综上所述,当1637DM=143435DM<P只有一个.【点睛】本题属于相似形综合题,考查了相似三角形的判定和性质,解直角三角形,圆周角定理等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题,学会利用特殊位置解决数学问题,属于中考压轴题.27.(1)证明见解析;(2)2ACπ=【解析】【分析】【详解】分析:(1)根据平行线的性质得出∠AEO=90°,再利用垂径定理证明即可;(2)根据弧长公式解答即可.详证明:(1)∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∵OC∥BD,∴∠AEO=∠ADB=90°,即OC⊥AD,∴AE=ED;(2)∵OC⊥AD,∴AC BD=,∴∠ABC=∠CBD=36°,∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°,∴AC=7252 180ππ⨯=.点睛:此题考查弧长公式,关键是根据弧长公式和垂径定理解答.28.(1)7;(2)①当0<t<4时,S=﹣t2+6t,当4≤t<6时,S=﹣4t+24,当6<t≤7时,S=t2﹣10t+24,②t=3时,△PBQ的面积最大,最大值为9【解析】【分析】(1)求出点Q的运动时间即可判断.(2)①的三个时间段分别求出△PBQ的面积即可.②利用①中结论,求出各个时间段的面积的最大值即可判断.【详解】解:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=8cm,AB=CD=6cm,∴BC+AD=14cm,∴t=14÷2=7,故答案为7.(2)①当0<t<4时,S=12•(6﹣t)×2t=﹣t2+6t.当4≤t<6时,S=12•(6﹣t)×8=﹣4t+24.当6<t≤7时,S=12(t﹣6)•(2t﹣8)=t2﹣10t+24.②当0<t<4时,S=12•(6﹣t)×2t=﹣t2+6t=﹣(t﹣3)2+9,∵﹣1<0,∴t=3时,△PBQ的面积最大,最小值为9.当4≤t<6时,S=12•(6﹣t)×8=﹣4t+24,∵﹣4<0,∴t=4时,△PBQ的面积最大,最大值为8,当6<t≤7时,S=12(t﹣6)•(2t﹣8)=t2﹣10t+24=(t﹣5)2﹣1,t=7时,△PBQ的面积最大,最大值为3,综上所述,t=3时,△PBQ的面积最大,最大值为9.【点睛】本题主要考查了二次函数在几何图形中的应用,涉及了分类讨论的数学思想,灵活的利用二次函数的性质求三角形面积的最大值是解题的关键.29.12 5【解析】【分析】过A点作AD⊥BC,将等腰三角形转化为直角三角形,利用勾股定理求AD,利用锐角三角函数的定义求∠B的正切值.【详解】过点A作AD⊥BC,垂足为D,∵AB=AC=13,BC=10,∴BD=DC=12BC=5,∴AD222213512AB BD=-=-=,在Rt△ABD中,∴tan B125 ADBD==.【点睛】本题考查了勾股定理,等腰三角形的性质和三角函数的应用,关键是将问题转化到直角三角形中求解,并且要熟练掌握好边角之间的关系.30.38【解析】【分析】本题先利用树状图,求出医院某天出生了3个婴儿的8中等可能性,再求出出现1个男婴、2个女婴有三种,概率为3 8 .【详解】解:用树状图来表示出生婴儿的情况,如图所示.在这8种情况中,一男两女的情况有3种,则概率为38.【点睛】本题利用树状图比较合适,利用列表不太方便.一般来说求等可能性,只有两个层次,既可以用树状图,又可以用列表;有三个层次时,适宜用树状图求出所有的等可能性.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.31.(1)图见解析(2)图见解析(3)51 2【解析】【分析】(1)以点E为圆心,以DE长为半径画弧,交BC于点D′,连接DD′,作DD′的垂直平分线交AD于点F即可;(2)先作射线BD,然后过点D作BD的垂线与BC的延长线交于点H,作∠BHD的角平分线交CD于点N,交AD于点M,在HD上截取HC′=HC,然后在射线C′D上截取C′B′=BC,此时的M、N即为满足条件的点;(3)在(2)的条件下,根据AB=2,BC=4,即可求出CN的长.【详解】(1)如图,点F为所求;(2)如图,折痕MN、矩形A’B’C’D’为所求;(3)在(2)的条件下,∵AB=2,BC=4,∴BD=5∵BD ⊥B′C′,∴BD ⊥A′D′,得矩形DGD′C′.∴DG =C′D′=2,∴BG =设CN 的长为x ,CD′=y .则C′N =x ,D′N =2−x ,BD′=4−y ,∴(4−y )2=y 2+()2,解得y .(2−x )2=x 2)2解得x .. 【点睛】本题考查了作图−复杂作图、矩形的性质、翻折变换,解决本题的关键是掌握矩形的性质.32.(1)y 1=3,y 2=﹣1;(2)x 1=16+,x 2=16. 【解析】【分析】(1)先移项,然后利用直接开方法解一元二次方程即可;(2)利用公式法解一元二次方程即可.【详解】解:(1)(y ﹣1)2﹣4=0,(y ﹣1)2=4,y ﹣1=±2,y =±2+1,y 1=3,y 2=﹣1;(2)3x 2﹣x ﹣1=0,a =3,b =﹣1,c =﹣1,△=b 2﹣4ac =(﹣1)2﹣4×3×(﹣1)=13>0,x ,x 1=16+,x 2=16. 【点睛】此题考查的是解一元二次方程,掌握利用直接开方法和公式法解一元二次方程是解决此题的关键.。