2019-2020年高考数学二轮复习难点2.9解析几何中的面积，共线，向量结合的
问题教学案文
圆锥曲线是解析几何部分的核心内容,以计算量大、方法灵活、技巧性强著称,既是中学数学的重点、难点,也是历年高考的热点,常以压轴题的形式出现.而直线与圆锥曲线的位置关系,集中交汇了解析几何中直线与圆锥曲线的内容, 特别是解析几何中的面积，共线，向量结合的问题是圆锥曲线综合题，解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的.综合题中常常离不开直线与圆锥曲线的位置，因此，要树立将直线与圆锥曲线方程联立，应用判别式、韦达定理的意识.解析几何应用问题的解题关键是建立适当的坐标系，合理建立曲线模型，然后转化为相应的代数问题作出定量或定性的分析与判断.常用的方法：数形结合法，以形助数，用数定形. 在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等. 1解析几何中的面积问题
解析几何中某些问题,可以通过三角形面积的等量关系去解.研究方法:先选定一个易于计算面积的几何图形,再用不同方法计算同一图形面积,得到一个面积等式;或是用一图形面积等于其它图形面积的和或差.在教学时,适当讲解此法,是开拓学生思路,提高数学教学质量的有效手段之一.
例1【西南名校联盟高三2018年元月考试】已知抛物线2
:8C y x =上的两个动点()11,A x y ， ()22,B x y 的横坐标12x x ≠，线段AB 的中点坐标为()2,M m ，直线:6l y x =-与线段AB 的垂直平分线相交于点Q .
（1）求点Q 的坐标；
（2）求AQB ∆的面积的最大值.
思路分析：（1）根据题设条件可求出线段AB 的斜率，进而求出线段AB 的垂直平分线方程，联立直线
:6l y x =-与线段AB 的垂直平分线方程，即可求出点Q 的坐标；
（2）联立直线AB 与抛物线C 的方程，结合韦达定理及弦长公式求出线段AB 的长，再求出点Q 到直线AB 的距离，即可求出AQB S
的表达式，再构造新函数，即可求出最大值.
设()2016m t =∈，， ()232561625616h t t t t =⨯+--， 则()2
256323h t t t =--' ()()31616t t =-++， 令()0h t '=得16t =- (舍去)， 163t =，由于1603t <<时， ()0h t '>， ()h t 单调递增，16163
t ≤<时， ()0h t '≤， ()h t 单调递减，∴当2163m t ==时， ()h t 取得最大值，即AQB 的面积取得最大值，
故AQB = 点评：圆锥曲线中的最值与范围问题是高考中的常考题型，常与不等式、函数等知识结合在一起，涉及的知识点较多、难度较大．解题时可先建立关于某个参数的目标函数，再求这个函数的最值，常用的方法有以下几个：①利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系； ②利用基本不等式求出参数的取值范围；③利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
2解析几何中的共线问题
解析几何中的共线问题的处理方法，常利用向量共线定理来证，即先设出向量的坐标，利用题中给出的关系，证明坐标交叉积的差等于零即可. 正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关解析几何的问题转化为向量问题.三点共线是解析几何中常见问题之一，根据向量共线的充要条件，只要在三点中任意两点的向量间存在倍数关系，向量法解决共线问题更简单明了.
例2已知点C 的坐标为()1,0,,A B 是抛物线2
y x =上不同于原点O 的相异的两个动点，且0OA OB =. （1）求证: 点,,A C B 共线;
（2）若()AQ QB R λλ=∈，当0OQ AB =时，求动点Q 的轨迹方程. 思路分析：(1)要证三点,,A B C 共线，只要证AC BC 即可，设()()
()2211221212,,,,,0,0A t t B t t t t t t ≠≠≠ ，由0OA OB =可得121t t =-，代入两向量平行的条件即可证AC BC ；(2) 设动点(),Q x y ,则()(),,1,OQ x y CQ x y ==-，由OQ CQ ⊥即0OQ CQ =列出方程即可.
点评：本题考查向量的坐标运算与数量积、抛物线的标准方程与几何性质与轨迹方程的求法，属中档题；求轨迹方程有直接法、相关点法、定义法、参数法等多种方法，当题目给出等量关系时，可用直接法，本题就是用直接法求解的.
3解析几何中的与向量结合问题
平面向量是高中数学新增内容，它具有代数形式和几何形式的双重身份，是数形结合的典范，能与中学数学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点.基于高考数学重视能力立意，在知识网络的交汇点上设计试题，平面向量与解析几何融合交汇的试题便应运而生，试题以解析几何为载体，以探讨直线和圆锥曲线的位置关系为切入点，以向量为工具，着重考查解析几何中的基本的数学思想方法和综合解题能力.由于向量既能体现"形"的直观位置特征，又具有"数"的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带.而解析几何也具有数形结合与转换的特征，所以在向量与解析几何知识的交汇处设计试题，已逐渐成为高考命题的一个新的亮点.
例3【西藏拉萨市2018届第一次模拟】已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>
倍，且过
点(．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若OAB ∆的顶点A 、B 在椭圆上， OA 所在的直线斜率为1k ， OB 所在的直线斜率为2k ，若
2
122b k k a
⋅=-，求OA OB ⋅的最大值． 思路分析：(1)根据椭圆长轴与短轴的关系列出一个方程，再根据椭圆过已知点列出一个方程，解方程组求出a,b,写出椭圆的标准方程;(2)由于OA 和OB 的斜率乘积为定值，因此OA 的斜率为1k ，则OB 的斜率可表示为1
12k -，分别把射线OA 、OB 的方程与椭圆的方程联立，求出A 、B 两点的横坐标，得出两点的横坐标的积，根据OA 、OB 方程得出A 、B 两点的纵坐标的积，从表示出数量积OA OB ⋅,再利用基本不等式求出最值
.
点评：求椭圆的标准方程一般采用待定系数法,列方程组解方程求出a,b;(2) 本题为斜率乘积为2
2b a
-，是一种常见的典型考题，根据OA 和OB 的斜率乘积为定值，可以减元，用OA 的斜率表示OB 的斜率，分别把射线OA 、OB 的方程与椭圆的方程联立，求出A 、B 两点的横坐标，根据OA 、OB 方程得出A 、B 两点的纵坐标，从表示出数量积OA OB ⋅,再利用基本不等式求出最值.直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．涉及到向量，就用点的坐标来表示.
综合以上三类问题，平面解析几何中计算多边形的面积的方法是把多边形分为若干三角形.计算出每一个三角形的面积而后加起来.有规则的图形和不规则的图形,常将问题转化到三角形、圆、特殊四边形中,应用相关面积公式求解,有时要综合考虑问题,将不规则图形转化到规则图形中求解. 研究圆锥曲线中三角形的面积时通常采用分割的方法把要求面积的三角形分成两个同底的三角形，根据韦达定理求12y y -.解析几何中平行、共线问题，求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解析几何问题.利用向量夹角的坐标形式解题，求解这类问题的关键是：先把向量用坐标表示，再用解析几何知识结合向量的夹角公式使问题获解；也可以把两向量夹角问题转化为两直线所成角的问题，用数形结合方法使问题获解.向量数量积，求此类问题的关键是：利用向量数量积的坐标表示，将向量形式转化为代数形式.垂直向量，求解此类问题的关键是利用向量垂直的充要条件：“0=⋅⇔⊥b a b a ”，促使问题转化，然后利用数形结合解决问题.。