( ) ( ) ( ) Plm
x
=
1 2l l!
1
−
x2
m 2
d l+m dxl +m
x2 −1 l
证明：
(0 ≤ m ≤ l)
( ) ∵ Pl
(x) =
1 dl 2l l! dxl
x2 −1 l
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∴Plm
x
=
1−
x2
m 2
dm dxm
⎡ 1 dl
⎢ ⎣
2l
l!
(x
+ 1)n
由（3）（4）得
( ) ( ) ( ) ( ) dl−m
( ) dxl−m
x2 −1 l =
x2 −1 m
l − m ! dl+m l + m ! dxl +m
x2 −1 l
( ) ( ) =
(− 1)m
1−
x2
m
(l (l
− +
)m ! d l +m m)! dxl+m
x2 −1 l
§3.2 连带勒让德多项式的性质
连带勒让德方程
( ) d
dx
⎡ ⎢⎣
1
+
x
2
dΘ dx
⎤ ⎥⎦
+
⎡ ⎢l ⎣
(l
+
1)
−
1
m2 −x
2
⎤ ⎥ ⎦
Θ
=
0
其解
( ) Θ(x) =
Plm (x) =
1− x2
( ) m
2
Pl[m]
x
或
( ) Plm (x) =
1− x2
m 2
dm dx m
Pl (x)
（0≤ m ≤l）
x
−1
l
和
d l+m−k dx l + m − k
x +1 l 均不为 0
必须 k ≤ l 且 l + m − k ≤ l (k ≥ m) ，即 m ≤ k ≤ l
( ) ∑ ( ) ( ) ∴
d l+m dx l + m
x2
−1 l
l
=
Ck l+m
k =m
dk dx k
x −1
l
d l+m−k dx l + m−k
−
m)!n!(x
) −1 l−n−m
(x
+
1)n
同理
（3）
2
( ) ∑ ( ) ( ) d l−m
dx l −m
x2
−1 l
=
l−m
Cn l−m
n=0
dn dx n
x −1
l
d l−m−n dx l −m−n
x +1 l
∑ =
l−m
Cn l−m
n=0
(l
−l!n )! (x
) −1 l−n
(n
l!
令c
=
(−
1)m
(l (l
− +
m)! m)!
即
Pl − m
(x)
=
(−
1)m
(l (l
− +
m)! m)!
Pl m
(x)
(m > 0)
三、连带勒让德多项式的积分形式
[ Pl m (x )
=
im π
(l
+m l!
)!
π
∫
0
cos
mϕ
x
+
证明：
]l
x2 − 1cosϕ dϕ
由 Plm (x)的微分公式得
要证 Pl−m (x) = cPlm (x)，即证
( ) ( ) ( ) ( ) 1
2l l!
1−
x2
−m 2
d l−m dxl −m
x2
−1 l
=
c
1 2l l!
1
−
x2
m 2
d l+m dxl +m
x2 −1 l
( ) ( ) ( ) ⇔
d l −m dxl −m
x2
−1 l
=
c 1−
x2
m
d l+m dxl +m
1−
x2
1 2
d dx
⎡1 ⎢⎣ 2
3x2
−
1
⎤ ⎥⎦
= 31−
x2
1
2x
= 3sinθ cosθ
( ) ( ) ( ) P22(x) =
1− x2
d2 ⎡1 dx2 ⎢⎣ 2
3x2
−1
⎤ ⎥⎦
=
3
1
−
x2
= 3x) 退化为 Pl (x) 。
二、连带勒让德多项式的微分形式：
x2 −1 l
由莱布尼茨求导公式，可得
( ) [( ) ( ) ] ∑ ( ) ( ) dl+m
dxl +m
x2
−1
l
=
d l+m dxl +m
x −1 l x +1 l
=
l+m
Ck l+m
k =0
dk dxk
x
−1
l
d l+m−k dxl +m−k
x +1 l
( ) ( ) 要保证 d k
dx k
l−m
=
C n+m l+m
n=0
l!
x −1 l−n−m l! x + 1 n
l−n−m!
n!
∑ =
l−m n=0
(n
(l + m)! + m)!(l −
n)!
(l
−
l! n−
m)!
l! n!
(x
) −1 l−n−m
(x
+
1)n
∑ =
l−m n=0
(n
+
(l m)!(l
+ −
m)!(l!)2 n)!(l − n
x +1 l
=
l
∑Ck l+m k =m
l(l
−1)L(l (l
− k +1)(l − k )!
−
k )!(x
) −1 l−k
l(l
−1)L(k − m +1)(k (k − m)!
−
m)!(x
) + 1 k−m
令n=k −m
( ) ∑ ( ) ( ) ( ) ∴
d l+m dx l + m
x2
−1 l
dxl
x2
−
1
l
⎤ ⎥
=
⎦
1 2l l!
1
−
x
2
m 2
d l+m dxl +m
x2 −1 l
证毕。
（2）
1
此外，可以证明对于 m > 0 ， Pl−m (x)与 Plm (x) 相差一个常数，即 Pl−m (x) = cPlm (x)，c 为常
( ) ( ) ( ) 数，因此 Pl−m
x
=
1 2l l!
( ) ( ) ( ) Plm
x
=
1 2l l!
1
−
x
2
m 2
d l+m dxl +m
x2 −1 l
∫ 然后，由柯西积分公式 f (n)(z) = n!
2π i
cR
(z
f −
(z) )x n+1
dz
( ) ∫ ( ) Plm(x) =
1 2l l!
1−
x2
m 2
(l + m)! 2π i
z2 −1 l
( ) CR z − x l +m+1 dz
令 z − x = 1 − x2 eiϕ
1−
x2
−m 2
d l −m dxl −m
x2 − 1 l 也可以看作连带勒让德方程的解。
证明：
( ) ( ) ( ) Q Plm
x
=
1 2l l!
1−
x2
d m l +m
2
dxl +m
x2 −1 l
( ) ( ) ( ) Pl−m
x
=
1 2l l!
1
−
x2
−m 2
d l−m dxl −m
x2 −1 l
（1）
注意： Pl (x) 的最高次幂为 xl ，连带勒让德多项式是对 Pl (x) 进行 m 阶求导而后得到的，为
保证连带勒让德多项式不为零，需要满足 0 ≤ m ≤ l 。
一、连带勒让德多项式前几项：
( ) ( ) P11(x) =
1− x2
1 2
d [x] =
dx
1− x2
1 2
= sinθ
( ) ( ) ( ) P21(x) =
+ m)!
(x
) + 1 n+m
∑ =
l−m n=0
(l − m)! n!(l − n − m)!
(l
l!
− n)!
(n
l!
+ m)!
(x
−
)1 l−n
(x
+
)1 n+m
( ) ∑ =
x2
−1
m
l−m n=0