勒让德（legendre ）多项式及其性质一． 勒让德多项式勒让德多项式是由勒让德方程的通解推导出来的，所以我们首先引入勒让德方程，以及勒让德方程的幂级数解，勒让德方程的表达式如下：2'''(1)2(1)0x y xy n n y --++= 其中n 为非负实数 （1.1）它的幂级数解如下：12y y y =+ （1.2）其中：2241200(1)(2)(1)(3)[1]2!4!kk k n n n n n n y a x a x x ∞=+-++==-+⋅⋅⋅∑ （1.3）213522110(1)(2)(1)(3)(2)(4)[]3!5!k k k n n n n n n y a xa x x x ∞++=-+--++==-++⋅⋅⋅∑ （1.4）由达朗贝尔判别法可知，当0n ≥不为整数时，这两个级数的收敛半径为1，在（1.3）式和（1.4）式中，0a 与1a 可以任意取值，它们起着任意常数的作用，显然，在区间（－1，1）内1y 和2y 都是方程（1.1）的解，所以（1.2）是（1.1）的通解。

上面（1.3）和（1.4）幂级数当||1x <时级数收敛，此外级数是发散的。

并且，我们发现，当n 取非负整数时，1y 和2y 中有一个便退化为n 次多项式，它就是方程（1.1）在闭区间[-1,1]上的有界解。

此时，适当的选定这个多项式的最高次幂系数n a ，所得的多项式称为n 阶勒让德多项式或第一类勒让德函数，记作()n P x ，下面我们来推导勒让德多项式()nP x 的表达式。

① 当n 为正偶数时1y 退化为n 次多项式。

为求得()n P x 的表达式，在1y 中我们通过n a 来表示其它各项的系数。

为此，将系数递推关系式改写成下列形式：2(2)(1)()(1)k k k k a a k n k n +++=-++ （1.5）在（1.5）式中取2kn =-，得：2(1)2(21)n n n n a a n --=-- （1.6）习惯上取n a 为 2(2)2(!)n nn a n = （1.7）于是有：2(1)2(21)(22)!2(21)2(1)!(1)(2!)n n n n n n n a n n n n n n ----=-----(22)!2(1)!(2)!nn n n -=--- （1.8）在（1.5）式中取4kn =-，并利用2n a -之值得：42(2)(3)4(23)n n n n a a n ----=--2(2)(3)(22)!(1)4(23)2(1)!(2)!n n n n n n n ---=----2(24)!(1)2(2!)(2)!(4)!nn n n -=--- （1.9）一般地，我们有()()222!12!()!(2)!mn m n n m a m n m n m --=--- （0,1,,2nm =⋅⋅⋅⋅⋅⋅） （1.10）我们将这些系数带入（1.3）中，并把此时的1y 记作()n P x ，可得：220(22)!()(1)2!()!(2)!n mn mn n m n m p x x m n m n m -=-=---∑ （1.11）这就是当n 为正偶数时勒让德多项式。

② 当n 为正奇数时2y 退化为n 次多项式，我们把2y 记作()n P x ，同理可得：1220(22)!()(1)2!()!(2)!n mn m n n m n m p x x m n m n m --=-=---∑ （1.12）把（1.11）和（1.12）写成统一的形式，得[]220(22)!()(1)2!()!(2)!nmn m n n m n m p x x m n m n m -=-=---∑ （1.13）其中[]2n 表示2n的整数部分由上述讨论可知，当n 为非负整数时，1y 和2y 中有一个是n 阶勒让德多项式，而另一个是无穷级数，记作()n Q x ，称为第二类勒让德函数，此时方程（1.1）通解为：12()()n n y c P x c Q x =+ （1.14）特别当0,1,2,3,4,5n =时，由（1.11）和（1.12）式得：0()1P x = 1()P x x = 221()(31)2P x x =- 331()(53)2P x x x =- 4241()(35303)8P x x x =-+ 5351()(637015)8P x x x x =-+它们的图形如下：二． 勒让德多项式的性质首先介绍一下勒让德多项式的母函数： 试将函数122(,)(12)x z xz z -∅=-+ （1.15）展开成z 的幂级数(,)n n n x z A z ∞=∅=∑ （1.16）可以证明(,)x z ∅级数展开式中n z 的系数恰好是勒让德多项式，最终得到122(,)(12)()n n n x z xz z P x z ∞-=∅=-+=∑ （1.17）因此称(,)x z ∅为勒让德多项式的母函数。

1．()(1)()nn n P x P x -=- （1.18）将式（1.17）中的x 以x -代入，z 以z -代入，立即得到此结果。

此式说明()n P x 的奇偶性由n 而定，当n 为偶数时，()n P x 为偶函数，当n 为奇数时，()n P x 为奇函数。

2．(1)1,(1)(1)nn nP P =-=- （1.19） 将1x =代入式（1.17），得到1(1)(1)n n n z P z ∞-=-=∑而1(1)n n z z ∞-=-=∑所以(1)1n P =由上式和（1.18）立即得到(1)(1)(1)n n n P P -=-3．勒让德多项式的递推公式：11(1)()(21)()()0n n n n P x n xP x nP x +-+-++= （1.20）'''11()()2()()n n n n P x P x xP x P x +-=-+ （1.21）''1()()(1)()n n n P x xP x n P x +=++ （1.22）''1()()()n n n xP x P x nP x --= （1.23） ''11()()(21)()n n n P x P x n P x +--=+ （1.24）现在我们来证明（1.20）及其它的导数公式，将母函数(,)x z ∅分别对,x z 微分，得到3222(12)12z z xz z x xz z -∂∅∅=+-+=∂-+ 3222()(12)12x z x z xz z z xz z-∂∅-=--+=∂-+ 得到下列两个恒等式2(12)0xz z z x∂∅-+-∅=∂ （1.25） 2(12)()0xz z z x z∂∅-++-∅=∂ （1.26）又从式（1.25）和（1.26）得到()0zz x z x∂∅∂∅+-=∂∂ （1.27） 将（1.17）两端分别对,x z 微分，得到'()n n n P x z x ∞=∂∅=∂∑ （1.28） 11()n n n nP x z z ∞-=∂∅=∂∑ （1.29） 然后将它们带入（1.27），得到''111()[()()]n nn n n n n xP x z nP x P x z ∞∞-===+∑∑ 于是得到()n P x 与导数之间的关系式''1()()()n n n xP x P x nP x --=其它的导数公式这里不在一一证明。

将式（1.17）和（1.29）代入式（1.26）中，得到110[(1)()(21)()()]0n n n n n Px n xP x nP x ∞+-=+-++=∑上面级数的各项系数都等于零，因此，最终得到11(1)()(21)()()0n n n n P x n xP x nP x +-+-++=这就是递推公式，由0()P x ，1()P x 可以推出2()P x ，由1()P x ，2()P x 可以推出3()P x ，…..4．勒让德多项式的正交性：勒让德多项式在[-1,1]上正交，即112()()21n m P x P x dx n -=+⎰当n m =时 （1.30） 11()()0n m P x P x dx -=⎰当n m ≠时 （1.31）勒让德多项式正交性的证明比较繁琐，这里不再证明。

窗体顶端中国人民银行货币反假考试20181109首次考试开考时间 : 2018-11-09 10:20:00 收卷时间 : 2018-11-09 11:10:00 总时间 : 50分 单选题(点击收缩)1 国务院反假货币工作联席会议的日常办事机构为（B ）。

A . 国务院秘书处；B . 联席会议办公室；C . 联席会议办公室秘书处；D . 国务院办公厅。

2 银行业金融机构反假货币联络会议是国务院反假货币工作联席会议的延伸,在（A ）指导下开展工作。

A . 国务院反假货币工作联席会议；B . 中国人民银行；C . 国务院；D . 国务院反假货币工作联席会议办公室。

3 《假人民币没收收据》第（A ）联交原收缴单位。

A . 二；B . 一；C . 三；D . 四。

4 为规范对假币的收缴、鉴定行为，保护货币持有人的合法权益。

中国人民银行制定并公布了（D），自2003年7月1日起施行。

A . 《中华人民共和国刑法》；B . 《中华人民共和国中国人民银行法》；C . 《中华人民共和国人民币管理条例》；。