第12章 量子物理学12-1 氦氖激光器发射波长632.8nm 的激光。

若激光器的功率为1.0mW ，试求每秒钟所发射的光子数。

解 一个光子的能量λνhch E ==，激光器功率P 数值上等于每秒钟发射光子的总能量， 故每秒钟所发射的光子数1/s 1018.315⨯===hcP E P N λ 12-2 某种材料的逸出功为3.00eV ，试计算能使这种材料发射光电子的入射光的最大波长。

解 光子的能量λhcE =，要使这种材料发射光电子，入射光子的能量不能小于逸出功W ，即有W hcE ==min λ解得入射光的最大波长为nm 4141014.470=⨯==-Whcλ 12-3 从铝中移去一个电子需要能量4.20eV 。

用波长为200nm 的光投射到铝表面上，求：（1）由此发射出来的最快光电子和最慢光电子的动能； （2）遏止电势差； （3）铝的红限波长。

解 （1）根据爱因斯坦光电效应方程 W E h km +=ν 最快光电子的动能W hc W h m E -=-==λν2m max k 21v eV 2.02J 1023.319=⨯=-最慢光电子逸出铝表面后不再有多余的动能，故0min k =E（2）因最快光电子反抗遏止电场力所做的功应等于光电子最大初动能，即max k E eU a =， 故遏止电势差V 02.2maxk ==eE U a （3）波长为红限波长λ0的光子，具有恰好能激发光电子的能量，由λ0与逸出功的关系W hc=0λ得铝的红限波长nm 296m 1096.270=⨯==-Whcλ 12-4 在一个光电效应实验中测得，能够使钾发射电子的红限波长为562.0nm 。

（1）求钾的逸出功；（2）若用波长为250.0nm 的紫外光照射钾金属表面，求发射出的电子的最大初动能。

解 （1）波长为红限波长λ0的光子具有恰能激发光电子的能量，即光子能量等于逸出功 由W hc =0λ，得钾的逸出功 eV 2.21J 1054.3190=⨯==-λhc W（2）根据光电效应方程 W E ch+=km λ光电子的最大初动能为W hc W h m E -=-==λν2m km 21v eV 76.2J 1042.419=⨯=-12-5 当用锂制成的发射极来做光电效应实验时，得到下列遏止电势差波长λ(nm) 433.9 404.7 365.0 312.5 253.5 遏止电势差U a (V) 0.550 0.730 1.09 1.67 2.57（1）试用上述数据在坐标纸上作U a ~ν图线； （2）利用图线求出金属锂的光电效应红限波长；（3）从这些数据求普朗克常数。

解 （1）先根据λνc=算出五个波长λ对应的频率ν，以频率ν为横轴，遏止电势差U a 为纵轴，标出五个点的位置，再拟合出U a ~ν直线，如图：题12-5图（2）曲线在横轴上的截距即为该金属的红限频率，从图上读出红限频率Hz 1060.5140⨯≈ν 故红限波长m 104.5700-⨯==νλc（3）在拟合后的U a ~ν直线上另取A ，B 两点，得斜率s V 101.415⋅⨯=--=-BA aBaA U U k νν因W h E eU a -==νk m ，有 νΔΔh U e a =得普朗克常数s J 106.6ΔΔ34⋅⨯===-ek U eh aν12-6 当钠光灯发出的黄光照射某一光电池时，为了遏止所有电子到达收集器，需要0.30V 的负电压。

如果用波长400nm 的光照射这个光电池，若要遏止电子，需要多高的电压？极板材料的逸出功为多少？解 光电子最大初动能与遏止电势的关系是 a eU E =km 再根据爱因斯坦光电效应方程 W E ch +=km λ联立上述两方程，得到材料的逸出功a eU chW -=λ当用波长nm 3.589=λ的钠光灯黄光照射时，遏止电势差V 3000.=U ，代入解得eV 811.=W 。

当用波长nm 400='λ的光照射时，同样有W U e cha+'='λ 解得此时的遏止电压V 30.1=-'='eW c hU aλ 12-7 在康普顿散射中，入射X 射线的波长为0.040nm ，求在60︒散射方向上其波长的变化。

解 在康普顿散射中，波长改变量 nm 102.1)cos 1(Δ300-⨯=-=-=ϕλλλcm h12-8 试求质量为0.01kg 、速度为10m/s 的一个小球的德布罗意波长。

解 小球的德布罗意波长 m 106.633-⨯===vm hp h λ12-9 计算下列各种射线光子的能量、动量和质量。

（1）nm 700=λ的红光；（2）nm 1050.22-⨯=λ的X 射线；（3）nm 1024.13-⨯=λ的γ射线。

解 （1）根据爱因斯坦光子理论，对波长nm 700=λ的光子，能量由频率决定 J 1084.219111-⨯===λνhch E动量由波长决定 m 1047.92811-⨯==λhp质量可根据质能关系求得kg 1015.336211-⨯==cE m （2）对波长nm 1050.22-⨯=λ的光子 能量 J 1096.715222-⨯===λνhch E动量 m 1065.22322-⨯==λhp质量kg 1084.832222-⨯==cE m（3）对波长nm 1024.13-⨯=λ的光子能量 J 1060.113333-⨯===λνhch E动量m 1035.52233-⨯==λhp质量 kg 1078.130233-⨯==cE m12-10 在一束电子射线中，电子动能为200eV ，求此电子的德布罗意波长（由于电子的动能值并不大，不必考虑相对论效应）。

解 因为不必考虑相对论效应，所以由2v m E k 21=得到电子速度与动能的关系em E k2=v ， 故电子的德布罗意波长 m 1069.8211k-⨯====E m hm p h e vh λ12-11 假定对某粒子动量进行测量可以精确到千分之一，试确定这个粒子位置的最小不确定量与德布罗意波长的关系。

解 根据坐标和动量的不确定关系 πh p x x 4ΔΔ≥⋅ 按题意1000Δpp =，又因p h =λ，可得 λλ6.79π250π41000πΔ4Δ===≥p h p h x12-12 一般显像管中电子的速度约为v x =1.0⨯107m/s ，若测量电子速度的精确度为1%（这在实验中已很精确），试求射线束中电子位置的不确定量，并对所得结果进行讨论。

解 根据坐标和动量的不确定关系 π4ΔΔhp x x ≥⋅，按题意%1Δ⨯=x x v v ，则有 m 108.5Δπ4Δ10-⨯=≥xv e m hx由此可见，尽管电子位置的可能误差比电子本身尺度（10-15m ）大得多，但射线束在屏上的斑点已小到10-10m 量级，对大多数观测已足够清晰了，故可把电子看成宏观质点，用牛顿力学讨论其运动规律显然是可行的。

12-13 如果一个原子处于某能态的寿命为1.0×10-6s ，那么这个原子的这个能态的能量的最小不确定量是多少？解 粒子处于某能态的寿命即为粒子处在该能态的时间不确定量，即有s 101.0Δ-6⨯=t 。

根据能量和时间的不确定关系，解得eV 103.3J 103.5πΔ4Δ1029--⨯=⨯=≥thE12-14 粒子在一维无限深势阱中运动，势阱宽度为a ，其波函数为axa x π3sin 2)(=ψ (0<x <a )。

求粒子出现的概率最大的各个位置。

解 概率密度为波函数振幅的模的平方，有axa x π3sin2)(22=ψ。

概率密度最大值对应的x 值，为粒子在该处出现概率最大的位置。

当1π3sin 2=a x 时，概率密度最大，解得 ,2,1,063±±=+=k ak a x又因0<x <a ，故粒子出现概率最大的位置是 65 ,2 ,6aa a x =12-15 已知巴尔末系的最短波长是365.0nm ，试求氢的电离能。

解 对巴尔末系有2=n ，当电子从∞=n 跃迁到2=n 能级时发射波长nm 03652.=∞λ的光子。

最短波长2∞λ的光子具有的能量是22∞∞=λhcE氢的电离能是使氢原子电离（即从1=n 激发到∞=n 能级）所需要的能量。

根据玻尔理论，电离能为(0Δ1-=-=∞E E E eV 6.132)22222==-∞∞λhcE12-16 氢原子光谱的巴尔末线系中，有一光谱线的波长为434.0nm ，试求：（1）与这一谱线相应的光子能量为多少电子伏特？（2）该谱线是氢原子由能级E n 跃迁到能级E k 产生的，n 和k 各为多少？（3）最高能级为E 5的大量氢原子，最多可以发射几个线系，共几条谱线？请在氢原子能级图中表示出来，并说明波长最短的是哪一条谱线？解 （1）波长为434.0nm 的光子能量 eV 86.2===λνhch E（2）对巴尔末系，有2=k由能级E n 跃迁到能级E k 发射光子的能量 νh k E n E E E E k n =-=-=2121Δ 解得 5=n（3）最多可发射4个线系，共10条谱线，如图。

图中的 每一个箭头都代表着一条谱线。

最短波长为15E E →所发出的谱线，对应着图中最左侧的 第一个箭头。

n = 1n = 2n = 3 n = 4 n = 5 题12-16图12-17 在气体放电管中用能量为12.2电子伏特的电子去轰击氢原子，试确定此时的氢所能发射的谱线的波长。

解 处于基态的氢原子被能量为12.2电子伏特的电子轰击后，可能具有的最高能量为n E ， 因为能量守恒，故有eV 2121.=-E E n所以最高能量n E 为 1.4eV 12.2eV 13.6eV eV 2.121-=+-=+=E E n 根据玻尔理论，激发态与基态的能量关系为 221eV6.13n n E E n -== 解得12.34.16.131===n E E n 因n 为正整数，故可能达到的最高能级是3=n 。

当原子从3=n 的激发态跃迁回基态时，可能可发射3条谱线，对应于13=→=n n ，23=→=n n 和12=→=n n 的跃迁。

根据玻尔氢原子理论 k n E E ch-=λ，可以计算得到13E E →所发射谱线的波长 nm 1031331=-=E E hcλ23E E →所发射谱线的波长 nm 6562332=-=E E hcλ12E E →所发射谱线的波长nm 1221221=-=E E hcλ12-18 试计算氢原子光谱中莱曼系的最短波长和最长波长。

解 对莱曼系，有1=n ，根据玻尔氢原子理论 1E E c h n -=λ计算波长λ，其中21nE E n =最短波长对应于∞=n 到1=n 的跃迁 nm 2.911min =-=∞E E hcλ最长波长对应于2=n 到1=n 的跃迁 nm 12212max =-=E E hcλ12-19 假设一个波长为300nm 的光子被一个处于第一激发态的氢原子所吸收，求发射电子的动能？解 波长为300nm 的光子的能量 eV 14.4==λhcE 光第一激发态氢原子的2=n ，其能量为 eV 4.32eV 6.1322212-=-==E E 吸收光子后的总能量即发射电子的动能 eV 74.02212k =+=+=E hcE E E λ光12-20 已知氢光谱的某一线系的极限波长为364.7nm ，其中有一谱线波长为656.5nm 。