第二章假设检验3.2 —种元件,要求其使用寿命不低于1000 （小时），现在从一批这种 元件中随机抽取25件,测得其寿命平均值为950 （小时）。
已知这种元 件寿命服从标准差 100（小时）的正态分布，试在显著水平0.05下确定这批元件是否合格 解:提出假设：H 。
：1000, H i : 1000构造统计量：此问题情形属于u 检验，故用统计量:u=此题中：x 950 0100 n=25代入上式得：拒绝域:V= 本题中： u u 10.05 u 0.95 1.64 即, u U 0.95拒绝原假设H 。
认为在置信水平0.05下这批元件不合格。
3.4某批矿砂的五个样品中镍含量经测定为（%）：3.25 3.27 3.24 3.26 3.24 设测定值服从正态分布，问在 0.01下能否接受假设，这批矿砂的镍含量为3.25？ 解：n=5;x=zeros(1, n);x=[3.25 3.27 3.24 3.26 3.24]; x1=sum(x)/n; x2=0; for i=1: nx2=x2+(x(1,i)-x1)A 2;1000=950-1000 100 25 2.5endx2=x2/n; S=sqrt(x2);提出假设：H 0: J 0 3.25 H 1 : 1构造统计量：本题属于1 2未知的情形，可用t 检验，即取检验统计量为:-X — S .n 1本题中，X 3.252, S=0.0117,代入上式得：否定域为:V 二 t>t (n 1)1— 2本题中， 0.01,t 0.995(4) 4.6041Qt t1 - 2接受H 0，认为这批矿砂的镍含量为 3.25。
3.5确定某种溶液中的水分，它的10个测定值X 0.452%, SS 百本题中，X 0.452% 代入上式得：拒绝域为:拒绝H °1 H 0： 0.5% (ii)H 0 : 0.04%_3.252-3.25_0.0117 -F10.3419设总体为正态分布N(,2),试在水平5%检验假设:H 1 : 0.5%H 1 : 0.0.4%(i)构造统计量：本文中未知，可用t 检验。
取检验统计量为t=°452%-0.5% -4.11430.035% J0-1V= 本题中, t >t 1- (n 1) 0.05n=10t 0.95(9) 1.8331 t4.1143n=50.035%,t= S=0.035%曰（ii ）构造统计量： 未知，可选择统计量2nS 22"0.035% n=10 0 0.04%否定域为:本题中，12(n 1)Q 212(n 1)接受H 。
3.8用重量法和比色法两种方法测定平炉炉渣中 SiO 2的含量，得如下 结果重量法：n=5 次测量，X 20.5%,S 0.206% 比色法：n=5 次测量，Y 21.3%,S 20.358%假设两种分析法结果都服从正态分布，问 （i ） 两种分析方法的精度（）是否相同？ （ii ）两种分析方法的均值（）是否相同？（ 0.01解: （i ）提出原假设：H o ： 1 2H 1 : 1 2对此可采用统计量口（门 2 "S 'F=2吐（n 1 1）S 2在H o 下，F: F （m 1, n 2 1），我们可取否定域为V= F<F （n-i 1， n 2 1） U F>F g 1, n 2 1）1 —2 2此时 P （ V H 0）= 0.01 本题中，n,5, x 20.5%, =0.206%本题中，S 代入上式得:10(°.035%)27.6563(0.04%)2V=12(n 1) fa®) 16.919n15, y 21.3%, 0=0.358%代入上式得：2 2n 1(n21)3 5 (5 1)(0.206%)F= 2n2(m 1)S2 5 (5 1) (0.358%)1F o.oo"，5)=149^ 0.0669F o』95(5, 5) =14.94由于F0.005(5, 5)VF<F0.995(5, 5)接受H。
即无明显差异。
(ii)提出假设：H0： 1 2H| ：1 2这种未知的场合，用统计量1 2 _其中S2— (X i X)2S；—(Y Y)2m i 1 n2 i 1在H0成立时，t服从自由度为n n2 2的t分布＜否定域为：V= t t1 ((A! n2 2))1 —2此时P( V H°)= 0.01本题中，n 5, x 20.5%, 0=0.206%g 5, y 21.3%, 0=0.358%代入上式得：t= ne 2(m n2 2) (X Y)V n1 n2 JmS2 n2S；5 5 (5 5 2) _________ (20.5%_21.3%) _____N 5 5& (0.206%)2 5 (0.358%)2=-3.8737t (n1 n2 2) 10.995(8) 3.35541-—2Q t t1 (n, n2 2)1-—2拒绝H0,即差距显著。
3.9设总体X : N( ,4), X1,K ,X16为样本，考虑如下检验问题:H0: 0 H1: 1(i) 试证下述三个检验(否定域)犯第一类错误的概率同为V i二{2才-1.645}V2= 1.50 2X 2.125V3= 2X 1.96 或2X 1.96(ii) 通过计算他们犯第二类错误的概率，说明哪个检验最好? 解:P x V H00.05X即，P U ------------ U 0.975 0.051~2这里H。
：0P 冈2*1.96 0.05V12X 1.645X 0P 2X 1.645 P 1.645 ( 1.645) 1石=1-0.95=0.05P(V3H0)=1-P 2X 1.96 2(1 (1.96)) 0.05 (ii)犯第二类错误的概率=P -V H1V1: 1=P 2X 1.645 1=0.05 (1.645)V2 1.50 2X 2.125 1.50 2.120P V2 H0 (2.215) (1.50)V 2X 1.96 或2X 1.96n0.98 0.93 0.051.962X 1.96i 1nP i 20X i =P0.355 1 (0.355) 0.36nV 2: 2 1 P 1.50 2X 2.1251X 1=1-P 3.50 4.125•匚=1- (4.125)+ (3.50)=1V 3: 3 P 2X| 1.961X 1 =P 0.04 3.96n= (3.96)- (0.04)=0.99996092-0.516=0.48396092 V 出现第二类错误的概率最小，即V 最好。
3.10 一骰子投掷了 120次，得到下列结果:问这个骰子是否均匀？ （ 0.05）解:1本题原假设为： H ° ： p 16这里 n=120,nP j 20本题采用的统计量为 Pearson k(n i 叩J 2i 1np i代入数据为:km npJ 2( 23-20)( 26-20)L (15-20)=4 8i=1,2, L ,6 2统计量即,221(k-1) = 0(5) =11.071由于2 1(k-1)所以接受H o即认为这个是均匀的。
3.11某电话站在一小时内接到电话用户的呼唤次数按每分钟记录 的如下表:试问这个分布能看作为泊松分布吗？ ( =0.05)解:检验问题为：kH o ：P(x k) — 参数为 k!已知的最大似然估计X np 0 § 1卫 L 6*丄60 60 60P X 7 1 P X 6 0 =0.6145(下面为MATLAB 编程计算程序。
)P F3巳F6耳P X 0P X 1 P X 2 P X 3 P X 4 P X 5 P X 620e 20!1 22 e 1! 22e 2 2! 23e 2 3! 24e 2 4! 25e 2 5! 26e 2 6!e 2 0.1353 2* e 2 0.2707 2* e 2 0.2707 1.5* e 2 0.2030 2 2 *e 2 0.0902 3 4 2* e 2 0.0361 15 4 2 *e 2 0.0120457* — L 60k(n i np)2 (8 60*0.1353) (16 60*0.2707)i 1np i 60*0.1353 60*0.2707(1 60*0.0120)2 60*0 .0120由于 1 (k-1 ) = 0.95 (5) =1 1.071 Q 21(k-1 )接受H 0,即分布可以看作为泊松分布。
n=60; p=zeros(1,7);p=[exp(-2) exp(-2)*2 exp(-2)*2 exp(-2)*1.5 exp(-2)*(2⑶ exp(-2)*(4/15) exp(-2)*(8/90)]; nn=zeros(1,7); nn=[8 16 17 10 6 2 1]; sum=0; for i=1:7sum=sum+(( nn (1,i)-n*p(1,i))A 2)/( n*p(1,i)); end sumsum = 0.6145是否可认为这批滚珠直径服从正态分布？ ( 0.05)解：设X 为滚球的直径，其分布函数为F(x),则检验问题为xH 0：F(x)()在H 。
成立的条件下，参数，2的最大似然估计为 =15.078， 20.183315.0 15.8 15.2 15.1 15.9 14.7 14.8 15.5 15.6 15.3 15.1 15.3 15.0 15.6 15.7 14.8 14.5 14.2 14.9 14.9 15.2 15.0 15.3 15.6 15.1 14.9 14.2 14.6 15.815.2 15.9 15.2 15.0 14.9 14.8 14.5 15.1 15.5 15.515.115.1 15.0 15.3 14.7 14.5 15.5 15.0 14.7 14.6 14.2 3.13从一批滚珠中随机抽取了 50个，测得他们的直径为(单位:mm ):p p P 2 P14.6-15.078 0.4282(14.8 15.078)0.4282(15.1 15.078)(0.4282)(-1.1163) 0.1321 (-1.1163) (-0.6492) (-0.6492)(0.0514)(-1.1163) 0.1260 (-0.6492) 0.2624P4 (-0-6492) (0.7520) (0.0514) 0.2535P5 1 P l P2 P3 P4 0.22602(k-m-1 ) = ：.95(2)=5.991 Q 2I. (k-m-1 ) =5.9911接受H 0,认为滚珠直径服从正态分布。