复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．)31ln(i --的模，幅角。
2．-8i 的三个单根分别为： ， ， 。
3．Ln z 在 的区域内连续。
4．z z f =)(的解极域为：。
5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f。
6．=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s。
7．指数函数的映照特点是： 。
8．幂函数的映照特点是：。
9．若)(ωF =F [f (t )]，则)(t f = F )][(1ω-f。
10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=。
二、(10分)已知222121),(y x y x v +-=，求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数，且f (0)=0。
三、（10分）应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2） 1．⎰=-2||)1(z z z dz2．⎰-c i z z3)(cos C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。
五、（10分）求函数)(1)(i z z z f -=在以下各圆环内的罗朗展式。
1．1||0<-<i z 2．+∞<-<||1i z六、证明以下命题：（5分×2）（1）)(0t t -δ与o iwt e -构成一对傅氏变换对。
（2）)(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i七、（10分）应用拉氏变换求方程组⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。
八、（10分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案（一）一、1． 22942ln π+ ，ππk arctg 22ln 32+-2.3-i2i3-i3. Z 不取原点和负实轴4. 空集5. 2z 6． 07.将常形域映为角形域8. 角形域映为角形域9.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(2110.⎰∞+-0)(dt e t f st二、解：∵y ux x v ∂∂-=-=∂∂ xuy y v ∂∂==∂∂∴c xy u += （5分）c xy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0（3分）∴222222)2(2)(2)(z i xyi y x i y x i xy z f -=+--=--=（2分）三、解：原式=（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π 01=z 12=z（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π 33=z ∞=4z2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分）z z z s⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（=0∴原式=（2分） 23126⨯⨯i π=i 63π-四、1．解：原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221 （3分） z 1=0z 2=1]11[2+-=i π=0（2分）2．解：原式iz z =''=s co !2i z z i =-π=）（cos i i cos π-==1ich π-五、1．解：nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分）（分）（分）（11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=（2分）2．解：⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i （2分） 六、1．解：∵00)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰（3分） ∴结论成立 （2）解：∵1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰ti t i e dw e（2分）∴)(2w πδ与1构成傅氏对∴)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i（2分）七、解：∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX（3分）S （2）-（1）： ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s （3分）∴cht e e t Y tt -=--=-121211)( 八、解：①定义；②C-R 充要条件Th ； ③v 为u 的共扼函数10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（）条件。
2．w =z 2在z =-i 处的伸缩率为（）。
3．i z 212--=的指数表示式为（）。
4．Ln(-1)的主值等于（）。
5．函数e z 以（）为周期。
6．设C 为简单闭曲线，则⎰-cz z dz=（ ）。
7．若z 0为f (z )的m 级极点，则=]),([Re 0z z f s （）。
8．若=ω)(F F f (t )（）。
9．)(20t t -πδ与（）构成一个付立叶变换对。
10．已知L 11][sin 2+=s t ，则L =]sin [t t（）。
二、计算题(7分×7)1．求p ，m ，n 的值使得函数)()(2323pxy x i y nx my z f +++=为解析函数。
2．计算⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-3||2311z dz z z 3．已知调和函数y x u )1(2-=，求解析函数iv u z f +=)(使得i f =)2(。
4．把函数)2)(1(12-+z z 在2||1<<z 内展开成罗朗级数。
5．指出函数zz z z f 21)(2--=在扩充复平面上所有孤立奇点并求孤立奇点处的留数。
6．计算dz z ze z z⎰=-2||217．利用留数计算积份θθ+⎰πd 20cos 21三、积分变换（7分×3）1．设t t t f 00cos sin )(ωω=（0ω为常数），求F [f (t )]。
2．设f (t )以π2为周期，且在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<≤<=πππ2020cos )(t t t t f 求L [f (t )]。
3．求方程t e y y y -=-'+''32满足条件1)0(,0)0(='=y y 的解。
（L [e -t ]=11+s ）。
复变函数与积分变换试题答案（二）一、1． 充要条件2. 23.i eπ654- 4.i π5.i π26. 原式=⎩⎨⎧内不在内在C z C z i 0002π7．)()()!1(10110z f z z dz d im l m m m z z ----→ 8.⎰∞+∞-ωωωπd e F i t j )(21 9.2t j e ω-π10.⎰∞-π=+sarcctgs ds s 2112二、1. 解：P n nyp yvnxy x u -=⇒∂∂==∂∂22 （3分）3332222-=⇒--=∂∂-=+=∂∂n py x xvnx my y u 3m =p∴3,1,3-==-=n m p（1分）2．原式=（25分）i i i dz z z z z π=π+π=++-⎰⎰==81624(23113||3||分）（分）3．原式=)(22x g y v yvy x u +=⇒∂∂==∂∂ （2分）)()1(2x g xvx x u '-=∂∂-=-=∂∂c x x x g ++-=2)(2（2分）∴)1()1(2)(22+-+-=x y i y x z f1)2)2(200=⇒++=⇒===c c y i y i i f y y（2分）∴)12()1(2)(22++-+-=x x y i y x z f（1分） 4．解：∑∞⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+＋＝－）（－＝0222221111111n n n z z z z z （2分）∑∞⎪⎭⎫⎝⎛⋅=02212112121＝＝－－－－n nz z z（2分）∴∑∑∑∞∞=⋅+4010122212111－＝＋＝）＋（－＝－）（－－n k k n n n n n n n b a C z z z z （3分）5．解：∞＝，＝，＝z z z 20（2分） 21221lim]0),([Re 0=--=→z z z f s z（2分） 21221lim ]2),([Re 2=--=→z z z f s z（2分）1]),([Re -=∞z f s（1分）6．解：原式（3分）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+π=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-π=-22231,1Re 1,1Re 2122e e i z ze s z ze s i z z 分）（12ch i ⋅=π（1分）7．解： 原式=（2分）iz dz zz z ⋅++⎰=1||22121=（1分）dz z z iz ⎰=++-1||2142=（1分）dz z z iz ⎰=++-+-1||)32)(32(2=（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++-π32,142Re 22z z i s i =（1分）32323222ππ=+++--i i三、1．解： F [f (t )]⎰⎰∞+∞--∞+∞--==dt te dt et f t j tj ωωω02sin 21)( （3分）)]2()2([[2100ωωδωδπ--+=w i （4分）2.解：L [f (t )]=（2分）⎰---ππ202)(1dt e t f e st s（2分）=⎰---ππ02cos 11dt te e sts=（2分）22111sse s e s s ++⋅---ππ （1分）=22111sse s +⋅--π3．解：F )32(y y y -'+''=F [e -t ]（1分）11)(3))0()((2)0()()(2+=--+--s s Y Y s sY Y s sY s Y s （2分）32111)(2-+++=s s s s Y =)1)(3)(1(2-+++s s s s （2分）]3,1,1,])([Re )(--==∑k st z e s Y s t Y =t t t e e e 3818341---+-（2分）复变函数与积分变换试题（三）1.（5）复数z 与点(,)x y 对应,请依次写出z 的代数、几何、三角、指数表达式和z 的3次方根。