一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。

(1) i 解：2cossin22ii e i πππ==+(2) -1解：1cos sin i e i πππ-==+ (3)1+解：()/3122cos /3sin /3i e i πππ+==+ (4) 1cos sin i αα-+ 解：2221cos sin 2sin 2sincos2sin(sincos )2222222sincos()sin()2sin 222222i i i i i e πααααααααααπαπαα⎛⎫- ⎪⎝⎭-+=+=+⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭(5) 3z解：()3333cos3sin3i z r e r i θθθ==+ (6) 1i e +解：()1cos1sin1i i e ee e i +==+(7)11ii-+ 解：3/411cos3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++二、计算下列数值(1) 解：1ar 21ar 21ar 2 b i ctg k a bi ctg abi ctgaπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==⎧⎪=⎨⎪⎩(2)解：6226363463222i k i i i i e i ee e iπππππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎧=+⎪⎪⎪⎨====-+⎪⎪⎪=-⎩(3) i i 解：()2222ii k k i i e eππππ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(4)解：()1/2222ii k k eeππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(5) cos5α解：由于：()()552cos5i i e e ααα-+=，而：()()()()()()()()5555555555cos sin cos sin cos sin cos sin nni nn nni n n e i C i e i C i αααααααααα-=--==+==-=-∑∑所以：()()()()()()()()()()()555505555043253543251cos5cos sin cos sin 21 cos sin 112 5cos sin cos sin cos 5cos sin 10cos sin cos n n n nn n n n nn n C i i C i i C i ααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=+-⎣⎦⎡⎤=+-⎣⎦=++=-+∑∑(6) sin5α解：由于：()()552sin 5i i ee ααα--=，所以：()()()()()()()()()()()()55550555505234245552341sin 5cos sin cos sin 21 cos sin 1121 sin cos sin sin cos sin 10cos sin 5sin cos n n n nn n n n nn n C i i i C i i i C i C i iααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=--⎣⎦⎡⎤=--⎣⎦=++=-+∑∑ (7) cos cos2cos n ααα+++L L 解：()()221cos cos 2cos ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ααααααααααααααααααααααα----------⎡⎤+++=+++++++⎣⎦⎡⎤--+--⎡⎤--⎢⎥=+=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦+=L L L L L L (1)(1)22(1cos )12cos 22cos(1)2cos cos 1cos(1)cos 22(1cos )2(1cos )1sin()sin22 2sin2i i n i n in in e e e e n n n n n ααααααααααααααααα+-+-⎡⎤---++⎢⎥-⎣⎦⎡⎤--++--++==⎢⎥--⎣⎦+-=(8) sin sin 2sin n ααα+++L L 解：()()221sin sin 2sin ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e i e e e e e e e e e e i e e i e i αααααααααααααααααααααα---------⎡⎤+++=+++-+++⎣⎦⎡⎤-----⎡⎤--⎢⎥=-=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦=L L L L L L (1)(1)112(1cos )12sin 2sin(1)2sin sin sin(1)sin 22(1cos )2(1cos )1cos()cos22 2sin2i n in i i n in e e e e e i i n i n n n i n αααααααααααααααααα+--+-⎡⎤--+-++-⎢⎥-⎣⎦⎡⎤-++-++==⎢⎥--⎣⎦-++=1.2 复变函数1、试证明函数f (z )=Arg(z ) (-π<Arg(z) ≤π)，在负实轴上(包括原点)不连续。

证明：(1) 在负实轴上，任取一点z a =-，则分别由水平方向和垂直方向趋近z 点有：00lim ()lim ()lim ()lim ()y y y y f z Arg a i y f z Arg a i y ππ++--∆→∆→∆→∆→=-+∆==-+∆=-显然函数在负实轴上不连续。

(2) 在零点，沿i z re θ=方向趋近于零点则： 0lim ()lim ()i z z f z Arg re θθ∆→∆→==显然，其极限结果与路径相关，则该函数在0点无极限。

2、复平面上，圆周可以写成0Azz z z C ββ+++=，这里A ，C 为实数，β为复数。

证明：在平面上圆的一般方程表示为： 220x y ax by c ++++= 则在复平面上：11(),()22x z z y z z i=+=-，所以圆方程变形为：02222a b a b zz i z i z c ⎛⎫⎛⎫+-+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 若令：,22a b Ci c AAβ=-= 则：0Azz z z C ββ+++=2.1 解析函数1、试证明下列函数处处不可微：(1) ()f z z = (2) ()f z x =证明：(1) 在0z ≠处，有：0000()1lim lim lim lim z z z z z zx yz f z x x y y x yz x i y x i y r x i y∆→∆→∆→∆→∂∂∆+∆∆∆∆+∆∂∂===∆∆+∆∆+∆∆+∆ 若沿i z e θδ∆=方向趋近于z 点，则：()00()1cos sin 1limlim cos sin i i z z f z x y x y e z r e rθθδθδθθθδ-∆→∆→∆+==+∆ 显然，函数不可微。

(2) 在0z =处，有：00()lim lim z z z f z z x i y∆→∆→∆∆=∆∆+∆若沿i z e θδ∆=方向趋近于0点，则： 00()limlim i z z z f z e z x i yθ-∆→∆→∆∆==∆∆+∆显然，函数不可微。

2、设：33332222(,),(,),0(,)(,)0,0x y x y u x y v x y z x y x y u x y v x y z ⎧-+==≠⎪++⎨⎪===⎩试证明f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y )在原点满足C -R 条件，但不可微。

证明： 首先：(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)1,1(,)(,)(,)(,1,)1x u x y u x y y x y v x y v x y ∂∂==-∂∂∂∂==∂∂显然：(0,0)(0,0)(0,0)(0,0), (,)(,)(,) (,)x u x y v x y y u x y xy v x y ∂∂∂∂==-∂∂∂∂，在原点f(z)满足C-R 条件。

而在(0,0)点，f(z)的导数定义为：'000033332222()()(0)()()lim lim lim limz z z z x y x f z f z f f z f z z x i y x i y i x y x y y x i y ∆→∆→∆→∆→∆-∆∆-∆====∆∆+∆∆+∆∆∆+∆+∆+∆∆∆++∆∆ 若沿i z e θδ∆=方向趋近于0点，则：()()33033'4cos sin cos ()1()lim (1)(3)cos sin 4sin i z f z f z i i e z i θθθθθθθ-∆→-∆=+==++++∆显然，函数在原点的导数不存在，所以函数虽然在原点满足C-R 条件，但不可微。

C-R 条件只是函数可微的必要条件。

1.2 复变函数1、试证明函数f (z )=Arg(z ) (-π<Arg(z) ≤π)，在负实轴上(包括原点)不连续。

证明：(1) 在负实轴上，任取一点z a =-，则分别由水平方向和垂直方向趋近z 点有：0000lim ()lim ()lim ()lim ()y y y y f z Arg a i y f z Arg a i y ππ++--∆→∆→∆→∆→=-+∆==-+∆=-显然函数在负实轴上不连续。

(2) 在零点，沿i z re θ=方向趋近于零点则： 0lim ()lim ()i z z f z Arg re θθ∆→∆→==显然，其极限结果与路径相关，则该函数在0点无极限。

2、复平面上，圆周可以写成0Azz z z C ββ+++=，这里A ，C 为实数，β为复数。

证明：在平面上圆的一般方程表示为： 220x y ax by c ++++= 则在复平面上：11(),()22x z z y z z i=+=-，所以圆方程变形为： 02222a b a b zz i z i z c ⎛⎫⎛⎫+-+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 若令：,22a b Ci c AAβ=-= 则：0Azz z z C ββ+++=2.1 解析函数1、试证明下列函数处处不可微：(1) ()f z z = (2) ()f z x =证明：(1) 在0z ≠处，有：0000()1lim lim lim lim z z z z z zx yz f z x x y y x yz x i y x i y r x i y∆→∆→∆→∆→∂∂∆+∆∆∆∆+∆∂∂===∆∆+∆∆+∆∆+∆ 若沿i z e θδ∆=方向趋近于z 点，则：()00()1cos sin 1limlim cos sin i i z z f z x y x y e z r e rθθδθδθθθδ-∆→∆→∆+==+∆ 显然，函数不可微。