复变函数复习提纲（一）复数的概念1.复数的概念：z = X ∙ iy , X, y 是实数,x = Rez,y=lmz.r=_i.中的幅角。

3）arg Z与arctan~y之间的关系如下:Xy当X 0, arg Z= arctan 丄；Xyy -0,arg Z= arctan 二! Xyy ：： O,arg Z= arctan -二J X4)三角表示：Z = Z(COS8 +isin0 ),其中日=argz；注：中间一定是“ +”号。

5)指数表示：Z = ZeF,其中V - arg z。

(二)复数的运算1.加减法：若Z I=X I iy1, z2=X2 iy2,贝廿z1二z2= x1二x2iy1- y22.乘除法：1)若z1 = x1 iy1, Z2 =X2 iy2,贝U狂h[N×2 一y$2i x2% x1y2 ；乙_ X1+ i y_ (x1 十i和X—i y_ XX y*y y x；。

XZ2 X2+ i% (对讪-X )i2y 2+2X222+ 2X222)若Z I=Iz I e i^,z2 =∣z2 e iθ ,则Z1Z2 = ZIll Z2 e i(t1也；3.乘幕与方根1)若Z= Z(COS J isin * n (CoS n i Sinn )= n e i"。

2）幅角：在Z=O时，矢量与X轴正向的夹角, 记为Arg Z （多值函数）；主值arg Z 是位于（-理,二］注：两个复数不能比较大小2.复数的表示2)若 Z = IZ(COSB+isinT)=∣ze i ^,则（三）复变函数1∙复变函数： w = f z ,在几何上可以看作把 Z 平面上的一个点集 D 变到W 平面上的一个点集 G的映射. 2 •复初等函数1）指数函数：e z =e x cosy isiny ,在Z 平面处处可导，处处解析；且 注：e z 是以2二i 为周期的周期函数。

（注意与实函数不同） 3）对数函数：LnZ=In z+i （argz + 2kιι） （k=0,±1,±2八）（多值函数）；主值：In Z = Inz+iargz 。

（单值函数）・1LnZ 的每一个主值分支In z 在除去原点及负实轴的 Z 平面内处处解析，且InzZ注：负复数也有对数存在。

（与实函数不同） 3）乘幕与幕函数：a — e bLna（a = 0） ； Z b = e bLnZ （Zn 0）注：在除去原点及负实轴的 Z 平面内处处解析，且 Z S -bz b j 。

Sin z,cos Z 在 Z 平面内解析，且 Sinz = cosz, CoSZ=-Sinz注：有界性Sin z 兰1, cosz ≤1不再成立；（与实函数不同）Z■ ZZ■ Z,,,,e -ee +e 4) 双曲函数 ShZ,chz =2 2ShZ 奇函数，ChZ 是偶函数。

ShZ I ChZ 在Z 平面内解析，且 ShZ =chz, ChZ i - ShZ O （四）解析函数的概念1 •复变函数的导数1）点可导: f r fZ0；fZ 0 2）区域可导：f Z 在区域内点点可导。

2 •解析函数的概念1f 日 +2kπ ..日 +2kπ ) Z n I cos ----------- 十 ISi n --------I n n(k =0,12…n -1)(有n 个相异的值)4）三角函数:iz -ize -e Sin Z =2iiz JZ.e +e ,sin z ,,cos z ,tgz ,ctgz2 cos zcosz SinZ1）点解析： f Z 在Z 0及其Z O 的邻域内可导，称 f Z 在Z O 点解析; 2）区域解析： f Z 在区域内每一点解析，称 f Z 在区域内解析; 3）若f （Z ）在Z Q 点不解析，称Z Q 为f Z 的奇点;3.解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数 的复合函数仍为解析函数；（五）函数可导与解析的充要条件1.函数可导的充要条件：f Z =ux,y iv x,y 在Z=X iy 可导此时，有「z =』∙CX CX2.函数解析的充要条件：f z =u X,y iv x,y 在区域内解析U V此时f Zi- CX CX若U x, y ,v x,y 在区域因此在使用充要条件证明时，只要能说明u,v 具有一阶连续偏导且满足C - R 条件时，函数f （Z ） =U iv 一定是可导或解析的。

3.函数可导与解析的判别方法 1） 利用定义 （题目要求用定义，如第二章习题 1）2） 利用充要条件（函数以f z =u x,y 厂iv x,y 形式给出，如第二章习题 2）3） 利用可导或解析函数的四则运算定理。

（函数f Z 是以Z 的形式给出，如第二章习题3）（六）复变函数积分的概念与性质n1.复变函数积分的概念： C f ZdZ=Iim] f k ■■:Z k , C 是光滑曲线。

八k¥注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。

2. 复变函数积分的性质 1）f z dz I f ZdZ （ c'与C 的方向相反）；CC2） [ ： f z 「g z ]dz f Zd^L gZdz, ：「是常数；CCC=u x,y 和V X, y 在x, y 可微，且在 x,y 处满足C - D 条件:；:u；:v；:u；:v=U x, y 和v x,y 在x, y 在D 内可微，且满足 C-D 条件：—√v；:u.:xD 具有一阶连续偏导数，则 U x, y , v x, y 在区域D 内是可微的。

3) 若曲线C由c1与c2连接而成，则 f z dz f z dz亠IfZdZ。

C " ■ C^^ ■ C2 L■3.复变函数积分的一般计算法1)化为线积分：C f ZdZ= C Ud^Vdy i C VdX Udy ；(常用于理论证明)2)参数方法：设曲线C : Z = Z t (：•・：：『■)，其中「对应曲线C的起点，[对应曲线C的终点，β则f z dz = f[z t ]z(t)dt °C√(七)关于复变函数积分的重要定理与结论1 .柯西一古萨基本定理：设f Z在单连域B内解析，C为B内任一闭曲线，则J J.' f ZdZ=OC2.复合闭路定理：设f Z在多连域D内解析，C为D内任意一条简单闭曲线，C1,C2,…C n是C内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以q,c2,…C n为边界的区域全含于D内，贝yn①庠f ZdZ-V f Zd乙其中C与C k均取正向；C k=1 C k②∖ f ZdZ=O ,其中丨由C及c'(k=1,2,…n)所组成的复合闭路。

f3.闭路变形原理：一个在区域D内的解析函数f Z沿闭曲线C的积分，不因C在D 内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中C不经过使f Z不解析的奇点。

4解析函数沿非闭曲线的积分：设f z在单连域B内解析，G Z为f z在B内的一个原函数，则f Z dz = G Z2 -G Z (乙，Z2 B)z1说明：解析函数f Z沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。

5.柯西积分公式：设f Z在区域D内解析，C为D内任一正向简单闭曲线，C的内部完全属于D ,・f (Z )Z0为C内任意一点，则∙dz=2二if z0C Z-Z。

6.高阶导数公式：解析函数f Z的导数仍为解析函数，它的n阶导数为R 十dz=葺f(n)(z°) (n =1,2…)C(Z-Z O) n!其中C为f Z的解析区域D内围绕Z0的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于7.重要结论：1 [2πi, n = O 人、、-I dz。

( C是包含a的任意正向简单闭曲线)C(Z 一a)n10, n=0&复变函数积分的计算方法B1)若f Z在区域D内处处不解析，用一般积分法f ZdZ f[zt]ztdtL C Ct2)设f z在区域D内解析，C是D内一条正向简单闭曲线，则由柯西一古萨定理，N C f(Z)dz = OC是D内的一条非闭曲线，z∣,Z2对应曲线C的起点和终点，则有Z2Cf Z dz= z f Z d Z = F z2 -F Z I3)设f z在区域D内不解析曲线C内仅有一个奇点：Jf (Z ) 讯一L AlZ= 2兀I f (Zo )C Z Z0( f (Z)在C内解析)f(Z) * 2兀I 、FC^ZF dZ= n! f Hs曲线C内有多于一个奇点：nN f(Z)dz —Σ N f (z )dz ( C内只有一个奇点Zk)Ck7 Cbn或：∖ f zdz=2二L Res[f(z),z k](留数基本定理)C k壬若被积函数不能表示成f zn1，则须改用第五章留数定理来计算。

(z-Z o)(八)解析函数与调和函数的关系E2φ E2φ1 •调和函数的概念：若二元实函数:(X I y)在D内有二阶连续偏导数且满足-2 =0 ,2 2-X : V (X) V)为D内的调和函数。

2.解析函数与调和函数的关系解析函数f z =u iv的实部U与虚部V都是调和函数，并称虚部V为实部U的共轭调和函数。

两个调和函数U与V构成的函数f(z)=u∙iv不一定是解析函数；但是若u,v如果满足柯西一黎曼方程，则u∙iv —定是解析函数。

3.已知解析函数f Z的实部或虚部，求解析函数 f z =u iv的方法。

1）偏微分法：若已知实部U=U x,y ,利用 C — R 条件，得 ≤v √i v ；CX Cy再对（*）式两边对X 求偏导，得 —^―—dy ^X （**）GX C X ^e X J-，得.⅛y X ，可求出 g X ；X : y ：-X ：-X2)线积分法：若已知实部U=U X, y ，利用C-R 条件可得dv =二v dx ∙ 2∙v dy = - 一u dx •二U dy ，(XCy Cy C X故虚部为VUdX U dy C ；I (X ),y^ ∂y CX由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线）计算它，其中 的两点。

3）不定积分法：若已知实部 U=U X,y ,根据解析函数的导数公式和C-R 条件得知,CXCyCXCy将此式右端表示成 Z 的函数U Z ,由于「z 仍为解析函数，故f z = U z dz ∙ c（ C 为实常数）注：若已知虚部 V 也可用类似方法求出实部U.（九）复数项级数1. 复数列的极限1） 复数列{: n^{a n ib n } （ n =1,2…）收敛于复数■■ - a bi 的充要条件为Iim a r l =a,Iimb n =b（同时成立）n 厂n ,•2） 复数列{ ：、}收敛二实数列&},{ b n }同时收敛。