2010——2016《不等式》高考真题
2010全国卷设函数f(x)=241
x-+
(Ⅰ)画出函数y=f(x)的图像;
(Ⅱ)若不等式f(x)≤ax的解集非空,求a的取值范围. 2011全国卷设函数()||3
=-+,其中0
f x x a x
a>.
(I)当a=1时,求不等式()32
≥+的解集.
f x x
(II)若不等式()0
x≤-,求a的值.
f x≤的解集为{x|1}
2012全国卷已知函数f (x ) = |x + a | + |x -2|.
(Ⅰ)当a =-3时,求不等式f (x )≥3的解集;
(Ⅱ)若f (x )≤|x -4|的解集包含[1,2],求a 的取值范围。
2013全国卷Ⅰ 已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +.
(Ⅰ)当a =-2时,求不等式()f x <()g x 的解集;
(Ⅱ)设a >-1,且当x ∈[2a -,12
)时,()f x ≤()g x ,求a 的取值范围.
2013全国卷Ⅱ 设a ,b ,c 均为正数,且a +b +c =1,证明:
(1)ab +bc +ac ≤13; (2)2221a b c b c a
++≥.
2014全国卷Ⅰ 若,0,0>>b a 且ab b
a =+11
(I )求33b a +的最小值;
(II )是否存在b a ,,使得632=+b a ?并说明理由.
2014全国卷Ⅱ设函数()
f x=1(0)
++->
x x a a
a
(Ⅰ)证明:()
f<,求a的取值范围.
f x≥2 (Ⅱ)若()35
2015全国卷Ⅰ已知函数=|x+1|-2|x-a|,a>0.
(Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(Ⅱ)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围
2015全国卷Ⅱ设d
,均为正数,且d
a,,
c
b
a+
+.证明:
=
b
c
(1
2016全国卷Ⅰ已知函数f(x)= ∣x+1∣-∣2x-3∣.
(I)在答题卡第(24)题图中画出y= f(x)的图像;(II)求不等式∣f(x)∣﹥1的解集。
2016全国卷Ⅱ 已知函数f (x )= ∣x -21∣+∣x +2
1∣,M 为不等式f (x ) <2的解集.
(I )求M ;
(II )证明:当a ,b ∈M 时,∣a +b ∣<∣1+ab ∣。
(Ⅰ)由于()x f ={25,23, 2.x x x x -+<2.-≥则函数()x y f =的图像如图所示。
……5分 (Ⅱ)由函数()x y f =与函数y ax =的图像可知,当且仅当2a <-时,函数()x y f =与函数y ax =的图像有交点。
故不等式()x f ax ≤的解集非空时,a 的取值范围为
()1,2,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭。
……10分 2011全国卷
(Ⅰ)当1a =时,()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥。
由此可得 3x ≥或1x ≤-。
故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-。
( Ⅱ) 由()0f x ≤ 得30x a x -+≤
此不等式化为不等式组30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩ 或30
x a a x x ≤⎧⎨-+≤⎩ 即 4x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩ 或2
x a a x ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩ 因为0a >,所以不等式组的解集为{}|2a
x x ≤- 由题设可得2a
-= 1-,故2a =
2012全国卷
(1)当3a =-时,()3323f x x x ≥⇔-+-≥
2323x x x ≤⎧⇔⎨-+-≥⎩或23323x x x <<⎧⇔⎨-+-≥⎩或3323x x x ≥⎧⇔⎨-+-≥⎩
1x ⇔≤或4x ≥ (2)原命题()4f x x ⇔≤-在[1,2]上恒成立24x a x x ⇔++-≤-在[1,2]上恒成立
22x a x ⇔--≤≤-在[1,2]上恒成立30a ⇔-≤≤
(1)当a =-2时,不等式f (x )<g (x )化为|2x -1|+|2x -2|-x -3<0. 设函数y =|2x -1|+|2x -2|-x -3,
则y =15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩
其图像如图所示.从图像可知,当且仅当x ∈(0,2)时,y <0.
所以原不等式的解集是{x |0<x <2}.
(2)当x ∈1
,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时,f (x )=1+a . 不等式f (x )≤g (x )化为1+a ≤x +3.
所以x ≥a -2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣
⎭都成立. 故2
a -≥a -2,即43a ≤. 从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦
. 2013全国卷Ⅱ
解:(1)由a 2+b 2≥2ab ,b 2+c 2≥2bc ,c 2+a 2≥2ca ,
得a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ca .
由题设得(a +b +c )2=1,即a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca =1.
所以3(ab +bc +ca )≤1,即ab +bc +ca ≤13
.
(2)因为22a b a b +≥,22b c b c +≥,22c a c a
+≥, 故222()a b c a b c b c a
+++++≥2(a +b +c ), 即222a b c b c a
++≥a +b +c . 所以222a b c b c a ++≥1. 2014全国卷Ⅰ
(Ⅰ)
11a b =+≥
,得2ab ≥
,且当a b ==
故3342a b
+≥=,且当a b =
=时等号成立,∴33a b +的最小值为………5分
(Ⅱ)由(
Ⅰ)
知:23
a b +≥≥,由于>6,从而不存在,a b ,使得236a b +=.…10分
2014全国卷Ⅱ
(Ⅰ)由a>0,有f (x )=|x+1/a |+|x-a |≥|x+1/a-(x-a)|=1/a+a ≥2. 所以f (x )≥2.
(Ⅱ)f (x )=|3+1/a |+|3-a |.
当a >3时,f (3)=a+1/a ,由f (3)<5得3<a < 当0<a ≤3时,f (3)=6-a+,f (3)<5
得
<a ≤3综上所诉,a 的取值范围为
() 2015全国卷Ⅰ
(1)解析:(I )当1a =时,不等式()1f x >可化为1211x x +-->,等价于
11221x x x ≤-⎧⎨--+->⎩或111221x x x -<<⎧⎨++->⎩或11221x x x ≥⎧⎨+-+>⎩,解得223x <<. (2)由题设可得,12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩
, 所以函数()f x 的图像与x 轴围成
的三角形的三个顶点分别为21(
,0)3a A -,(21,0)B a +,(,+1)C a a ,所以△ABC 的面积为22
(1)3a +.由题设得22(1)3a +>6,解得2a >.所以a 的取值范围为(2,+∞). 2015全国卷Ⅱ
【解析】(
Ⅰ)因
为2
a b b
=++
,2c d =++,由题设
a b c d
+=+,ab
cd >
,得22
>
>
(Ⅱ)(ⅰ)若a b c d -<-,则22()()a b c d -<-.即22()4()4a b ab c d cd +-<+-.因为a b c d +=+,所以ab cd >
> (ⅱ)
>
则22>,
即a b ++
>c d ++因为a b c d +=+,所以ab cd >,于是22()()4a b a b ab -=+-2()4c d cd <+-2()c d =-.因此a b c d -<-
>a b c d -<-的充要条件. 2016全国卷Ⅰ
⑴ 如图所示:
⑵
()4133212342
x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩,≤,,≥ ()1f x > 当1x -≤,41x ->,解得5x >或3x <
1x -∴≤ 当312x -<<,321x ->,解得1x >或13x < 113x -<<∴或312
x << 当32
x ≥,41x ->,解得5x >或3x < 332
x <∴≤或5x >
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文案大全 综上,1
3x <或13x <<或5x >
()1f x >∴,解集为()()11353⎛⎫
-∞+∞ ⎪⎝⎭,,,
2016全国卷Ⅱ ⑴当时,由得解得;
当时,
; 当时,由得解得. 所以的解集.
(II )由(I
)知,当时,,从而
, 因此。