9
（Ⅱ）（ⅰ）若 a b c d ，则 (a b)2 (c d )2 ．即 (a b)2 4ab (c d )2 4cd ．因 为 a b c d ，所以 ab cd ，由（Ⅰ）得 a b c d ． （ ⅱ ） 若 a b c d ， 则 ( a b)2 ( c d )2 ， 即 a b 2 ab c d 2 cd ．因为 a b c d ，所以 ab cd ，于是 (a b)2 (a b)2 4ab (c d )2 4cd (c d )2 ．因此 a b c d ，综上， a b c d 是 a b c d 的充要条件． 2016 全国卷Ⅰ ⑴ 如图所示：
当 a＞3 时，f（3）=a+1/a，由 f（3）＜5 得 3＜a＜
当 0<a≤3 时，f（3）=6-a+ ，f（3）<5 得 <a≤3 综上所诉，a 的取值范围为
（
）
2015 全国卷Ⅰ
（ 1 ） 解 析 ： （ I ） 当 a 1时 ， 不 等 式 f (x) 1可 化 为 x 1 2 x 1 1， 等 价 于
2 x a 2 x 在[1, 2] 上恒成立 3 a 0
7
2013 全国卷Ⅰ
(1)当 a＝－2 时，不等式 f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.
设函数 y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，
5x,
x
1 2
,
则 y＝ x 2, 1 x 1, 其图像如图所示．从图像可知，当且仅当 x∈(0,2)时，y＜
x |x a
2
由题设可得 a = 1，故 a 2
2
2012 全国卷
（1）当 a 3 时， f (x) 3 x 3 x 2 3
3
x
x
2
2
x
3
或
3
2 x
x x
3 2
3
或
x
3
x
3 x2
3
x 1或 x 4
（2）原命题 f (x) x 4 在[1, 2] 上恒成立 x a 2 x 4 x 在[1, 2] 上恒成立
x
x 1 1 2x
2
1
或
x
1 x 1 2x
1 2
1
或
x
1
x 1 2x
2
1
，解得
2 3
x
2
.
x 1 2a, x 1
（2）由题设可得， f (x) 3x 1 2a, 1 x a ， 所以函数 f (x) 的图像与 x 轴围成
x 1 2a, x a
的三角形的三个顶点分别为 A(2a 1, 0) ， B(2a 1, 0) ， C(a, a+1) ，所以△ABC 的面
5
2016 全国卷Ⅱ 已知函数 f(x)= ∣x- 1 ∣+∣x+ 1 ∣，M 为不等式 f(x) ＜2 的解
2
2
集.
（I）求 M；
（II）证明：当 a,b∈M 时，∣a+b∣＜∣1+ab∣。
6
2010 全国卷
2x5,x
（Ⅰ）由于 fx = 2 x3,x2. 则函数 y fx 的图像如图所示。
2
3x 6, x 1.
0.
所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．
(2)当
x∈
a 2
,
1 2
时，f(x)＝1＋a.
不等式 f(x)≤g(x)化为 1＋a≤x＋3.
所以
x≥a－2
对
x∈
a 2
,
1 2
都成立．
故 a ≥a－2，即 a 4 .
2
3
从而
a
的取值范围是
1,
4 3
.
2013 全国卷Ⅱ
x 4 ，x ≤ 1
⑵
f
x
3x
2 ，1
x
3 2
4
x
，x
≥
3 2
f x 1
当 x ≤1， x 4 1 ，解得 x 5 或 x 3
∴ x ≤ 1
当 1 x 3 ， 3x 2 1，解得 x 1或 x 1
2
3
∴1 x 1 或1 x 3
3
2
当 x ≥ 3 ， 4 x 1 ，解得 x 5 或 x 3
3
积为 2 (a 1)2 .由题设得 2 (a 1)2 ＞6，解得 a 2 .所以 a 的取值范围为（2，+∞）.
3
3
2015 全国卷Ⅱ
【 解 析 】（ Ⅰ ） 因 为 ( a b)2 a b 2 ab ， ( c d )2 c d 2 cd ， 由 题 设
a b c d ， ab cd ，得 ( a b)2 ( c d )2 ．因此 a b c d ．
3
2014 全国卷Ⅱ 设函数 f x = x 1 x a (a 0)
a
（Ⅰ）证明： f x ≥2
（Ⅱ）若 f 3 5 ，求 a 的取值范围.
2015 全国卷Ⅰ 已知函数 =|x+1|-2|x-a|，a>0. （Ⅰ）当 a=1 时，求不等式 f(x)>1 的解集； （Ⅱ）若 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围
1
2012 全国卷已知函数 f(x) = |x + a| + |x－2|. (Ⅰ)当 a =－3 时，求不等式 f(x)≥3 的解集； (Ⅱ)若 f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求 a 的取值范围。
2013 全国卷Ⅰ 已知函数 f (x) =| 2x 1| | 2x a | , g(x) = x 3 . （Ⅰ）当 a =-2 时，求不等式 f (x) ＜ g(x) 的解集； （Ⅱ）设 a ＞-1,且当 x ∈[ a ， 1 )时， f (x) ≤ g(x) ,求 a 的取值范围.
4
2015 全国卷Ⅱ 设 a,b,c, d 均为正数，且 a b c d .证明： （1）若 ab cd ，则 a b > c d ; （2） a b > c d 是 a b c d 的充要条件.
2016 全国卷Ⅰ已知函数 f(x)= ∣x+1∣-∣2x-3∣. （I）在答题卡第（24）题图中画出 y= f(x)的图像； （II）求不等式∣f(x)∣﹥1 的解集。
2010——2016《不等式》高考真题 2010 全国卷 设函数 f(x)= 2x 4 1
（Ⅰ)画 出函数 y=f(x)的图像； （Ⅱ）若不等式 f(x)≤ax 的解集非空，求 a 的取值范围.
2011 全国卷 设函数 f (x) | x a | 3x ，其中 a 0 ． （I）当 a=1 时，求不等式 f (x) 3x 2 的解集． （II）若不等式 f (x) 0 的解集为｛x| x 1} ，求 a 的值．
解：(1)由 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，
得 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设得(a＋b＋c)2＝1，即 a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以 3(ab＋bc＋ca)≤1，即 ab＋bc＋ca≤ 1 .
3
(2)因为 a2 b 2a ， b2 c 2b ， c2 a 2c ，
b
c
a
故 a2 b2 c2 (a b c) ≥2(a＋b＋c)，
bca
即 a2 b2 c2 ≥a＋b＋c.
bca
所以 a2 b2 c2 ≥1.
bca
2014 全国卷Ⅰ
(Ⅰ) 由 ab 1 1 2 ，得 ab 2 ，且当 a b 2 时等号成立，
a b ab
8
故 a3 b3 3 a3b3 4 2 ， 且 当 a b 2 时 等 号 成 立 ， ∴ a3 b3 的 最 小 值 为 4 2 ………5 分 （ Ⅱ ） 由 (Ⅰ) 知 ： 2a 3b 2 6 ab 4 3 ， 由 于 4 3 ＞ 6 ， 从 而 不 存 在 a,b ， 使 得 2a 3b 6 .…10 分 2014 全国卷Ⅱ （Ⅰ）由 a>0,有 f（x）=｜x+1/a｜+｜x-a｜≥｜x+1/a-(x-a)｜=1/a+a≥2. 所以 f（x）≥2. （Ⅱ）f（x）=｜3+1/a｜+｜3-a｜.
由此可得 x 3 或 x 1。
故不等式 f (x) 3x 2 的解集为{x | x 3 或 x 1} 。
( Ⅱ) 由 f (x) 0 得 x a 3x 0
此不等式化为不等式组
x x
a a
3x
0
或
x a
a x
3x
0
x a
即
x
a 4
x a
或
x
a 2
因为 a 0，所以不等式组的解集为
……5 分
（Ⅱ）由函数 y fx 与函数 y ax 的图像可知，当且仅当 a 2 时，函数 y fx 与
函数 y ax 的图像有交点。故不等式 fx ax 的解集非空时，a 的取值范围为
,
2
1 2
,
。
……10 分
2011 全国卷
（Ⅰ）当 a 1时， f (x) 3x 2 可化为| x 1| 2 。
22
2
2013 全国卷Ⅱ 设 a，b，c 均为正数，且 a＋b＋c＝1，证明：
(1)ab＋bc＋ac≤ 1 ；
3
(2) a2 b2 c2 1.
bca
2014 全国卷Ⅰ
若 a 0,b 0, 且 1 1 ab
ab
（I）求 a3 b3 的最小值；
（II）是否存在 a,b ，使得 2a 3b 6 ？并说明理由.
2
∴3≤x1 或1 x 3 或 x 5
3
∴
f
x