(2)
(1)a22:
a11a22x1 + a12a22x2 = b1a22,
(2)a12:
a12a21x1 + a12a22x2 = b2a12,
两式相减消去x2, 得 (a11a22 – a12a21) x1 = b1a22 – b2a12;
（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2;
aa1211xx11

a12 x2 a22 x2

b1 , b2 .
D1

b1 b2
a12 , a22
aa1211xx11

a12 x2 a22 x2

b1 , b2 .
D2

a11 a21
b1 . b2
则二元线性方程组的解为
b1
x1

D1 D

b2 a11
a21
a12 a22 , a12 a22
a31 b3 a33
aa2111xx11

a12 x2 a22 x2

a13 x3 a23 x3

b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
aa2111xx11
思考题解答
解 设所求的二次多项式为
f x ax2 bx c, 由题意得 f 1 a b c 0, f 2 4a 2b c 3, f 3 9a 3b c 28,
得一个关于未知数 a, b, c 的线性方程组, 又 D 20 0, D1 40, D2 60, D3 20. 得 a D1 D 2, b D2 D 3, c D3 D 1

2,
x2

D2 D
21 3. 7
二、三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表
a11 a12 a13
a21 a22 a23
(5)
记
a31 a32 a33
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6)
a31 a32 a33

a12 x2 a22 x2

a13 x3 a23 x3

b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 b1 a13
得
D2 a21 b2 a23 ,
a31 b3 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
aa2111xx11

a12 x2 a22 x2

a13 x3 a23 x3

b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 b1 a13
得
D2 a21 b2 a23 ,
1 2 1
D 2 1 3 11 1 2 3 1
1 1 1
1 2 1 11 1 2 2 1 1 31
5 0,
同理可得
2 2 1
1 2 1
D1 1 1 3 5, D2 2 1 3 10,
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
思考题
求一个二次多项式f x,使 f 1 0, f 2 3, f 3 28.
定义: 在一个排列 i1 i2 ···is ···it ···in 中, 若数 is>it, 则称这两个数组成一个逆序.
例如: 排列32514 中, 逆序 32514
前面的数比 后面的数大
逆序 逆序
定义: 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数.
例如: 排列32514 中, 0 01
32514
a11
x2

D2 D

a21 a11
a21
b1 b2 . a12 a22
例1 求解二元线性方程组
32x1x12
x2 x2

12, 1.
解
3 2
D
3 (4) 7 0,
21
12 D1 1
2 14,
1
3 D2 2
12 21, 1

x1

D1 D

14 7
不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负.
利用三阶行列式求解三元线性方程组
如果三元线性方程组
aa2111
x1 x1

a12 x2 a22 x2

a13 x3 a23 x3
b1, b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 a12 a13 的系数行列式 D a21 a22 a23 0,

b1 , b2 ,

D3

a11 a21
a12 a22
b1 b2 .
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a31 a32 b3
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33
定义 由四个数排成二行二列（横为行、竖为列） 的数表
a11 a12
a21 a22
(4)
表达式 a11a22 a12a21称为数表（4）所确定的二阶
行列式，并记作 a11 a12
(5)
a21 a22
即
D a11 a21
a1212a21.
二阶行列式的计算 对角线法则
D 3x2 4x 18 9x 2x2 12 x2 5x 6,
由 x2 5x 0 解得 x 2 或 x 3.
例4 解线性方程组
2xx112xx22
x3 3x3
2, 1,
x1 x2 x3 0.
解 由于方程组的系数行列式
故所求多项式为
f x 2x2 3x 1.
§1.2 全排列及其逆序数 一、全排列
引例: 用1, 2, 3三个数字, 可以组成多少个没有重 复数字的三位数？
这是一个大家熟知的问题, 答案是: 3! = 6. 将此问题推广: 把n个不同的元素按先后次序排成 一列, 共有多少种不同的排法.
线性代数
第一章 行列式 第二章 矩阵及其运算 第三章 矩阵的初等变换及线性方程组 第四章 向量组的线性相关性 第五章 相似矩阵及二次型
第一章 行列式
§1.1 二阶与三阶行列式
一、二元线性方程组与二阶行列式
用消元法解二元(一次)线性方程组:
a11 x1 a12 x2 b1
(1)
a21 x1 a22 x2 b2
D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33
b1 a12 a13
即
D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33
aa2111xx11

a12 x2 a22 x2

a13 x3 a23 x3

b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2 .
a31 a32 b3
a11 b1 a13 D2 a21 b2 a23 ,
a31 b3 a33
则三元线性方程组的解为:
x1

D1 D
,
x2

D2 D
,
x3

D3 D
.
1 2 -4 例２ 计算三阶行列式 D - 2 2 1
-3 4 -2 解 按对角线法则，有
a31 a32 a33
aa2111xx11

a12 x2 a22 x2

a13 x3 a23 x3

b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
若记 或
b1 b2 b1
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 ,

b1 , b2 .
D a11 a12 , a21 a22
aa1211xx11

a12 x2 a22 x2

b1 , b2 .
D1

b1 b2
a12 , a22
aa1211xx11

a12 x2 a22 x2

b1 , b2 .
D a11 a12 , a21 a22
主对角线 a11 副对角线 a12
a12 a11a22 a12a21.
a22
对于二元线性方程组
aa1211
x1 x1

a12 x2 a22 x2
b1, b2 .
若记
D a11 a12 ,
系数行列式
a21 a22
aa1211
x1 x1

a12 x2 a22 x2
D 1 2 (2) 2 1 (3) (4) (2) 4 11 4 2 (2) (2) (4) 2 (3)
4 6 32 4 8 24 14.