2
x1
x
y
x (x1 , x 2 ) y ( y1 , y 2 ) 夹角 1 －2
y1
1
2 x2
y2
cos(1 2 ) cos1 cos2 sin 1 sin 2
x2 y2 x1 y1 ＋ 2 . 2 ＝ 2 . 2 2 1/ 2 2 1/ 2 2 1/ 2 2 1/ 2 ( x x ) ( y y (x1 x 2 ) ( y1 y 2 ) 1 2 1 2)
2 n
2 1 2 n
]
与此对应,在连续信号空间
其平方表示信号的能量
x 2 [ x ( t ) dt ]

2
1 2
2 在二维空间中 x 2 x1 x2 2 即矢量之长度
内积(点积) 研究两矢量· 相对位置之关系(对应两信号波形之相对 关系)
二维矢量空间之关系 (推导见 p321 面)
2
(t1 t t2 )
t2 1 2 [ f1 (t ) c12 f 2(t )] dt (t1 t2 ) t1
令
d 2 0 dc12
则误差能量 2
最小
10
t2 d 1 2 [ f1 (t ) c12 f 2 (t )] dt 0 dc12 t 2 t1 t1
若c12 0,则f1 (t )不包含f 2 (t )的分量 ,则称正交。
正交的条件：

t2
t1
f1 (t ) f 2 (t )dt 0
12
(0 t ) ( t 2 ) 1 试用sint 在区间（0，2 ）来近似 f (t )
例： f (t ) 1
t2 1 t2 d 2 f1 (t )dt 2 f1 (t ) f 2 (t )dt t1 t t 2 t1 dc12
2c12
t2
t1
f
2 2
(t )dt 0
解得
c12

t2
t1
f1 (t ) f 2 (t )dt
t2 t1

f (t )dt
11
2 2
正交条件
x 1 y1 x 2 y2 ＝ 2 . 2 2 1/ 2 1/ 2 (x1 x 2 ) ( y1 y 2 ) 2
3
x1 y1 x 2 y 2 x 2 y 2 cos( 1 2 ) x
此式反映了两矢量之间 的相对位置的
1
x
y
“校准”情况。 x1y1 x 2 y2为二维矢量的内积。
当V ， V 完全重合，则 随夹角增大， c12减小；
1
2
0, c12 1
当 90o , c 0 ， V 和 V2 相互垂直 12 1
8
V Vx Vy
Vy
V Vx Vy Vz
Vz
V
Vx
Vy
V
Vx
9
二维正交集
三维正交集
二、 正交函数
f1 (t ) c12 f 2 (t )
显然

所以
2
0
cost sin tdt 0
c12 0
说明cost 中不包含 sint 分量，
因此cost 和 sint 正交.
15
三、 正交函数集
n个函数 g (t ), g (t ), g (t ) 构成一函数集， 1 2 n 如在区间 (t1 , t2 ) 内满足正交特性，即
g (t) g (t)dt 0 t 2 t gi (t )dt Ki0Βιβλιοθήκη y112 x2
y2
两矢量夹角 90 cos( 1 2 ) 0 内积为零 两矢量夹角 00 cos( 1 2 ) 1 内积为最大值
多维情况内积符号及表 达式
离散 : x, y x i yi x T y
i 1 N
连续 : x.y x ( t ) y( t )dt
t1 i j
2 1
t2
(i j )
则此函数集称为正交函数集
16
任意函数由n个正交的函数的线性组合所近似
f (t ) c1 g1 (t ) c2 g 2 (t ) cn g n (t ) cr g r (t )
r 1 n
由最小均方误差准则，要求系数
c i 满足
f (t ) g i (t )dt
17
ci

t2
t1
f (t ) g i (t )dt
t2 t1

g i (t )dt
2
1 Ki

t2
t1
在最佳逼近时的误差能量
1 2 2 f (t )dt cr K r t2 t1 t1 r 1
第六章 信号的空间分析
.基本概念(6.1和6.2节内容) 信号与多维矢量
空间 线性(矢量)空间 内积(Inner product )空间 线性赋范空间 信号能量与矢量(范数)对应 内积运算与正交、相关 概念的联系
1
范数(Norm)(p318)
矢量 x (x1, x2 ......x N )( N维 ) 一般情况下,二阶范数为: x [ x
4
柯西－施瓦慈（ Caycy Schwarz)不等式
x, y x, x y, y
内积平方小于等于各自 范数平方之积。
2
x, y 对于二维 : cos( 1 2 ) x2 y2 x, y 1 1 x2 y2
x, y 1 x, x y, y
2
内积空间,信号能量受限。
5
§6.3-6.4信号的正交函数分解
•正交矢量 •正交函数
•正交函数集 •帕塞瓦尔定理
6
一、正交矢量
矢量：V1 和 V2 参加如下运算， Ve 是它们 的差，如下式：
V1 c12V2 Ve
V1
Ve
V1
V2
c12V2
Ve
V1
V2
Ve
V2
7
c12V2
c12V2
V1V2 cos V1 .V2 c12 V2 V1 cos V2 V2 V1.V2 c12 V22 c12表示 V1 和 V2互相接近的程度
4
1

2
t
0
4 -
1
13
解：
c12

2
0
f (t ) sin tdt
2
2 1 4 [ sin tdt ( sin t )dt 0

0
sin tda
2
f (t )
4

sin t
14
例：试用正弦sint 在（0，2）区间内来表示余弦cost