1-9 已知随机变量X 的分布函数为20,0(),011,1X x F x kx x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求：①系数k ； ②X 落在区间(0.3,0.7)内的概率； ③随机变量X 的概率密度。

解：第①问 利用()X F x 右连续的性质 k ＝1第②问{}{}{}()()0.30.70.30.70.70.30.7P X P X F P X F =<<=<≤-=-第③问 201()()0X X xx d F x f x elsedx ≤<⎧==⎨⎩1-10已知随机变量X 的概率密度为()()xX f x kex -=-∞<<+∞（拉普拉斯分布），求：①系数k ②X 落在区间(0,1)内的概率 ③随机变量X 的分布函数 解： 第①问 ()112f x dx k ∞-∞==⎰ 第②问{}()()()211221x x P x X x F x F x f x dx <≤=-=⎰随机变量X 落在区间12(,]x x 的概率12{}P x X x <≤就是曲线()y f x =下的曲边梯形的面积。

{}{}()()1010101112P X P X f x dxe -<<=<≤==-⎰第③问()102102xx e x f x e x -⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩()00()110022111010222xx xxx x x x F x f x dxe dx x ex e dx e dxx e x -∞-∞---∞=⎧⎧≤≤⎪⎪⎪⎪==⎨⎨⎪⎪+>->⎪⎪⎩⎩⎰⎰⎰⎰1-11 某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。

设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少？,(01)p q λ→∞→→∞→−−−−−−−−→−−−−−−−−→−−−−−−−−→n=1n ,p 0,np=n 成立，0不成立-分布二项分布泊松分布高斯分布汽车站出事故的次数不小于2的概率()()P(2)101k P k P k ≥=-=-= 答案0.1P(2)1 1.1k e -≥=-100.1n p ≥≤实际计算中，只需满足，二项分布就趋近于泊松分布()np!k e P X k k λλλ-=＝＝1-12 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为(34)0,0(,)0x y XY kex y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩,,其它求：①系数k ？②(,)X Y 的分布函数？③{01,02}P X X <≤<≤？第③问 方法一：联合分布函数(,)XY F x y 性质：若任意四个实数1212,,,a a b b ，满足1212,a a b b ≤≤，则121222111221{,}(,)(,)(,)(,)XY XY XY XY P a X a b Y b F a b F a b F a b F a b <≤<≤=+--{01,02}(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)XY XY XY XY P X Y F F F F ⇒<≤<≤=+--方法二：利用(){(,)},XY DP x y D f u v dudv∈∈⎰⎰)(210{01,02},XY P X Y f x y dxdy <≤<≤=⎰⎰1-13 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为101,(,)0x y xf x y ⎧<<<=⎨⎩,,其它 ①求条件概率密度(|)X f x y 和(|)Y f y x ？②判断X 和Y 是否独立？给出理由。

先求边缘概率密度()X f x 、()Y f y注意上下限的选取()X 2,01,01(),00,xx XY x x dy x f x f x y dy else else +∞--∞⎧<<<<⎧⎪===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰， ()11,011||(),,10011,y Y XY ydxy y f y f x y dx dx y elsey else+∞-∞-⎧<<⎪-⎪⎧===⎨⎨-<<-<<⎩⎪⎪⎩⎰⎰⎰1-14 已知离散型随机变量X 的分布律为求：①X 的分布函数31X +的分布律1-15 已知随机变量X 服从标准高斯分布。

求：①随机变量XY e =的概率密度？②随机变量Z X =的概率密度？ 分析:①[]()'()()Y X f y h y f h y =⋅②1122()|'()|[()]|'()|[()]Y X X f y h y f h yh y f h y =⋅+⋅答案:()22ln 22100()()00y z Y Z e y z f y f z elseelse--⎧>≥==⎩⎩1-16 已知随机变量1X 和2X 相互独立，概率密度分别为11121111,0()20,0x X e x f x x -⎧⎪≥=⎨⎪<⎩，22132221,0()30,0x X e x f x x -⎧⎪≥=⎨⎪<⎩求随机变量12Y X X =+的概率密度？解：设11221()Y Y X X Y X ==+⎧⎨=⎩任意的 求反函数，求雅克比J ＝－1()12121136121210,60y y Y Y e y y f y y else--⎧⎪≥≥=⎨⎪⎩()11111321100y y Y e e y f y else --⎧⎪-≥=⎨⇒⎪⎩1-17 已知随机变量,X Y 的联合分布律为{}532m,,,0,1,2,!!m n e P X Y n m n m n -====L求：①边缘分布律{}m (0,1,2,)P X m ==L 和{}(0,1,2,)P Y n n ==L ？ ②条件分布律{}m |P X Y n ==和{}|m P Y n X ==？分析：{}32532m,,,0,1,2,!!32!!m n m n e P X Y n m n m n e e m n ---=⋅====L泊松分布 {},0,1,2,!k e P X k k k λλ-===L{}01!!k k kk k P X k e e e k e k λλλλλλ-∞=∞∞--======⋅=∑∑∑P19 （1－48）解：①{}{}121332m !m,!n m n n e P X P X Y n e n m -=∞=∞-=====∑∑{}{}21n m 2,!n n P Y P X Y n e n ∞=-=====∑同理 ②{}{}{}m,n P X Y n P X m P Y ⋅====＝ 即X 、Y 相互独立1-18 已知随机变量12,,,nX XX L 相互独立，概率密度分别为1122(),(),,()n n f x f x f x L 。

又随机变量1121212n nY X Y X X Y X X X =⎧⎪=+⎪⎨⎪⎪=+++⎩L L L L L L LL 证明：随机变量12,,,nY Y Y L 的联合概率密度为12112211(,,,)()()()Y n n n n f y y y f y f y y f y y -=--L L11212121212323*********n n nn n n n nY X Y X X X Y Y Y X X X X Y Y Y X X X X Y Y Y X X X X ----=⎧⎪=+=-⎧⎪⎪⎪=++=-⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪=+++=-⎩⎪=+++⇒+⎪⎩L L L L L L LML L10000110001001000011000011J -==--L L M M O M ML L L因为|J|＝1,故 已知随机变量12,,,nX X X L 相互独立，概率密度分别为1122(),(),,()n n f x f x f x LX 121211(,,,)(,,,)n Y n n f y y y f y y y y y -=--L L 12121111221X 1(,,,)(,,,)()()()n n n n n n Y f y y y f y y y y y f y f y y f y y --=--=--L L L1-19 已知随机变量X 服从拉普拉斯分布，其概率密度为1(),2xX f x ex -=-∞<<+∞求其数学期望与方差？解:[]()()22222200121(022222)()X xxxX xxxxx E X x dx x dx E X x dx x dx x dx x ee dx exdxxee f x e d f x x e e ∞∞-∞-∞∞∞-∞-∞∞∞-+∞-∞-∞-+∞----===⎡⎤==⎣⎦==-+=⋅=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰奇函数偶函数1-20 已知随机变量X 可能取值为{4,1,2,3,4}--，且每个值出现的概率均为15。

求：①随机变量X 的数学期望和方差？②随机变量23Y X =的概率密度？③Y 的数学期望和方差？①③答案: ② Y 3 12 27 48 P1/51/51/52/5离散型随机变量的概率密度表达式 P12，1-25式()()1k k k f x p x x δ∞==-∑ 其中(),0,0x x x δ∞=⎧=⎨≠⎩ 为冲激函数()()()()()()1312272485Y f y y y y y δδδδ=-+-+-+-[]21212[][()]()[]D [][]k k k k kk E X x p E g X g x p E X X E X E X ∞=∞===⇒=-∑∑[][]22446214[][]D 55251388406[][]1098D 525E X E X X E Y E Y Y ======1-22 已知两个随机变量,X Y 的数学期望为1,2X Y m m ==，方差为224,1X Y σσ==，相关系数0.4XY ρ=。

现定义新随机变量,V W 为23V X YW X Y=-+⎧⎨=+⎩ 求,V W 的期望，方差以及它们的相关系数？[][][][][][][][][][]22374.817.82XYE V E W D V D W E aX bY aE X bE Y D aX bY a D X b D Y abC +=+++=+====XYXY X YC ρσσ=0.131-23 已知随机变量,X Y 满足Y aX b =+，,a b 皆为常数。

证明： ① 2XY XC a σ=；②1010XYa a ρ>⎧=⎨-<⎩；③ 当0X m ≠且2[][]aE X b E X =-时，随机变量,X Y 正交。