对希尔伯特滤波器的单位冲激响应做傅里叶变换， 可得
H
h
jsgn
j,
j,
0 0
(6-6)
其中sgn(·)为符号函数。 从希尔伯特变换器的传输函数可以 看出， 它的幅频特性为
它的相频特性为
|Hh(ω)|=1
h
π
π 2
,
,
2
0 0
(6-7) (6-8)
第六章 窄带随机信号分析
此系统传输函数Hh(ω)的幅频特性和相频特性如图6-2所示。 由此可以看出， 希尔伯特滤波器本质是上一个理想的π/2相 移器。
a2 2
第六章 窄带随机信号分析
6.1.2
性质1
H xˆ t xt
(6-9)
H［·］表示希尔伯特正变换， 对x(t)连续两次进行希
尔伯特变换相当于做两次π/2的相移， 即π的相移， 使信号
反相。
性质2
H cos0t sin 0t
（6-10）
H sin 0t cos0t
(6-11)
H
x
t
xˆ
t
1 π
x d
t
(6-1)
反变换为
H
1
xˆ
t
x
t
1 π
xˆ t
d
(6-2)
第六章 窄带随机信号分析
上两式经过简单的变量替换， 可以写成
xˆ
t
1 π
x
t
d
1 π
x
t
d
(6-3)
x
t
1 π
xˆ
t
d
1 π
xˆ
t
d
(6-4)
第六章 窄带随机信号分析
由定义可知， x(t)的希尔伯特变换为x(t)与1／πt的卷积， 即
第六章 窄带随机信号分析
图6-3 x(t)=a(t)cosω0t的频谱图解
第六章 窄带随机信号分析
x(t)=a(t)cosω0t
Xˆ
X
Hh
jsgn
1
2
A
0
A
0
j 2
A
0
j 2
A
0
对上式作傅里叶反变换，
xˆ t atsin0t
第六章 窄带随机信号分析
性质4 设a(t)和φ(t)为低通信号， 则 H［a(t)cos(ω0t+φ)］=a(t)sin(ω0t+φ) H［a(t)sin(ω0t+φ)］=－a(t)cos(ω0t+φ)
xˆ t x t 1
(6-5)
πt
因此， 对x(t)的希尔伯特变换可以看成是x(t)通过单位冲 激响应为1／πt的线性滤波器的输出信号， 因此希尔伯特变 换可以称之为希尔伯特滤波器。 希尔伯特滤波器是典型的 线性时不变系统， 如图6-1所示。
第六章 窄带随机信号分析
图6-1 希尔伯特滤波器
第六章 窄带随机信号分析
jπ 0
jπ
0
e
e j j ,
,
>0 <0
第六章 窄带随机信号分析
所以
H［cos(ω0t+φ)］=F－1［F［H［cos(ω0t+φ)］］］ =sin(ω0t+φ)
性质3 设a(t)为低通信号， 其傅里叶变换为A(ω)， 且
A(ω)=0, |ω|>Δω/2
(6-12)
第六章 窄带随机信号分析
(6-42)
上式各项所对应的功率谱密度的图形如图6-6所示。
第六章 窄带随机信号分析
图6-6画出了 PAc , PAs 的功率谱密度， 根据图解分
=A(t)cosΦ(t)cosω0t－A(t)sinΦ(t)sinω0t
=Ac(t)cosω0t－As(t)sinω0t
(6-32)
上式中， cosω0t， sinω0t都是非随机函数。 而随机函数为
Ac t At cos t
As
t
At
sin
t
(6-33)
第六章 窄带随机信号分析
由式（6-33）可以推出
FX
A, 0,
0 / 2
其他
试求其希尔伯特变换 Xˆ t 的一维概率密度。
解 已知X(t)是零均值平稳高斯信号， 则 Xˆ t 也是零
均值平稳高斯随机信号。
2 Xˆ
=RXˆ
0
RX
0=1 2π
0 FX
d= 1
2π
Ad 0 / 2 A
0 / 2
2π
所以 Xˆ t
第六章 窄带随机信号分析
例6.2 试求cos(ω0t+φ)的希尔伯特变换。 解 cos(ω0t+φ)
F cos
0t
1 2
F
e j0te j
e j0te j
π 0 e j 0 ej
F H cos 0t jπ sgn 0 e j 0 ej
第六章 窄带随机信号分析
RY RYˆ RYˆY RˆY RYYˆ RˆY
代入上式中， 并化简为
RAc t,t RAc RY cos0 RˆY sin0
(6-38)
第六章 窄带随机信号分析
同理有
RAs t,t RAs RY cos0 RˆY sin0
As
t
Yˆ
t
cos
0t
Y
t
sin
0t
(6-35) (6-36)
第六章 窄带随机信号分析
1. Ac(t)和As(t) 对式（6-36）两边进行统计平均， 可得
E Ac t E As t E Y t E Yˆ t 0
2. Ac(t)和As(t)
(6-37)
RAc t,t E Ac t Ac t
fXˆ xˆ
1
A
exp
πxˆ2
A
第六章 窄带随机信号分析
性质7 平稳随机信号X(t)与其希尔伯特变换 Xˆ t 的自
相关函数 RXXˆ 等于自相关函数RX(τ)的希尔伯特变换 RˆX ， 时间平均自相关函数 RXXˆ 等于时间平均自相 关函数 RX 的希尔伯特变换 RˆX ， 即
则当ω0>Δω/2时， 有
H［a(t)cosω0t］=a(t)sinω0t
(6-13)
H［a(t)sinω0t］=－a(t)cosω0t
(6-14)
证明 由性质1知， 若式（6-13）成立，
6-14）
6-13
令x(t)=a(t)cosω0t， 则
X
1 2
A
0
A
0
A(ω)与X(ω)的关系如图6-3所示。
6.2 窄带随机信号的定义及表示
6.2.1
在一般无线电接收机中， 大多数是高频或中频放大器，
它们的通频带带宽Δω往往远小于中心频率ω0， 且中心频率
ω0远离零频， 即
Δω<<ω0,
ω0>>0
(6-29)
第六章 窄带随机信号分析
当窄带系统的输入端加入白噪声或宽带随机信号X(t)时 （见图6-4（a）)， 由于系统的带通传输特性如图6-4（b） 所示， 输出信号的功率谱集中在以ω0为中心一个很小的频 带内， 其输出信号Y(t)为窄带随机信号。 若用一个示波器来 观测它的某次输出的波形（某样本函数）， 可以看到， 它 的样本接近于一个正弦波， 但是其幅度ak(t)和相位φk(t)都在 随时间t作缓慢变化。 典型的窄带随机信号的样本函数时域 波形和功率频谱密度如图6-4(c)和图6-4(d) 所示。
第六章 窄带随机信号分析
第六章 窄带随机信号分析
6.1 希尔伯特变换 6.2 窄带随机信号的定义及表示 6.3 窄带随机信号的统计分析 6.4 窄带高斯随机信号包络和相位分布 6.5 随相正弦波信号加窄带高斯噪声之和的 包络和相位的分布
第六章 窄带随机信号分析
6.1 希尔伯特变换
6.1.1
对于实信号x(t)， 其希尔伯特变换定义为
mX 0,
RX
a2 2
cos 0
由于希尔伯特变换器是线性时不变系统， 所以输出信号
Y(t)也是广义平稳信号，
mY=mX·Hh(0)=0
RY
RX
hh
hh
a2 2
cos 0
hh
hh
第六章 窄带随机信号分析
输出信号Y(t) PY(ω)=PX(ω)·|Hh(ω)|2=PX(ω)
总平均功率为
PY
PX
RX 0
且有
第六章 窄带随机信号分析
RXˆX 0 RXXˆ 0 0
（6-26）
RXXˆ
X
t
Xˆ
t
X
t
X
t
π
d
X
t
X t
π
d
RX
π
d
Rˆ X
同理可证
第六章 窄带随机信号分析
RXˆX RXXˆ RˆX RXXˆ
且有
（6-27）
RXˆX 0 RXXˆ 0 0
（6-28）
第六章 窄带随机信号分析
第六章 窄带随机信号分析
图6-4 宽带噪声通过窄带系统
第六章 窄带随机信号分析
6.2.2
1.
由图6-4（c）可知， 窄带随机信号的一个样本函数就
是一个高频窄带随机信号。 它对应样本空间Ω中的任一样本
点ξk， 所对应的样本函数可表示为
Байду номын сангаас
yk(t)=ak(t)cos［ω0t+φk(t)］, ξk∈Ω
(6-30)
At
Ac2 t As2 t
t
arctan
As Ac
t t
(6-34)