2014年高考数学理科全国1卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试题卷共9页，24题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的
指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域内均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷
一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={}22x x -≤<，则A B ⋂=（ ）
A .[-2,-1]
B .[-1,2）
C .[-1,1]
D .[1,2）
2.3
2(1)(1)
i i +-=（ ） A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i --
3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A .()f x ()g x 是偶函数
B .|()f x |()g x 是奇函数
C .()f x |()g x |是奇函数
D .|()f x ()g x |是奇函数
4.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ）
A .3
B .3
C .3m
D .3m
5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（ ）
A .18
B .38
C .58
D .78
6.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始
边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，
将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的
图像大致为（ ）
7.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =（ ）
A .203
B .165
C .72
D .158
8.设(0,)2πα∈，(0,)2
πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则（ ） A .32π
αβ-= B .22π
αβ-= C .32π
αβ+= D .22π
αβ+=
9.不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩
的解集记为D .有下面四个命： 1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥,
3p ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.
其中真命题是（ ）
A .2p ，3p
B .1p ，4p
C .1p ，2p
D .1p ，3p
10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交
点，若4FP FQ =u u u r u u u r ，则||QF =（ ）
A .72
B .52
C .3
D .2 11.已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为（ ）
A .（2，+∞）
B .（-∞，-2）
C .（1，+∞）
D .（-∞，-1）
12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的
三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（ ）
A .62
B .42
C .6
D .4
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分。

第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。

第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。

二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。

13.8()()x y x y -+的展开式中22x y 的系数为 .(用数字填写答案)
14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；
乙说：我没去过C 城市；
丙说：我们三人去过同一个城市.
由此可判断乙去过的城市为 .
15.已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2
AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，则AB u u u r 与AC u u u r 的夹角为 . 16.已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且
(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 .
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数.
(Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；
（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由.
18. (本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μδ，其中μ近似为样本平均数x ，2δ近似为样本方差2s .
(i)利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；
（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i ）的结果，求EX .
附：150≈12.2.
若Z ～2(,)N μδ，则()P Z μδμδ-<<+=0.6826，(22)P Z μδμδ-<<+=0.9544.
19. (本小题满分12分)如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥.
(Ⅰ) 证明：1AC AB =；
（Ⅱ）若1AC AB ⊥，o 160CBB ∠=，AB=BC
求二面角111A A B C --的余弦值.
20. (本小题满分12分) 已知点A（0，-2），椭圆E：
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的离心率为
3
2
，F
是椭圆的焦点，直线AF的斜率为23
3
，O为坐标原点.
(Ⅰ)求E的方程；
（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于,P Q两点，当OPQ
∆的面积最大时，求l的方程.
21. (本小题满分12分)设函数
1
(0ln
x
x
be
f x ae x
x
-
=+，曲线()
y f x
=在点（1，(1)
f处的切线为
(1)2
y e x
=-+. (Ⅰ)求,a b；（Ⅱ）证明：()1
f x>.
请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。

注意：只能做所选定的题目。

如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡
上将所选题号后的方框涂黑。

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC
的延长线交于点E，且CB=CE
.(Ⅰ)证明：∠D=∠E；
（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形.
23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C ：22
149x y +=，直线l ：222x t y t
=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； （Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.
24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
若0,0a b >>，且11ab a b
+=. (Ⅰ) 求33a b +的最小值；
（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.。