绝密★启用前2014 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标 I 卷 )数 学(理科 )一．选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合 A={ x | x 22x 3 0 } ，－ ≤＜＝，则AB=B={ x |2 x 2A .[-2,-1]B .[-1,2 ）C .[-1,1]D .[1,2）(1 i )32.(1 i )2=A .1 iB .1 iC . 1 iD . 1 i3.设函数 f ( x) ， g( x) 的定义域都为 R ，且 f ( x) 时奇函数， g (x) 是偶函数，则下列结论正确的 是A . f (x) g( x) 是偶函数B .| f ( x) | g ( x) 是奇函数C .f (x)|g( x) 是奇函数D.|f ( x) g ( x) 是奇函数||4.已知 F 是双曲线 C ： x 2 my 2 3m(m 0) 的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为A .3B .3C . 3mD . 3m5.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A . 1B . 3C .5D . 788886.如图，圆 O 的半径为 1， A 是圆上的定点， P 是圆上的动点，角x 的始边为射线 OA ，终边为射线 OP ，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M ，将点 M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函数 f ( x) ，则 y = f ( x) 在 [0, ]上的图像大致为7.执行下图的程序框图，若输入的a,b, k 分别为1,2,3，则输出的M =A .20B .16C .7D .1535288.设(0, )，(0,1sin) ，且 tan，则22cosA .3B .22C . 32D .222x y1的解集记为 D 有下面四个命题：2 y4xp1：(x, y) D , x 2 y 2 ，p2：(x, y) D , x 2 y 2,P3：( x, y) D , x 2 y 3，p4：( x, y) D , x 2y 1.其中真命题是A .p2，p3B .p1，p4C .p1，p2D .p1，p310.已知抛物线C：y28x 的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个焦点，若 FP4FQ ，则|QF |=A .7B .5C .3D .22211.已知函数f (x) = ax33x2 1 ，若 f (x) 存在唯一的零点x0，且x0＞ 0，则a的取值范围为A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）12.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A.6 2B.42C.6D.4第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两个部分。
第（ 13）题 -第（ 21）题为必考题，每个考生都必须作答。
第（ 22）题 -第（ 24）题为选考题，考生根据要求作答。
13. ( x y)( x y)8的展开式中 x2 y2的系数为.(用数字填写答案 )14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A， B，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市；乙说：我没去过 C 城市；丙说：我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为.15.已知 A ， B， C 是圆 O 上的三点，若AO 1(AB AC) ，则 AB 与AC的夹角为. 216.已知a, b, c分别为ABC的三个内角A, B, C的对边，a =2，且(2 b)(sinA sinB)(c b)sin C ，则 ABC 面积的最大值为.三 .解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12 分 )已知数列 { a n }的前n项和为S n，a1 =1，a n0，a n a n 1S n1，其中为常数 .（ I ）证明：a n 2a n；（Ⅱ）是否存在，使得 { a n }为等差数列？并说明理由 .18. (本小题满分12 分 )从某企业的某种产品中抽取500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（ I ）求这 500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差s2（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N ( , 2 )，其中近似为样本平均数x ， 2 近似为样本方差s2.（ i）利用该正态分布，求P(187.8Z212.2) ；（ ii ）某用户从该企业购买了100 件这种产品，学科网记 X 表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求 EX .附：150 ≈12.2若.Z～N( ,2) ，则P(Z) =0.6826，P(2Z 2 ) =0.9544.侧面 BB 1C 1C 为菱形， ABB 1C .（ I ）证明： AC AB 1 ；（Ⅱ）若 ACAB 1 ， CBB 1 60o ，AB=Bc ，求二面角 A A 1B 1 C 1 的余弦值 .20. (12 ) 已知点 A （ 0 -2E ： x 2y 21(a b 0)3，Fa 2b 22是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为2 3，O 为坐标原点 .3（I ）求 E 的方程；（Ⅱ）设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P, Q 两点，当OPQ 的面积最大时，求 l 的方程 .21. (本小题满分 12 分 )设函数 f (x0 ae xln xbe x 1 ，曲线 y f ( x) 在点（ 1， f (1) ）处的切x线为 y e(x1) 2 . （ I ）求 a, b ； （Ⅱ）证明：f ( x) 1 .请考生从第（ 22）、（ 23）、（ 24）三题中任选一题作答。
注意：只能做所选定的题目。
如果多做， 则按所做的第一个题目计分， 作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22.（本小题满分 10 分）选修 4—1：几何证明选讲如图，四边形 ABCD 是⊙ O 的内接四边形， AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E ，且 CB=CE(Ⅰ )证明：∠ D=∠ E ；学科网（Ⅱ）设 AD 不是⊙ O 的直径， AD 的中点为M ，且 MB=MC ，证明：△ ADE 为等边三角形 .23. （本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程已知曲线 C ：x2 y 2x 2 t1，直线 l ：2 （ t 为参数） .49y2t（ I ）写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30o 的直线，交 l 于点 A ，求 | PA |的最大值与最小值 .24. （本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲 若 a 0, b 0 ，且11ab .a b（Ⅱ）是否存在 a,b ，使得 2a3b 6 ？并说明理由 .2014 年普通高等学校招生全国统一考试全国课标I 答案1—5ADCAD6— 12 CDCBBCB 13．－ 20 14． A 15． 90°16．217．【解析】： (Ⅰ )由题设 a n a n 1 S n 1， a n 1a n 2 S n 1 1，两式相减an 1a n 2ana n 1 ，由于 a n 0 ，所以 a n2a n⋯⋯⋯⋯6 分（Ⅱ）由题设 a 1 =1， a 1 a 2 S 1 1 ，可得 a 211 ，由 (Ⅰ )知 a 31假设 { a n } 为等差数列，则 a 1 , a 2 ,a 3 成等差数列，∴ a 1 a 3 2a 2 ，解得 4 ；证明4 时， { a n }为等差数列：由 a n2an4 知数列奇数项构成的数列 a2m 1是首项为 1，公差为 4 的等差数列 a 2 m 1 4m 3令 n2m 1, 则 mn 12n1 (n 2m 1)，∴ a n2数列偶数项构成的数列a是首项为，公差为 4 的等差数列 a 4m 12m32 m令 n2m, 则 mn，∴ a n2n 1 (n2m)2∴ a n 2n 1（ nN * ）， a n 1 a n2因此，存在存在4 ，使得 { a n }为等差数列 .⋯⋯⋯ 12分18．【解析】： (Ⅰ ) 抽取产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差 s 2 分别为x 170 0.02 180 0.09 190 0.22 200 0.33210 0.24 220 0.08 230 0.02 200s 23022021020 0.330.02 0.09 0.2210 220.08 3020.020.2420150⋯⋯⋯⋯6 分（Ⅱ）（ⅰ）由 (Ⅰ )知 Z ～ N (200,150)，从而P(187.8 Z 212.2) P(200 12.2 Z 20012.2) 0.6826⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分（ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的概率为 0.6826依题意知 XB(100,0.6826) ，所以 EX 100 0.6826 68.26⋯⋯⋯ 12 分19．【 解析】：(Ⅰ )连结 BC 1 ，交 B 1C 于 O ，连结 AO ．因为侧面 BB 1C 1C 为菱形，所以 B 1C BC 1 ，且 O 为 B 1C 与 BC 1 的中点．又 AB B 1C ，所以 B 1C平面 ABO ，故 B 1CAO又 B 1OCO ，故 ACAB 1⋯⋯⋯6 分（Ⅱ）因为 AC AB 1 且 O 为 B 1C 的中点，所以 AO=CO 又因为 AB=BC，所以BOABOC故 OA ⊥OB，从而 OA ， OB ， OB 1 两两互相垂直．以 O 为坐标原点， OB 的方向为 x 轴正方向， OB 为单位长， 建立如图所示空间直角坐标系 O- xyz ． 因为 CBB 1600 ，所以 CBB 1 为等边三角形．又AB=BC ，则A 0,0,3 ， B 1,0,0 ， B 1 0,3 ,0 ，C 0, 3,03 33AB 10, 3 , 3，A 1B1AB1,0,3 , B 1C 1 BC 1,3 ,03333设 nx, y, z 是平面的法向量，则3 3 z 0n AB 1y，即33所以可取 n1,3,3n A 1 B 1 03 zx3设 m 是平面的法向量，则 m A 1B 10 1,3, 3，同理可取 mn B 1C 1则 cos n, mn m 1，所以二面角 A A 1B 1 C 1 的余弦值为 1 .n m7720．【解析】 (Ⅰ ) 设 Fc,0，由条件知22 3，得 c 3又c3 ，c3a2所以 a=2， 222故E 的方程x 2 y 2 1⋯⋯⋯分bac 1 , .64 .（Ⅱ）依题意当 l x 轴不合题意，故设直线 l ： y kx2，设 P x 1 , y 1 ,Q x 2 , y 2将 ykx2代入 x 2 y 2 1，得 1 4k 2 x 2 16kx 12 0 ，4当16(4k 2 3) 0 ，即 k 2 3 时， x 1,2 8k 2 4k 2341 4k 2从而 PQk 2 1 x x2 4 k 21 4k2 311 4k 2又点 O 到直线 PQ 的距离 d2 ，所以OPQ 的面积 S OPQ1d PQ4 4k 2 3 ，k 2 121 4k 2设 4k 23 t ，则 t0 ，S OPQ4t 41 ，t 2 4 t 4t当且仅当 t2 ， k70 ，所以当 OPQ 的面积最大时， l 的方程2时等号成立，且满足为： y7 x 2 或 y7 x 2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分2221．【解析】 (Ⅰ ) 函数 f ( x) 的定义域为0,， f ( x) ae x ln xa e xb 2 e x 1 b e x 1xxx由题意可得 f (1) 2, f (1) e，故 a1,b 2⋯⋯⋯⋯⋯6 分（Ⅱ）由 (Ⅰ )知，f (x) e x ln x 2e x 1 ，从而 f (x) 1 等价于 x ln xxe x2xe设函数g( x)x ln x ，则 g ( x) x ln x ，所以当 x0,1时， g ( x)，当ex1, 时， g ( x)，故 g( x)在0,1单调递减， 在1 , 单eee调递增，从而g ( x) 在 0,的最小值为g(1)1 . ⋯⋯⋯⋯⋯8 分ee设函数h( x)xex2，则 h ( x) e x 1x ，所以当 x0,1时， h ( x) 0，e当 x 1,时， h (x) 0 ，故 h(x)在0,1 单调递增，在1,单调递减，从而 h(x) g (x) 在 0,的最小值为h(1)1 综上：当 x0 时，.eg( x) h( x) ，即 f (x) 1 .⋯⋯ 12分22．【解析】 .(Ⅰ ) 由题设知得 A 、B 、C 、D 四点共圆，所以 D=CBE ，由已知得， CBE=E ,所以D=E⋯⋯⋯⋯⋯5 分（Ⅱ）设 BCN 中点为，连接 MN, 则由 MB=MC,知 MN ⊥BC 所以 O 在MN 上，又 AD 不是 O 的直径， M 为 AD 中点，故 OM ⊥AD ， 即 MN ⊥ AD ，所以 AD//BC, 故A= CBE ，又CBE= E ，故A=E由 (Ⅰ )（ 1）知D=E ， 所以△ ADE 为等边三角形．⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分23．【解析】 .(Ⅰ ) x 2cos曲线 C 的参数方程为：3sin（ 为参数），y直线 l 的普通方程为： 2x y 6 0⋯⋯⋯5 分（Ⅱ）（ 2）在曲线 C 上任意取一点 P (2cos ,3sin)到 l 的距离为d54cos3sin6 ，5则|PA|d 0 2 55sin6，其中为锐角．且 tan4 . sin 3053当 sin1时， | PA |取得最大值，最大值为22 5 ；5当 sin1 时， | PA | 取得最小值，最小值为2 5 .⋯⋯⋯⋯ 10分524．【解析】 (Ⅰ ) 由ab 112，得 ab 2 ，且当 a b 2 时等号成立，a b ab故 a3b3 3 a3b342 ，且当 a b 2 时等号成立，∴a3b3的最小值为4 2.⋯5分（Ⅱ）由 (Ⅰ )知：2a3b2 6 ab4 3 ，由于 4 3 ＞6，从而不存在a, b ，使得2a3b 6 .⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分。