数学试卷第2页（共18页）数学试卷第3页（共18页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）理科数学使用地区：河南、山西、河北注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|230}A x x x=--≥,{|22}B x x=-<≤,则A B=( )A.[2,1]--B.[1,2)-C.[1,1]-D.[1,2)2.32(1i)(1i)+=-( )A.1i+B.1i-C.1i-+D.1i--3.设函数()f x,()g x的定义域都为R,且()f x是奇函数,()g x是偶函数,则下列结论中正确的是( )A.()f x()g x是偶函数B.|()|f x()g x是奇函数C.()f x|()|g x是奇函数D.|()()|f xg x是奇函数4.已知F为双曲线C：223(0)x my m m-=>的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为( )A.3B.3C.3mD.3m5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A.18B.38C.58D.786.如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M.将点M到直线OP的距离表示成x的函数()f x,则()y f x=在[0,π]的图象大致为( )A.B.C.D.7.执行如图的程序框图,若输入的a,b,k分别为1,2,3.则输出的M=( )A.203B.72C.165D.1588.设π(0,)2α∈,π(0,)2β∈,且1sintancosβαβ+=,则( )A.π32αβ-=B.π32αβ+=C.π22αβ-=D.π22αβ+=9.不等式组1,24x yx y+⎧⎨-⎩≥≤的解集记为D,有下面四个命题：1p：(,)x y D∀∈,22x y+-≥；2p：(,)x y D∃∈,22x y+≥；3p：(,)x y D∀∈,23x y+≤；4p：(,)x y D∃∈,21x y+-≤.其中的真命题是( )A.2p,3p B.1p,2p C.1p,4p D.1p,3p10.已知抛物线C：28y x=的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若4FP FQ=,则||QF=( )A.72B.3C.52D.211.已知函数32()31f x ax x=-+,若()f x存在唯一的零点x,且x>,则a的取值范围是( )A.(2,)+∞B.(1,)+∞C.(,2)-∞-D.(,1)-∞-12.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )A.62B.6C.42D.4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.8()()x y x y-+的展开式中27x y的系数为(用数字填写答案).14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说：我去过的城市比乙多,但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为.15.已知A,B,C为圆O上的三点,若1()2AO AB AC=+,则AB与AC的夹角为.16.已知a,b,c分别为ABC△三个内角A,B,C的对边,2a=,且(2)(sinb A+-sin)()sinB c b C=-,则ABC△面积的最大值为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知数列{}na的前n项和为nS,11a=,0na≠,11n n na a Sλ+=-,其中λ为常数.（Ⅰ）证明：2n na aλ+-=；（Ⅱ）是否存在λ,使得{}na为等差数列？并说明理由.姓名________________准考证号_____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷第1页（共18页）数学试卷 第4页（共18页） 数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）18.（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （Ⅱ）由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μσ,其中μ近似为样本平均数x ,2σ近似为样本方差2s ； （ⅰ）利用该正态分布,求(187.8212.2)P Z <<；（ⅱ）某用户从该企业购买了100件这种产品,记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用（ⅰ）的结果,求EX .12.2.若2(,)ZN μσ,则()0.6826P Z μσμσ-<<+=,(22)P Z μσμσ-<<+0.9544=.19.（本小题满分12分）如图,三棱柱111ABC A B C -中,侧面11BB C C 为菱形,1AB B C ⊥. （Ⅰ）证明：1AC AB =；（Ⅱ）若1AC AB ⊥,160CBB ∠=,AB BC =,求二面角111A A B C --的余弦值.20.（本小题满分12分） 已知点(0,2)A -,椭圆E ：22221(0,0)x y a bb+=>>,F 是椭圆E 的右焦点,直线AF ,O 为坐标原点.（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的动直线l 与E 相交于P ,Q 两点.当OPQ △的面积最大时,求l 的方程.21.（本小题满分12分）设函数1e ()e ln x xb f x a x x-=+,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为e(1)2y x =-+.（Ⅰ）求a ,b ； （Ⅱ）证明：()1f x >.请考生从第22、23、24题中任选一题作答.并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑.按所涂题号进行评分；多涂,多答,按所涂的首题进行评分；不涂,按本选考题的首题进行评分.22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图,四边形ABCD 是O 的内接四边形,AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ,且CB CE =.（Ⅰ）证明：D E ∠=∠；（Ⅱ）设AD 不是O 的直径,AD 的中点为M ,且MB MC =,证明：ADE △为等边三角形.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C ：22149x y +=,直线l ：2,22,x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数). （Ⅰ）写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30的直线,交l 于点A ,求||PA 的最大值与最小值.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲若0a >,0b >,且11a b+=（Ⅰ）求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在a ,b ,使得236a b +=？并说明理由.2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷数学试卷 第7页（共18页） 数学试卷 第8页（共18页） 数学试卷 第9页（共18页）])3,[+∞，所以[2,A B =--，集合B ，求A B .2(1i)2i(1i)i)2i1i ++=---=.1234则(4,P F =-，0(FQ x =-，根据抛物线定义得0|23x QF +=1(42)26D E=+=【解析】由题易知点O为BC的中点，即为直角，即AC与AB的夹角为510(200,150)N0.6826.2212)．的概率为26.【提示】给出频率分布直方图求平均数和方差，利用正态分布求概率⎭3⎝⎭10,B A⎛=⎝，1,0,AB⎛=⎝，1,BC⎛--⎝设(,n x y=1B的法向量，则即333333yx z--=1C的法向量，则同理可取1|||7n mn m=.所以结合图形知二面角数学试卷第10页（共18页）数学试卷第11页（共18页）数学试卷第12页（共18页）数学试卷第13页（共18页）数学试卷第14页（共18页）数学试卷第15页（共18页）221431kk-+.2||444kdkPQ=72k=±时等号成立，满足72±，l的方程为ADE为等边三角形.数学试卷第16页（共18页）数学试卷第17页（共18页）数学试卷第18页（共18页）。