初二下册 第二章 一元一次不等式及一元一次不等式组 1 一、不等式及其性质
【学习目标】 1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系； 2. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用； 3．理解并掌握一元一次不等式的概念及性质； 【要点梳理】 要点一、不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 要点诠释： (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2)五种不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义
“≠” 读作“不等于”
它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪
个大，哪个小 “＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大
“≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量
“≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 (3) 有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 类型一、不等式的概念 例1. 判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式． （1）4＜5； （2）x2+1＞0； （3）x＜2x-5； （4）x=2x+3； （5）3a2+a； （6）a2+2a≥4a-2．
变式练习： 1.（2017春•城关区校级期末）贵阳市今年5月份的最高气温为27℃，最低气温为18℃，已知某一天的气温为t℃，则下面表示气温之间的不等关系正确的是（ ）
A．18＜t＜27 B．18≤t＜27 C．18＜t≤27 D．18≤t≤27 2.（2017春•未央区校级月考）下列式子：①a+b=b+a；②-2＞-5；③x≥-1；④ 初二下册 第二章 一元一次不等式及一元一次不等式组 2 31y-4＜1；⑤2m≥n；⑥2x-3，其中不等式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3.（2017春•南山区校级月考）下面给出了6个式子：•3＞0；x+3y＞0；x=3；④x-1；⑤x+2≤3；⑥2x≠0；其中不等式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4.（2017春•太原期中）学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是（ ）
A．两种客车总的载客量不少于500人 B．两种客车总的载客量不超过500人 C．两种客车总的载客量不足500人 D．两种客车总的载客量恰好等于500人 5.已知有理数m，n的位置在数轴上如图所示，用不等号填空．
（1）n-m 0；（2）m+n 0；（3）m-n 0；（4）n+1 0；（5）m•n 0； （6）m+1 0． 例2．用不等式表示： (1)x与-3的和是负数； (2)x与5的和的28％不大于-6; (3)m除以4的商加上3至多为5．
举一反三： 【变式】aa的值一定是（ ）． A. 大于零 B.小于零 C.不大于零 D. 不小于零
例3.下列叙述：①a是非负数则a≥0；②“a2减去10不大于2”可表示为a2-10＜2； ③“x的倒数超过10”可表示为1x＞10；④“a，b两数的平方和为正数”可表示为a2+b2＞0．其中正确的个数是（ ）. A.1个 B.2个 C.3个 D. 4个
要点二、一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，2503x是一个一元一次不等式．
要点诠释： (1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)； ②只含有一个未知数； 初二下册 第二章 一元一次不等式及一元一次不等式组 3 ③未知数的最高次数为1. (2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向． 例1.（2017春•沧州期末）下列各式中，一元一次不等式是（ ）
A.xx5 B．2x＞1-x2 C．x+2y＜1 D．2x+1≤3x 变式练习 2．（2017春•平川区校级期中）下列是一元一次不等式的是（ ）
11..xxA B．x2-2＜1 C．3x+2 D．2＜x-2
3．（2016春•永丰县期中）若不等式2xa＜1是关于x的一元一次不等式，则a符合（ ） A．a≠1 B．a=0 C．a=1 D．a=2 4.若（m+1）x|m|+2＞0是关于x的一元一次不等式，则m=（ ）
A．±1 B．1 C．-1 D．0 5.下列不等式中，是一元一次不等式的有（ ）个． ①x＞-3；②xy≥1；③x2＜3；④132xx；⑤11xx；
A．1 B．2 C．3 D．4 要点三、不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或整式)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c. 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或abcc)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或abcc)． 例1.判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）． （1）若 b﹣3a＜0，则b＜3a； （2）如果﹣5x＞20，那么x＞﹣4； （3）若a＞b，则 ac2＞bc2； （4）若ac2＞bc2，则a＞b； （5）若a＞b，则 a（c2+1）＞b（c2+1）．
（6）若a＞b＞0，则＜． ． 【答案与解析】 解：（1）若由b﹣3a＜0，移项即可得到b＜3a，故正确； 初二下册 第二章 一元一次不等式及一元一次不等式组 4 （2）如果﹣5x＞20，两边同除以﹣5不等号方向改变，故错误； （3）若a＞b，当c=0时则 ac2＞bc2错误，故错误； （4）由ac2＞bc2得c2＞0，故正确； （5）若a＞b，根据c2+1，则 a（c2+1）＞b（c2+1）正确．
（6）若a＞b＞0，如a=2，b=1，则＜正确． 故答案为：√、×、×、√、√、√． 【总结升华】本题考查了不等式的性质，两边同乘以或除以一个不为零的负数，不等号方向改变．
例4.（2017•青浦区一模）已知a＞b，下列关系式中一定正确的是（ ）
A．a2＜b2 B．2a＜2b C．a+2＜b+2 D．﹣a＜﹣b 【思路点拨】根据不等式的性质分析判断． 【答案】D. 【解析】 解：A，a2＜b2，错误，例如：2＞﹣1，则22＞（﹣1）2；
B、若a＞b，则2a＞2b，故本选项错误；
C、若a＞b，则a+2＞b+2，故本选项错误； D、若a＞b，则﹣a＜﹣b，故本选项正确. 【总结升华】不等式的性质是不等式变形的重要依据．关键要注意不等号的方向．性质1和性质2类似于等式的性质但性质3中，当不等式两边乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改变． 举一反三：
【变式】根据不等式的基本性质，将“mx＜3”变形为“x＞3
m”，则m的取值范围是 ．
【答案】m＜0. 解：∵将“mx＜3”变形为“x＞3m”，
∴m的取值范围是m＜0． 故答案为：m＜0．
【巩固练习】 一、选择题 1. （2016春•北京期末）在式子﹣3＜0，x≥2，x=a，x2﹣2x，x≠3，x+1＞y中，是不等式的
有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列不等式表示正确的是( ). A．a不是负数表示为a＞0 B．x不大于5可表示为x＞5 C．x与1的和是非负数可表示为x+1＞0 D．m与4的差是负数可表示为m-4＜0 3.式子“①x+y=1；②x＞y；③x+2y；④x-y≥1；⑤x＜0”属于不等式的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 初二下册 第二章 一元一次不等式及一元一次不等式组 5 4．已知a＜b，则下列不等式一定成立的是( ) A．a+3＞b+3 B．2a＞2b C．-a＜-b D．a-b＜0 5．若图示的两架天平都保持平衡，则对a、b、c三种物体的重量判断正确的是（ ）.
A.a>c B.a 6．下列变形中，错误的是（ ）.
A．若3a+5＞2，则3a＞2-5 B．若213x，则23x
C．若115x，则x＞-5 D．若1115x，则511x 二、填空题 7．（2016秋•太仓市校级期末）如果a＜b，则﹣3a ﹣3b（用“＞”或“＜”填空）． 8．用不等式表示“x与a的平方差不是正数”为 ． 9．在-l，12，0，23，2中，能使不等式5x＞3x+3成立的x的值是________；________是不等式-x＞0的解． 10．假设a＞b，请用“＞”或“＜”填空 (1)a-1________b-1； (2)2a______2b；
(3)12a_______12b； (4)a+l________b+1． 11．已知a＞b，且c≠0，用“＞”或“＜”填空． (1)2a________a+b (2)2ac_______2bc (3)c-a_______c-b (4)-a|c|_______-b|c| 12. k的值大于-1且不大于3，则用不等式表示k的取值范围是_______．（使用形如a≤x≤b的类似式子填空．） 三、解答题 13．现有不等式的性质： ①在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变； ②在不等式的两边都乘以同一个数（或整式），乘的数（或整式）为正时不等号的方向不变，乘的数（或整式）为负时不等式的方向改变． 请解决以下两个问题： （1）利用性质①比较2a与a的大小（a≠0）； （2）利用性质②比较2a与a的大小（a≠0）．
14. ①当a=3，b=5时用不等式表示a2+b2与2ab的大小是_______； ②当a=-3，b=5时用不等式表示a2+b2与2ab的大小是__________； ③当a=1，b=1时用不等式表示a2+b2与2ab的大小是________； ④根据上述数学实验你猜想a2+b2与2ab的大小关系_______；