(s－面积)
因只与P有关（P>0）,故对积分可得： ，， (s=L2) 3、证明： ，，并由此导出：
； 证明：……………………………⑴ 以为状态参量，将上式求对的偏导数，有 ……………⑵ 其中，第二步交换了偏导数的求导次序，第三步应用了麦氏关系，由理 想气体的物态方程知，在不变时，是的线性函数，即，所以。这意味 着，理想气体的定容热容量只是温度的函数。在恒定温度下将式⑵积 分，得
三种情形。
对于处在温度为T的平衡状态的经典系统，粒子能量中每一个平方项的
平均值等于
。
（1）原子内的电子对气体的热容量没有贡献。（2）双原子分子的
振动在常温范围内对热容量没有贡献。（3）低温下氢的热容量所得
结果与实验不符。
28、为什么在熵和体积不变的情况下，平衡态的内能最小？
由热力学第二定律有： 可得：当S、V不变时，即dS=0，dV=0。 所以， 由此可见，在系统由非平衡态趋向平衡态的过程中，系统的内能一 直在减少。
…………………⑶ 同理式（2.2.8）给：…………………………………⑷ 以以为状态参量，将上式再求对的偏导数，有 ……………………⑸ 其中，第二步交换了偏导数的求导次序，第三步应用了麦氏关系，由理 想气体的物态方程知，在不变时，是的线性函数，即，所以。这意味 着，理想气体的定容热容量只是温度的函数。在恒定温度下将式⑵积 分，得
因为在体积内，动量大小在-范围内的量子态数为：
，考虑到电子自旋在动量方向的投影有两个可能值。
因此，动量的平均值为： 由：可得，平均速率为： 四、推论题 1、设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N和N’.粒子间的相互作用很 弱，可看作是近独立的。假设粒子可分辨，处在一个个体量子态的粒子 数不受限制。试证明，在平衡态下两种粒子的最概然分布分别为：和。 其中和是两种粒子的能级，和是能级简并度。
色子组成的系统称为玻色系统，不受泡利不相容原理的约束；把可 分辨的全同近独立粒子组成，且处在பைடு நூலகம்个个体量子态上的粒子数不 受限制的系统称为玻耳兹曼系统。 联系：在满足经典极限条件>>1时，玻色（费米）系统中的近独立粒子 在平衡态遵从玻耳兹曼分布。
27、经典能量均分定理的内容是什么？举出不满足经典能量均分定理的
有用的电能，这是否违背热力学第二定律。 答：开尔文表述：不可能从单一热源吸收热量使之完全变为有用功而不 引起其他变化。由于地球表面和地球内部的温度不同，不是单一热源， 所以不违背热力学第二定律 26、简述玻耳兹曼系统、玻色系统和费米系统有什么区别和联系？ 区别：由费米子组成的系统称为费米系统，遵从泡利不相容原理；由玻
当系统达到平衡时，dU=0，内能取极小值。
29、什么是熵增加原理？
答：绝热过程中系统的熵永不减少。对于可逆绝热过程，系统的熵不
变。对不可逆绝热过程，系统的熵增加。或孤立系统的熵永不减少，这
个结论叫做熵增加原理。
二、计算题
1、已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布分布，其能量表达式为：
，其中是粒子常量，求粒子的平均能量。
解：应用能量均分定理求粒子的平均能量时，需要注意所给能量表达式
中和两项都是的函数，不能直接将能量均分定理应用于项而得出的结
论。要通过配方将表达为
在上式中，仅第四项是的函数，又是平方项。由能量均分定理知
2、系统由N个无相互作用的线性谐振子组成. a)若其能量表达式为： 时，求系统的内能； b)若其能量表达式为：时，求系统的内能。解：a) 由能均分定理
19、吉布斯函数的定义及其物理意义 答：吉布斯函数定义为：。
吉布斯函数是一个态函数,它的变化可以用可逆的等温ֽ等压过程中的除 体积功以外的功来量度。 20、统计物理基本假设是什么？ 答：统计物理基本假设是就是等概率原理,即孤立系统平衡态时各种可
能的微观态出现的概率均等。 21、简述热力学平衡态 答：孤立系统，不论其初态如何复杂，经过足够长的时间后，将会达到 各种宏观性质长时间内不随时间变化的状态，这样的状态叫热力学平衡 态。 22、叙述自由能的定义及其物理意义 答：自由能的定义。
解：粒子A能级，粒子数分布：——{al}——简并度 粒子B能级，粒子数分布：——{a’l}——简并度
体系两种粒子分布要满足的条件为： ，
分布，对应的微观状态数为
分布，对应的微观状态数为
则系统的微观态数为 上式表明：当第一类粒子的分布为{al}，而同时第二类粒子的分布为{a’l}时系统的微观态数。 在平衡下两种粒子的最可几分布是对应于在限制条件， 下使为极大的分布。利用斯特林公式 可得： 由，得 而由限制条件可得： ， 引入拉氏不定乘子，得 根据拉格朗日未定乘子法原理，每个及的系数都等于零，所以得：
些结论与实验不符（至少例举三项）。 答：第一、原子内的电子对气体的热容量为什么没有贡献；第二、双原 子分子的振动在常温范围内为什么对热容量没有贡献；第三、低温下氢 的热容量所得结果与实验不符。这些结果都要用量子理论才能解释。 7、写出玻耳兹曼关系，并据此给出熵函数的统计意义。 答：玻耳兹曼关系：S=klnΩ
=== （1）
由可得：
（2）
将（2）式代入（1）式可得： 证毕
因为：，所以：的增减取决于的增减。
方法二：由 可得：
2、 试证明，对于二维自由粒子，在长度L2内，在到的能量范围 内，量子态数
为。 证明：对于二维自由粒子，在体积元内的量子态数为：， 用极坐标描述时，二维动量空间的体积元为 。在面积内，动量大小在 到范围内，动量方向在到范围内，二维自由粒子的可能状态数为：的
自由能是个态函数，它的变化可以用可逆等温过程中的功来量度。 23、简述等概率原理的基本内容 答：孤立系统处于平衡态时，所有可能出现的微观态的概率均相等。 24、玻耳兹曼关系及其物理意义 ，系统愈趋于平衡态，微观态数愈多，熵越大，因此熵是混乱度的量
度。
25、写出热力学第二定律的开尔文表述内容。有人利用地球表面和地球 内部温度不同，做一个热机来发电，称地热发电，把地球内部能量边为
答：克劳修斯表述：不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引 起其他变化。
开尔文表述：不可能从单一热源吸收热量使之完全变为有用功而不 引起其他变化。 12、写出等概率原理的内容。
答：处于平衡态的孤立系统，各个可能的微观状态出现的概率是相 等的。 13、热力学第二定律的两种表述及其数学表达式。
答：（开尔文表述）不可能制造出这样一种循环工作的热机， 它只使单一热源冷却来做功，而不放出热量给其他物体，或 者说不是外界发生任何变化。 （克劳修斯表述）不可能把热量从低温物体自动传到高温物体而不引 起外界的变化。用数学式表示为：。 14、简述等概率原理 答：对于处在平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的概 率是相等的。该原理是统计物理中一个基本的假设。 15、什么是能量均分定理？ 答：对于处在温度为T 的平衡状态的经典系统，粒子能量中的每一个平 方项的平均值等于。这是根据经典玻耳兹曼分布导出的一个重要定理。 16、什么是微观粒子的全同性原理？ 答：该原理指出，全同粒子是不可分辨的，在含有多个全同粒子的系统 中，将任何两个全同粒子加以对换，不改变整个系统的微观运动状态。 17、写出玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统这三个系统分布{ al }的表 达式 答：三个系统的分布{ al }的表达式分别为： 玻耳兹曼系统：；玻色系统：费米系统： 18、简述卡诺定理的内容。 答：卡诺定理指出：所有工作于同样高温热源和低温热源的卡诺机，以 可逆的卡诺机的效率为最大，。
b) , ,
讨论：高温极限和低温极限。 3、试求双原子分子理想气体的振动熵。
解：双原子分子理想气体的振动配分函数：
引入 ，得： 三、证明题 1、试证明一个均匀物体在准静态等压过程中熵随体积的增减取决于等 压下温度随体积的增减。
证明：等压过程中熵随体积的变化率为：，温度随体积的变化率为：
方法一：由雅可比行列式可得：
熵函数的统计意义：微观态数的多少反映系统有序程度的高低。微 观态数增加就是有序程度的降低或是混乱程度增加，相应地熵增加；反 之，微观态数减少就是有序程度的增加或混乱度减少，相应地熵减 少。“熵是度量系统有序程度的量”有了明确定量意义。
8、 简述开系、闭系以及孤立系的定义。 答：热力学研究的对象是由大量微观粒子（分子或其它粒子）组成 的宏观物质系统。与系统发生相互作用的其它物体成为外界。根据系统 与外界相互作用的情况，可以作以下区分：与其它物体既没有物质交换 也没有能量交换的系统称为孤立系；与外界有能量交换，但没有物质交 换的系统称为闭系；与外界极有能量交换，又有物质交换的系统称为开 系。 9、判断孤立系统是否处于平衡态的基本原则以及熵判据。 答：基本原则：可以设想系统围绕该状态发生各种可能的虚变动， 而比较由此引起热力学函数的变化，根据热力学函数处在平衡态时的性 质来判断系统的状态 。 熵判据：孤立系统中发生的任何宏观过程，都朝着使系统的熵增加的方 向进行。如果孤立系统已经达到了熵为极大的状态，就不可能再发生任 何宏观的变化，系统就达到了平衡态。 因此孤立系统/处在稳定平衡状态的必要和充分条件为：。 10、写出熵判据的內容。 答：孤立系统的熵永不减少，过程进行时熵增加，直到熵达到最大 值，系统处于平衡态。 11、试写出热力学第二定律的克氏表述和开氏表述内容.
4、气柱的高度为H，处在重力场中，试证明此气柱的内能和热容量为，
证明：假设气体是单原子分子理想气体。重力场中分子的能量为： ，粒子的配分函数为： 其中 是气柱的截面积。气柱的内能为： 式中 气体的热容量为
5、试求绝对零度下金属电子气体中电子的平均速率。
解：由 可得时电子的分布。
，
，
其中是费米能级，是费米动量。
讨论： （1）、上面的推导表明，两种粒子各自遵从玻耳兹曼分布，两分布的，不同，但有共同的，原 因在于开始就假设两种粒子的粒子数和能量具有确定值，这意味着在相互作用中两粒子可以交 换能量，但不会相互转化。从上述结果还可看出，由两个弱相互作用的子系统构成的系统达到