一、填空1. 设2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x= 2.3150 .2.设一阶差商()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---，()()()322332615,422f x f x f x x x x --===--则二阶差商()123,,______f x x x =11/63. 设(2,3,1)TX =--, 则2||||X = 14 ，=∞||||X 3 。

p494. 4．求方程 21.250x x --= 的近似根，用迭代公式 1.25x x =+，取初始值01x =， 那么1______x =。

1.55．解初始值问题 00'(,)()y f x y y x y =⎧⎨=⎩近似解的梯形公式是1______k y +≈。

()()[]11,,2++++k k k k k y x f y x f h y6、1151A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则A 的谱半径 ＝ 6 。

7、设2()35, , 0,1,2,... ,k f x x x kh k =+== ，则[]12,,n n n f x x x ++=——————————3 和[]123,,,n n n n f x x x x +++=_______________0_____ 。

8、 若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都 收敛 。

9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler ）方法的局部截断误差为_______O(h ）___。

10、为了使计算23123101(1)(1)y x x x =++----的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写成____________⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-+=1321111110x x x y _____________。

二、计算题 1、已知的满足 ，试问如何利用 构造一个收敛的简单迭代函数，使0，1…收敛？由 ()x x ϕ=，可得 3()3x x x x ϕ-=-，1(()3)()2x x x x ϕψ=--= 1 ()(()3) 2x x ψψ=--’’因，故11()122x x ψϕ=<<’’（）-3[]11()()3 , k=0,1,.... 2k k k k x x x x ψϕ+==--故收敛。

2、 试确定常数A ，B ，C 和 a ，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。

试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型的？101612,,995A C B a ====±，该数值求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss 型的3、 利用矩阵的LU 分解法解方程组 1231231232314252183520x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3214、写出求解下列初始值问题⎩⎨⎧=≤≤-=2)1()21(,38'y x y y 的欧拉迭代式，欧拉预-校迭代式及四阶龙格-库塔法迭代式。

5.设212Sgt=，假定 g是准确的，而对的测量有±秒的误差，证明当增加时的绝对误差增加，而相对误差却减少。

解：2**22211()0.122()0.10.2()1122,(),().rre S S S gt gt gte S gte Stgt gtt e S e S=-=-====∴↑↑↓6.在x-≤≤上给出xf x e=的等距节点函数表，若用二次插值求e的近似值，要使截断误差不超过10-，问使用函数表的步长应取多少？解：()40000(),(),[4,4],,,, 1.x k xf x e f x e e x x h x x h x x th t==≤∈--+=+≤考察点及(3)200044343()()[(()]()[()]3!(1)(1)(1)(1)3!3!2.(4,4).633fR x x x h x x x x ht t tet h th t h e hehξξ=----+-+≤+⋅⋅-=≤⋅∈-则7.已知单调连续函数y f x=的如下数据用插值法计算约为多少时 f x =（小数点后至少保留4位）0.2008 解：作辅助函数g x f x =-则问题转化为为多少时，g x =此时可作新的关于ig x 的函数表。

由f x 单调连续知g x 也单调连续，因此可对g x 的数值进行反插。

的牛顿型插值多项式为()0.110.097345( 2.23)0.451565( 2.23)( 1.10) 0.255894( 2.23)( 1.10)(0.17)x g y y y y y y y -==-+++++-++-故(0) 1.321497.x g -== 8. 设函数f x 在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试用埃尔米特插值法求一个次数不高于3的多项式()P x ， 使其满足(0)0P =，(1)1P =，'(1)3P =,(2)1P =并写出误差估计式。

解：由所给条件可用埃尔米特插值法确定多项式()P x ，32357()722p x x x x =-+- 由题意可设3()()()()(1)(2)R x f x p x k x x x x =-=--为确定待定函数k x ，作辅助函数：3()()()()(1)(2)g t f t p t k t t t t =----11、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数进度。

1）()()(0)();hhf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰2）1012()()(0)();hhf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰3）1121(1)2()3()();3f f x f x f x dx --++≈⎰4）2''0[(0)()]()[(0)()].2hh f f h f x dx ah f f h +≈+-⎰解：（1）三个参数，代入11012110231113334441324()1,,,()0321()33()()()()33334()()(0)().333h h h h h h A hA A A h f x x x h A A A hh A A h A h h h h h x dx h h x dx h h h h h f x dx f h f f h -------⎧=⎧⎪⎪++=⎪⎪⎪=⇒--=⇒=⎨⎨⎪⎪⎪⎪+==⎩⎪⎩=-+≠-+∴≈-++⎰⎰⎰Q 具有三次代数精度（2）三个参数，代入1101211022311123333224544452228344()1,,,03168()33848()0()03336484816()0()5333384()()3h h h hh h A hA A A h f x x x hA hA A hh A h A h A h h hx dx h h h h h x dx h h h h h h h f x dx f h -------⎧=⎧⎪⎪++=⎪⎪-⎪=⇒-+=⇒=⎨⎨⎪⎪⎪⎪-+==⎩⎪⎩=--⋅+==≠--⋅+=∴≈-+⎰⎰⎰Q 8(0)().33h h f f h +具有三次代数精度1121212112212221(3)()1,()[(1)2()3()].3,(),2310.689900.289902310.126600.52660f x f x dx f f x f x f x x x x x x x x x x x -==-++=+===-⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨+==-=⎩⎩⎩⎰当时有两个参数令精确成立或133312111111[123]3()[(1)2(0.68990)3(0.12660)]/3()[(1)2(0.28990)3(0.52660)]/32.x dx x x f x dx f f f f x dx f f f ---≠-++≈-++-≈-+-+⎰⎰⎰而 故与均具有次代数精度20022220233320244301(4)()1,,1[11]0,[0](11).22(),1[0][202].212(), [0][03]212(),()[0][04].212.hhhh h hf x x dx xdx h ah f x x h x dx h ah h a h h f x x x dx h h h h f x x f x dx h h ==++=++-==++⨯-⇒===++-=≠++-⎰⎰⎰⎰⎰时有故令时求积公式精确成立当时时故只有三次代数精度12. 对线性代数方程组13423412321564833x x x x x x x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎪⎨+-=⎪⎪-+-=⎩ 设法导出使雅可比（Jacobi ）迭代法和高斯－赛德尔（G-S ）迭代法均收敛的迭代格式，要求分别写出迭代格式，并说明收敛的理由。

13. 设线性方程组为 11222112222a x a xb a a a x a x b +=⎧≠⎨+=⎩（1） 证明用雅可比迭代法和高斯－赛德尔迭代法解此方程组要么同时收敛，要么同时发散。

（2） 当同时收敛时，试比较其收敛速度。

14. 写出用四阶经典的龙格—库塔方法求解下列初值问题的计算公式''3,01;,01;(1)1)2)(0)1;(0) 1.y y x y x y x x y y ⎧=<<⎧=+<<⎪+⎨⎨=⎩⎪=⎩15. 证明对任意参数，下列龙格－库塔公式是二阶的12312131();2(,);(,);((1),(1)).n n n n n n n n h y y K K K f x y K f x th y thK K f x t h y t hK +⎧=++⎪⎪⎪=⎨⎪=++⎪=+-+-⎪⎩16. 证明0sin 1=--x x 在]1,0[内仅有一个根，若用二分法求误差不大于. . 4105.0-⨯的根，求需要迭代的次数。

答案：。