2021年1月上海外国语大学附属浦东外国语学校高二第一学期第二次检测数学试卷总分：150分，时间：120分钟一、填空题（本题共12小题，前6题每题4分，后6题每题5分，共计54分）1．抛物线24y x =的准线方程为___________． 2．经过点1235A B （，）,（，）的直线的点方向式方程为___________．3．圆2214x y -+=（）关于直线10x y -+=对称的圆的方程为___________． 4．过点12A -（，）且与原点距离最大的直线的倾斜角为___________． 5．已知椭圆2212516x y +=的左右焦点为12,F F ，直线l 经过点1F 且与椭圆交于A ，B 两点，则2ABF 的周长为___________．6．已知双曲线2222100x y a b a b-=>>（，）的一条渐近线方程是2y x =，它的一个焦点与抛物线220y x =的焦点相同，则此双曲线的方程是___________．7．过点(11P ，）作一条直线与椭圆22142x y +=交于M ，N 两点，且P 恰为线段MN 的中点，则该直线的方程为___________．8．设定点32A （，），点P 是抛物线24y x =上任意一点，当PA PF +的值最小时，点P 的坐标为___________． 9．椭圆221259x y +=与双曲线221115x y -=的焦点相同，请将此命题推广到一般情形，使已知命题成为推广后命题的一个特例___________．10．已知直线/与直线43160x y -+=垂直，且它被圆2224200x y x y +-+-=所截得的线段长为8，则直线l 的方程为___________．11．若关于x 的方程x m +=m 的取值范围为___________． 12．记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为123n n Ω=⋯（，，），当点,x y （）分别在12,,ΩΩ⋯上时，x y +的最大值分别是12,M M ⋯，则lim n n M →+∞=___________．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13．若m R ∈则方程221x y m +=所表示的曲线一定不是（ ）A ．直线B ．圆C ．抛物线D ．双曲线 14．已知P 为双曲线2214x y -=上一点，12,F F 为两焦点，若1260F PF ∠=︒，则12F PF 的面积为（ ） A． BC．3 D．315．设点M ，N 均在双曲线22:143x y C -=上运动，12,F F 是双曲线C 的左、右焦点，则122MF MF MN +-的最小值为（ ）A． B ．4 C． D ．以上都不对16．已知111,P a b （）与222,P a b （）是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a x b x a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ） A ．无论12,,k P P 如何，总是无解 B ．无论12,,k P P 如何，总有唯一解C ．存在12,,k P P ，使之恰有两解D ．存在12,,k P P ，使之有无穷多解三、解答题（本大题共5小题，共计14+14+14+16+18=76分）17．已知两条直线1120l t x y t -+-=:（）和2:40l x ty t ++-=，当t 为何值时，1l 与2l （1）平行？（2）重合？（3）垂直？18．为了进一步开发上海市旅游项目，大治河上的旧桥梁全邮改造成新的桥梁以便旅游船只可以顺利通行．某一新建圆形拱桥的跨度为40米，拱顶离水面距高10米现有一艘平顶型旅游船只，船宽为8米，船在水面以上的高度为9米，请问该船只能否安全从桥下通过．19．已知直线:2l y kx =-与抛物线2:20C x py p =->（）交于A ，B 两点，O 为坐标原点， 412OA OB +=--（，）．（1）求直线/和抛物线C 的方程；（2）抛物线上一动点P 从A 到B 运动时，求ABP 面积的最大值．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量1,1m x y n x y =+=-（）,（,），且而4m n +=，动点,A x y （）的轨迹为C ．（1）求曲线C 的标准方程；（2）若M ，N 是曲线C 上关于x 轴对称的任意两点，设40P -（，），连接PM 交曲线C 于另一点E ，求证：直线NE 过定点B ，并求出点B 的坐标；（3）在（2）的条件下，过点B 的直线交曲线C 于S ，T 两点，求OS OT ⋅的取值范围．21、如图，已知双曲线221:12x C y -=，曲线2:1C y x =+．P 是平面内一点，若存在过点P 的直线与12C C 、都有公共点，则称P 为“12C C -型点”（1）在正确证明1C 的左焦点是“12C C -型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y kx =与2C 有公共点，求证1k >，进而证明原点不是“12C C -型点”；（3）求证：圆2212x y +=内的点都不是“12C C -型点”．上海外国语大学附属浦东外国语学校高二第一学期第二次检测数学试卷总分：150分，时间：120分钟一、填空题（本题共12小题，前6题每题4分，后6题每题5分，共计54分）1．【答案】1x =- 2．【答案】1223x y --= 3．【答案】22124x y ++-=（）（） 4．【答案】1arctan 25．【答案】20 6．【答案】221520x y -=7．【答案】230x y +-= 【提示】点差法 8．【答案】()1,29．【答案】椭图2222116x y a a +=-与双曲线2222116x y k k -=-的焦点相同 10．【答案】34200x y ++=或34100x y +-=11．【答案】[)1,1-⋃ 12．【答案】()max x y +==lim n n n M →∞==二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13．C 14．B 15．B 16．B三、解答题（本大题共5小题，共计14+14+14+16+18=76分）17．【答案】（1）1t =- （2）2t = （3）13t = 18．【答案】能 【提示】建系19．（1）由222y kx x py =-⎧⎨=-⎩得2240x pkx p +-=， 设1122,,A x y B x y （）,（），则21212122424x x pk y y k x x pk +=-+=+-=--，（）， 因为21212224412OA OB x x y y pk pk +=++=---=--（，）（，）（，）， 所以2242412pk pk -=-⎧⎨--=-⎩，解得12p k =⎧⎨=⎩， 所以直线l 的方程为22y x =-，抛物线C 的方程为22x y =-； （2）设2,2m P m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则点P 到直线AB 的距离d =，1122ABP S AB d =⋅=))222244828m m m m=+-=++-=+-易得2m⎡⎤∈-⎣⎦，故当2m=-时，ABPS取得最大值20．（1）设1210,10F F-（，）（，），则|124m n AF AF+=+=，故点,A x y（）的轨迹为以121010F F-（，）,（，）为焦点的椭圆，且24,1a c==，所以2a b===，所以曲线C的标准方程为22143x y+=；（2）由题意得直线PM的斜率存在，设直线PM的方程为4y k x=+（），由224143y k xx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩（），得2222433264120k x k x k+++-=（），设1222,M x y E x y（，）,（），则11N x y-（），且22111222326412,4343k kx y x xk k-+=-=++．根据对称性，直线NE过的定点B在x轴上，直线NE的方程为()212221y yy y x xx x+-=--，令0y=，得()()()()()2212112211222121214444y x x x k x x k xx y x yx xy y y y k x k x-⋅++⋅++=-==+++++，即()()()2212122212128241282418323224k kx x x xxx x k k--++===-++-++，故直线NE过定点1,0B-（）；（3）当直线ST的斜率不存在时，其方程为1x=-，此时此时3351,,1,,224S T OS OT⎛⎫⎛⎫---⋅=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,4当直线ST 的斜率存在时，设直线ST 的方程为1y m x =+（）， 由()221143y m x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得22224384120m x m x m +++-=（）， 设3344,,,S x y T x y （）（），则223434228412,4343m m x x x x m m -+=-=++． 所以2343434341)1)OS OT x x y y x x m x x ⋅=+=+++（(()()()2222343422512533514,4344443m m x x m x x m m m +⎡⎫=++++=-=--∈--⎪⎢++⎣⎭， 综上所述，OS OT ⋅的取值范围是54,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦． 21．（1）由于1C的左焦点为F （），过F的直线x =1C交于2⎛± ⎝⎭，与2C交于()1， 故1C ，的左焦点是“12C C -型点”；（2）由于直线y kx =与2C 有公共点，则1y kx y x =⎧⎪⎨=+⎪⎩，即(11k x -=）， 若方程组有解，必须1k >，若直线y kx =与1C 有公共点，则2222y kxx y =⎧⎨-=⎩，即22122k x -=（）． 若方程组有解，必须21<2k ， 故直线y kx =至多与曲线1C 和2C 中的一条有交点，故原点不是“12C C -型点”；（3）显然过圆2212x y +=内一点的直线l 若与曲线1C 有公共点，则斜率必存在， 根据对称性，不妨设直线l 的斜率存在且与曲线2C 交于点,1)0t t t +≥（（）， 则直线:1l y t k x t -+=-（）（），即(1)0kx y t kt -++-=，若直线l 与固2212x y +=2， 化简得()()2211<12t tk k +-+， 若直线l 与曲线1C 有交点，则22112y kx kt t x y =-++⎧⎪⎨-=⎪⎩ 得()22212(1)1102k x k t kt x t kt -++-++-+=（）， 若212k ≠，则()222214(1)41102k t kt k t kt ⎛⎫⎡⎤=+-+-+-+≥ ⎪⎣⎦⎝⎭． 即22121t kt k +-≥-（）， 所以()2221211<12k t kt k -≤+-+（）．解得21k <， 但此时()()2210,111,1<12t t k k ≥+-≥+⎡⎤⎣⎦与()()2211<12t tk k +-+矛盾， 故无解， 若212k =，则221112t kt k +-<+（）（）也矛盾，无解， 综上，若直线l 与圆2212x y +=内部有公共点， 则此直线不可能同时与曲线1C 和2C 有公共点，即圆2212x y +=内的点都不是“12C C -型点”．。