往届高等数学期终考题汇编2009-01-12一．解答下列各题(6*10分): 1．求极限)1ln(lim 1xx e x ++→.2.设⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=22222ln a x x a a x x y ,求y d .3.设⎪⎩⎪⎨⎧-=-=3232tt y tt x ，求22d d x y .4.判定级数()()0!12≥-∑∞=λλλn nn n n e 的敛散性.5.求反常积分()⎰-10d 1arcsinx x x x .6.求⎰x x x d arctan .7.⎰-π03d sin sin x x x .8.将⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<=πππx x x x f 2,02,)(在[]ππ,-上展为以π2为周期的付里叶级数，并指出收敛于()x f 的区间.9.求微分方程0d )4(d 2=-+y x x x y 的解.10.求曲线1=xy 与直线0,2,1===y x x 所围平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积. 二.(8分)将()()54ln -=x x f 展开为2-x 的幂级数,并指出其收敛域.三.(9分)在曲线()10sin 2≤≤=x x y 上取点()()10,sin ,2≤≤a a a A ,过点A 作平行于ox 轴的直线L ,由直线L ,oy 轴及曲线()a x x y ≤≤=0sin 2所围成的图形记为1S ,由直线L ,直线1=x 及曲线()1sin 2≤≤=x a x y 所围成的图形面积记为2S ,问a 为何值时,21S S S +=取得最小值.四.(9分)冷却定律指出,物体在空气中冷却的速度与物体和空气温度之差成正比,已知空气温度为30℃时,物体由100℃经15分钟冷却至70℃,问该物体冷却至40℃需要多少时间? 五.(8分)(学习《工科数学分析》的做（1），其余的做（2）) （1）证明级数∑∞=-02n nx e x 在[),0+∞上一致收敛.（2）求幂级数()∑∞=-----122121212)1(n n n n x n 的收敛域及和函数.六.(6分)设()[]b a C x f ,2∈,试证存在[]b a ,∈ξ,使()()()()⎰''-+⎪⎭⎫⎝⎛+-=ba f ab b a f a b dx x f ξ324122008．1．15一．解答下列各题(6*10分):1.计算极限 ()xx x e x x 3sin 22lim ++-→.2.设,5arctan log 22π+-=x x ey x求y d .3.设,20;cos sin ,cos ln ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<⎩⎨⎧-==πt t t t y t x 求322d d π=t x y .4.判定级数∑∞=123n nnn 的敛散性. 5.计算反常积分dx xx⎰+∞12ln . 6.计算不定积分⎰x x xx d cos sin 23.7.计算定积分()⎰+1021d x e x.8.求函数()⎩⎨⎧<<≤≤=21,210,1x x x f 在[]2,0上展成以4为周期的正弦级数.9.求微分方程()()0d d 132=++++y y y x x y 的通解.10.求由曲线72+=x y 及532+=x y 所围成的图形绕ox 轴旋转一周而成的旋转体的体积. 二.(9分)证明:当0≥x 时,有()()[]()221ln 2arctan 4111ln 21x x x x x +-≥+-++.三.(9分) 设抛物线()02<+=a bx ax y 通过点()3,1M ,为了使此抛物线与直线x y 2=所围成的平面图形的面积最小,试确定a 和b 的值.四.(8分)设一车间空间容积为10000立方米,空气中含有0.12%的二氧化碳(以容积计算),现将含二氧化碳0.04%的新鲜空气以1000立方米每分钟的流量输入该车间,同时按1000立方米的流量抽出混合气体，问输入新鲜空气10分钟后，车间内二氧化碳的浓度降到多少？ 五．（8分）求幂级数nn nx n n ∑∞=+0!21的收敛域及其和函数. 六.(6分)设函数()x f 在0=x 的邻域内有连续的一阶导数,且()a xx f x =→0lim()0>a ,证明:()⎪⎭⎫⎝⎛-∑∞=-n f n n 1111条件收敛.2007年1月一. 计算下列各题(6*10分):1．计算极限()xx x e x x arctan 11ln lim 0---+→.2. 设21arcsin x y -=, 求y d .3. 设⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⎰-.01sin .d 02y t e u e x y t u 求0d d =x x y .4. 判定级数∑∞=+134n nn的敛散性. 5. 计算反常积分()⎰∞+11d xx x.6设()21ln x x ++为()x f 的原函数, 求()⎰'x x f x d .7. 将()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤≤=.2 ,0;20 ,1πππx x x f 展开成以π2为周期的傅立叶正弦级数, 并求此级数分别在π23=x 和π25=x 两点的收敛值.8. 将函数()x x f ln =展开为2-x 的幂级数,并指出其收敛域.9求微分方程()()27121+=-'+x y y x 的通解.10. 求抛物线25y x =与21y x +=所围图形的面积.二. (9分) 若函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰.0,;0 ,d 1cos 2x a x x te xf x t 在0=x 点可导. 求a 和()0f '.三. (9分) 在曲线()0≥=-x e y x 上求一点()0,0xe x -,使得过该点的切线与两个坐标轴所围平面图形的面积最大, 并求出此最大面积.四(8分)半径为R 的半球形水池充满水,将水从池中抽出, 当抽出的水所作的功为将水全部抽出所作的功的一半时, 试问此时水面下降的深度H 为多少? 五.(8分)求幂级数()∑∞=+11n nx n n 的和函数并求出级数()∑∞=+1211n n n n 的和.六. (6分) 已知函数()x f 在[)+∞,0上可导, 且()10=f 并满足等式()()()0d 110=+-+'⎰x t t f x x f x f , 求()x f '并证明()().0 1≥≤≤-x x f e x2006年1月一. 计算下列各题(6*10分):1. 30sin tan limx xx x -→2.设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2tan 21arctan x y , 求y d .3.设()⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=-0,10,2x x x e x f x, 求()x x f d 121⎰--.4. 判定级数212121n n n n n ⎪⎭⎫⎝⎛+∑∞=的敛散性. 5. 设()x y y =由方程()y x y +=tan 所确定,求y '.6.计算不定积分()⎰++x ee xx d 1122.7. 将()x x f +=2, []ππ,-∈x 展成以π2为周期的傅立叶级数.8. 将函数()2312++=x x x f 展成()4+x 的幂级数, 并指出收敛区间. 9. 求微分方程xe x y y x 43=-'的通解.10. 设曲线2axy =()0,0≥>x a 与21x y -=交于点A, 过坐标原点O 和点A 的直线与曲线2ax y =围成一个平面图形. 问: 当a 为何值时,该图形绕x 轴旋转一周所产生的旋转体体积最大?二. (8分) 证明不等式: 当0>x 时, ααα-≤-1x x , ()10<<α. 三. (9分). 设()⎰-=221d x t te xf , 求()⎰1d x x xf .四. (9分). 一物体在某一介质中按3ct x =作直线运动,已知介质的阻力与物体速度的平方成正比, 计算物体由0=x 移动到a x =时克服阻力所作的功.五. (9分) 求级数()∑∞=+0311n nn 的和. 六. (5分). 设()0>''x f , []b a x ,∈, 证明:()()()()⎰+≤-≤⎪⎭⎫⎝⎛+b a b f a f x x f a b b a f 2d 12.2005年1月15日一. 解答下列各题（6×10分）1． 计算极限()x x x x x e x x sin 1sin lim 0-+-→ 2． 设()1ln 211222++++=x x x x y ，求y d .3． 设()⎩⎨⎧>+≤=02 , ,x x b ax x x x x f 在0x 处可导,求常数a 和b .4． 判定级数()∑∞=--1131n nn n 的敛散性. 若收敛,是条件收敛还是绝对收敛?5． 设()x y y =由方程ye y x y ++-=)ln(1所确定,求y '. 6． 设()xf 连续,且满足()x t t f x =⎰-13d .求()?26=f .7． 求()1123223+--=x x x x f 的极值. 8． 计算不定积分⎰-x xx 2ln 4d .9． 计算定积分x x d arctan1⎰.10． 求由曲线12+=x y , 直线,0=y 0=x , 1=x 所围成的平面图形绕y 轴旋转一周所产生的旋转体的体积.二. (8分). 试证明不等式⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx 时, 3tan 3x x x +>.三. (9分) 将函数()3212-+=x x x f 展成3-x 的幂级数,并指出收敛区间. 四. (9分) 已知()x f 在12=x 的邻域内可导, 且()0lim 12=→x f x ,()22005lim 12='→x f x . 求极限()()312121212d d limx t u u f t xt x -⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰→→.五.(8分) 求幂级数nn x n n ∑∞=+0!1的收敛域及和函数. 六. (6分) 设()x f 在[]1,0上连续, 在()1,0内可导, 且()10≤'<x f , ()00=f .证明 ()()x x f dx x f d 103210⎰⎰≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡2004年1月一、解下列各题1、10lim ,(0,0)2x xxx a b a b →⎛⎫+>>⎪⎝⎭其中 2、设22(sin )x xy x e x -=+,求y '3、求不定积分arctan x xdx ⎰4、求不定积分21(1)dx x x +⎰5、求定积分4⎰6、求由曲线1|ln |,,y x x x e e===及x 轴围成的图形的面积。