05级高数(2-3)下学期期末试题 (A 卷)专业 ____________ 姓名 ______________ 学号 ________________《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予学士学位”一,填空题 (每题4分,共32分)1. 213______4x y kx y z k π+-=-==若平面与平面成角,则 1/42. 曲线20cos ,sin cos ,1tu tx e udu y t t z e ==+=+⎰ 在t = 0处的切线方程为________________3. 方程z e xyz =确定隐函数z = f (x,y )则z x∂∂为____________4.(),dy f x y dx ⎰1交换的积分次序为_________________________5．()2221,L x y x y ds +=-=⎰L 已知是圆周则 _________π-6. 收敛7. 设幂级数0nn n a x∞=∑的收敛半径是2,则幂级数21n n n a x∞+=∑的收敛半径是8. ()211x y ''+=微分方程的通解是()2121arctan ln 12y x x c x c =-+++_______________________ 二．计算题 (每题7分,共63分)1．讨论函数 f ( x, y ) = 221,x y+ 220x y +≠, f ( 0 , 0 ) = 0在点（ 0 , 0 ）处的连续性，可导性及可微性。

P 。

3302．求函数2222z y xu ++=在点)1,1,1(0P 处沿O P 0方向的方向导数，其中O 为坐标原点。

3．212.1n n n n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑判别级数的敛散性 P ．544 4．设u=),(z y xy f +，),(t s f 可微，求du dzf dy f x f dx y f '+⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'+⋅'2211.012112x y z ---==zz yz x e xy ∂=∂-211sin ____________1n n n ∞=++∑级数的敛散性为5．,,3622欲造一无盖长方形容器,已知其底部造价为3元/m 側面造价为1元/m 现想用元造一容积最大的容器,求它的尺寸.答：长宽为2M ，高为3M 。

6. (2242ln I x y x dy ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰计算()()2222,010,x y c A a B b a b+=曲线是从点沿椭圆的第一象限部分到点的弧段.解：5220,882ln ln 3BooA Dbb Bo oA I xdxdy b dy xdx y Rdy b Ra=--=-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰将积分路径家直线段与构成正向的闭曲线,由格林公式得,7．()222221ln x y x y dxdy εε→≤+≤+⎰⎰计算极限lim()221220ln ln d r rdr udu πεεεεθ→→=⎰⎰⎰0解:原式=lim lim ()21ln |u u u εεππ→=-=-0lim8．试求幂函数∑∞-+--1121)12(2)1(n nx n n 的收敛域及和函数。

9．求微分方程)1(822xe y y y +=+'-''的通解。

特征方程0122=+-r r 的根为：121==r r 对应的齐次方程的通解为x C e x C C y )(21+=设特解为x xe y B A Be A y 2*2*888,8+===+=代入方程确定故所求通解为x x e e x C C y 22188)(+++=三．（本题5分）已知曲线积分[]⎰+-Ly x x xyx x d )(d )(sin ϕϕ与路径无关，其中ϕ()x 可导，且ϕπ()=1，求ϕ()x 。

解：由积分与路径无关，故()c x xc dx e x x e xxx x x x x y P x Q x dxx dx +-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=Φ=ΦΦ'Φ-=Φ'∂∂=∂∂⎰-cos 1sin sin 1)(sin )(为：一阶线性微分方程通解－即代初始条件：ϕπ()=1 得)1cos (1)(1-+-=Φ-=ππx x x c 特解为：2． 设平面上有三个点)1,0(),0,1(),0,0(B A O ，在OAB ∆的闭区域D 上，求出点M ，使它到点O 、A 、B 的距离平方和为最大。

解：设所求点为M(x,y,) 距离的平方和：)10,10()1()1(222222x y x y x y x y x d -≤≤≤≤-+++-++= 在区域内部求驻点： ⎪⎭⎫ ⎝⎛==-=∂∂==-=∂∂31,313102631026驻点：解出解出y y y d x x x d 在该点的函数值d(1/3,1/3)=4/3，在边界x=0, 0≤y ≤1上1)1(222+-+=y y d 驻点(0,1/3),与端点函数值比较，得该边界上最大值点（0,1）d(0,1)=3。

在边界y=0, 0≤x ≤1上1)1(222+-+=x x d 驻点(1/3，0),与端点函数值比较，得该边界上最大值点（1,0），最大值d(1,0)=3。

在边界y=1-x ,0≤x ≤1上222)1()1(23-+-+=x x x d 驻点(1/2,1/2) 与端点函数值比较，得该边界上最大值点是(1,0)、(0,1)。

比较区域内驻点及边界上最大值点的函数值知，该问题最大值点为：A(1,0)、B(0,1)，最大值为3。

中山大学2005级东校区第二学期高等数学一 期末考试试题 （2006年6月）姓名： 专业： 学号： 成绩：《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予 学士学位。

”一.（每小题7分，共28分）1. 设函数)(2),(2y x f x y y x z += ，其中 f 二阶可微，求 y x zx z ∂∂∂∂∂2,。

2. 设函数k z x y j y x i z y x F )(3222-++= ，求 )(,F v i d grad F v i d 。

3.设函数)0(,)(sin )(2>=⎰y dx xy x y g y y ，求)(y g ' 。

4. 在直角坐标系下，用两种不同的次序将二重积分⎰⎰=Ddy dx y x f I ),( 化为累次积分，其中D 是由直线x y x y x x 2,,2,1==== 所围成区域。

二.（10分）计算曲线积分0()sin ()cos (>---=⎰m dy m y e dx my y e I Lx x 为常数），其中有向曲线L 是圆周)0(222>=+a ax y x 从点)0,2(a A 经),(a a M 至)0,0(O 的部分。

三.（10分）利用高斯公式计算曲面积分⎰⎰+++=Sdxdy zx dzdx yz dydz x xy I 2222)(，其中S 是由球面 ,222x z z y --= 平面0=y 所围区域表面的外侧。

四. （每小题7分，共14分）1. 求微分方程： dxdyxyy dx dy x=+ 的通积分。

2. 求微分方程：x e y y y 23465-=+'-'' 的通解。

五. 讨论下列广义积分的敛散性：（每小题5分，共10分） 1.x d xx ⎰15sin ， 2.⎰∞++⋅1321xx dx 。

六. （9分） 求幂级数∑∞=---221)1(2)1(n nn x n n 的收敛半径、收敛域以及和函数。

七. （7分）求函数x x f ln )(= 在2=x 处的泰勒展开式，并求出收敛域。

八. （7分）证明级数∑∞=≤<1)10(,)sin(n pp nnx 在闭区间],[δπδ-上一致收敛，但对任意固定的],[δπδ-∈x ，该级数并不绝对收敛，其中 20πδ<< 。

九. （5分）设级数∑∞=1n na 收敛于S ，且0lim =∞→n n a n ，证明级数∑∞=+-11)(n n n a a n 也收敛于S 。

高等数学（一）重修重考试题（B 卷）（2005学年度第二学期）东校区姓名： 专业：学号： 成绩：《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予学士学位。

”一，（每小题7分，共28分）1，设函数 )(2),(2xy f yx y x z +=，其中函数f 二阶可微，求y x z x z ∂∂∂∂∂2, 。

2， 若隐函数)(x y y =由方程 y x e y x += 确定，求y '。

13，设函数 0,)cos()(3>=⎰y dx x xy y g y y，求 )(y g '。

4， 计算积分：dx x xdy I y⎰⎰-=2121sin 。

2二，（10分）求曲线积分 ⎰+++=dy e x dx e y I x x )()1(，其中 是椭圆19422=+y x 的上半周由点)0,2(A 到点)0,2(-B 。

三，（10分）计算曲面积分 dxdy z dzdx y y dydz x I S+++=⎰⎰+)(2，其中 +S 为曲面22y x z +=，10≤≤z ，取下侧。

3 四，（每小题7分，共14分）1，求解微分方程初值问题：⎩⎨⎧==+'1)1(y e y y x x 。

2，求微分方程：x e y y y 2134+=+'-'' 的通解。

五，讨论如下广义积分的敛散性：（每小题5分，共10分）（1）⎰+∞+-1321x x dx， (2) dx xx ⎰134sin .4 六, （每小题8分，共16分）(1)求幂级数 nn nn x n )3(3)1(1--∑+∞=的收敛半径，收敛区间和收敛域。

（2）求函数 xx f +=11)( 在点 1=x 处的幂级数展开式。

5七，（7分）讨论无穷积分 ⎰+∞+0325sin dx x xx 的敛散性，若积分收敛，研究其是绝对收敛还是条件收敛？八，（5分）设序列 }{.n a n 收敛，级数 ∑+∞=--11)(n n n a a n 也收敛，求证：级数 ∑+∞=1n n a收敛。

605级高数(一)下学期期中考试试题1. 设()1,,u x y z r=, 0r =≠, 求222222u u u x y z ∂∂∂++∂∂∂.2. 若隐函数()y y x =有方程x yxy e+=确定, 求y '.3. 求曲面23ze z xy -+=在点(2,1,0)处的切平面方程与法线方程. 4. 计算 221sin 1yxI dy dx x =-⎰⎰. 5. 计算 ||DI y dxdy =⎰⎰， 其中 2222:1x y D a b +≤6. 计算 ()()33xx LI yey dx e x dy =-++⎰, 其L 是单位圆周221x y +=的正向.7. 计算 ()2SI xdydz y y dzdx zdxdy +=+++⎰⎰，其中S +为曲面22z x y =+, 01z ≤≤的下側. 8. 若 ()()22222x y t G t xy dxdy +≤=+⎰⎰,求()G t '.9. 设(),f x y 在有界闭区域D 上连续,(),i i x y D ∈, ()1,2i =, 试证在D 中至少存在一点(),ξη, 使()()()11223,4,,7f x y f x y f ξη+=.。